Algebra Esempi

$2 \log (2) - \log (x) = \log (x + 3) - \log (7)$

Passaggio 1

Usa la proprietà del quoziente dei logaritmi, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$2 \log (2) - \log (x) = \log (\frac{x + 3}{7})$

Passaggio 2

Sposta tutti i termini contenenti un logaritmo sul lato sinistro dell'equazione.

$2 \log (2) - \log (x) - \log (\frac{x + 3}{7}) = 0$

Passaggio 3

Semplifica il lato sinistro.

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Passaggio 3.1

Semplifica $2 \log (2) - \log (x) - \log (\frac{x + 3}{7})$ .

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Passaggio 3.1.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 3.1.1.1

Semplifica $2 \log (2)$ spostando $2$ all'interno del logaritmo.

$\log (2^{2}) - \log (x) - \log (\frac{x + 3}{7}) = 0$

Passaggio 3.1.1.2

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$\log (4) - \log (x) - \log (\frac{x + 3}{7}) = 0$

Passaggio 3.1.2

Usa la proprietà del quoziente dei logaritmi, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\log (\frac{4}{x}) - \log (\frac{x + 3}{7}) = 0$

Passaggio 3.1.3

Usa la proprietà del quoziente dei logaritmi, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\log (\frac{\frac{4}{x}}{\frac{x + 3}{7}}) = 0$

Passaggio 3.1.4

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$\log (\frac{4}{x} \cdot \frac{7}{x + 3}) = 0$

Passaggio 3.1.5

Moltiplica $\frac{4}{x} \cdot \frac{7}{x + 3}$ .

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Passaggio 3.1.5.1

Moltiplica $\frac{4}{x}$ per $\frac{7}{x + 3}$ .

$\log (\frac{4 \cdot 7}{x (x + 3)}) = 0$

Passaggio 3.1.5.2

Moltiplica $4$ per $7$ .

$\log (\frac{28}{x (x + 3)}) = 0$

Passaggio 4

Riscrivi $\log (\frac{28}{x (x + 3)}) = 0$ in forma esponenziale usando la definizione di logaritmo. Se $x$ e $b$ sono numeri reali positivi e $b \neq 1$ , allora $\log_{b} (x) = y$ è equivalente a $b^{y} = x$ .

$10^{0} = \frac{28}{x (x + 3)}$

Passaggio 5

Risolvi per $x$ .

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Passaggio 5.1

Riscrivi l'equazione come $\frac{28}{x (x + 3)} = 10^{0}$ .

$\frac{28}{x (x + 3)} = 10^{0}$

Passaggio 5.2

Qualsiasi valore elevato a $0$ è $1$ .

$\frac{28}{x (x + 3)} = 1$

Passaggio 5.3

Trova il minimo comune denominatore dei termini nell'equazione.

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Passaggio 5.3.1

Trovare il minimo comune denominatore di una lista di valori è uguale a trovare il minimo comune multiplo dei denominatori di quei valori.

$x (x + 3), 1$

Passaggio 5.3.2

Il minimo comune multiplo di uno e qualsiasi espressione è l'espressione.

$x (x + 3)$

Passaggio 5.4

Moltiplica per $x (x + 3)$ ciascun termine in $\frac{28}{x (x + 3)} = 1$ per eliminare le frazioni.

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Passaggio 5.4.1

Moltiplica ogni termine in $\frac{28}{x (x + 3)} = 1$ per $x (x + 3)$ .

$\frac{28}{x (x + 3)} (x (x + 3)) = 1 (x (x + 3))$

Passaggio 5.4.2

Semplifica il lato sinistro.

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Passaggio 5.4.2.1

Elimina il fattore comune di $x (x + 3)$ .

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Passaggio 5.4.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{28}{x (x + 3)} (x (x + 3)) = 1 (x (x + 3))$

Passaggio 5.4.2.1.2

Riscrivi l'espressione.

$28 = 1 (x (x + 3))$

Passaggio 5.4.3

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 5.4.3.1

Moltiplica $x (x + 3)$ per $1$ .

$28 = x (x + 3)$

Passaggio 5.4.3.2

Applica la proprietà distributiva.

$28 = x \cdot x + x \cdot 3$

Passaggio 5.4.3.3

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 5.4.3.3.1

Moltiplica $x$ per $x$ .

$28 = x^{2} + x \cdot 3$

Passaggio 5.4.3.3.2

Sposta $3$ alla sinistra di $x$ .

$28 = x^{2} + 3 x$

Passaggio 5.5

Risolvi l'equazione.

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Passaggio 5.5.1

Riscrivi l'equazione come $x^{2} + 3 x = 28$ .

$x^{2} + 3 x = 28$

Passaggio 5.5.2

Sottrai $28$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x^{2} + 3 x - 28 = 0$

Passaggio 5.5.3

Scomponi $x^{2} + 3 x - 28$ usando il metodo AC.

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Passaggio 5.5.3.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Trova una coppia di interi il cui prodotto è $c$ e la cui formula è $b$ . In questo caso, il cui prodotto è $- 28$ e la cui somma è $3$ .

$- 4, 7$

Passaggio 5.5.3.2

Scrivi la forma fattorizzata usando questi interi.

$(x - 4) (x + 7) = 0$

Passaggio 5.5.4

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$x - 4 = 0$

$x + 7 = 0$

Passaggio 5.5.5

Imposta $x - 4$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

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Passaggio 5.5.5.1

Imposta $x - 4$ uguale a $0$ .

$x - 4 = 0$

Passaggio 5.5.5.2

Somma $4$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x = 4$

Passaggio 5.5.6

Imposta $x + 7$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

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Passaggio 5.5.6.1

Imposta $x + 7$ uguale a $0$ .

$x + 7 = 0$

Passaggio 5.5.6.2

Sottrai $7$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x = - 7$

Passaggio 5.5.7

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $(x - 4) (x + 7) = 0$ vera.

$x = 4, - 7$

Passaggio 6

Escludi le soluzioni che non rendono $2 \log (2) - \log (x) = \log (x + 3) - \log (7)$ vera.

$x = 4$