Algebra Esempi

$\sqrt{y^{4} + 2 y^{2} + 1} = - 3$

Passaggio 1

Per rimuovere il radicale sul lato sinistro dell'equazione, eleva al quadrato entrambi i lati dell'equazione.

${\sqrt{y^{4} + 2 y^{2} + 1}}^{2} = {(- 3)}^{2}$

Passaggio 2

Semplifica ogni lato dell'equazione.

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Passaggio 2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{y^{4} + 2 y^{2} + 1}$ come ${(y^{4} + 2 y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(y^{4} + 2 y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- 3)}^{2}$

Passaggio 2.2

Semplifica il lato sinistro.

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Passaggio 2.2.1

Semplifica ${({(y^{4} + 2 y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Passaggio 2.2.1.1

Moltiplica gli esponenti in ${({(y^{4} + 2 y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Passaggio 2.2.1.1.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(y^{4} + 2 y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(- 3)}^{2}$

Passaggio 2.2.1.1.2

Elimina il fattore comune di $2$ .

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Passaggio 2.2.1.1.2.1

Elimina il fattore comune.

${(y^{4} + 2 y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(- 3)}^{2}$

Passaggio 2.2.1.1.2.2

Riscrivi l'espressione.

${(y^{4} + 2 y^{2} + 1)}^{1} = {(- 3)}^{2}$

Passaggio 2.2.1.2

Semplifica.

$y^{4} + 2 y^{2} + 1 = {(- 3)}^{2}$

Passaggio 2.3

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 2.3.1

Eleva $- 3$ alla potenza di $2$ .

$y^{4} + 2 y^{2} + 1 = 9$

Passaggio 3

Risolvi per $y$ .

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Passaggio 3.1

Sostituisci $u = y^{2}$ nell'equazione. In questo modo la formula quadratica sarà più facile da usare.

$u^{2} + 2 u + 1 = 9$

$u = y^{2}$

Passaggio 3.2

Sottrai $9$ da entrambi i lati dell'equazione.

$u^{2} + 2 u + 1 - 9 = 0$

Passaggio 3.3

Sottrai $9$ da $1$ .

$u^{2} + 2 u - 8 = 0$

Passaggio 3.4

Scomponi $u^{2} + 2 u - 8$ usando il metodo AC.

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Passaggio 3.4.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Trova una coppia di interi il cui prodotto è $c$ e la cui formula è $b$ . In questo caso, il cui prodotto è $- 8$ e la cui somma è $2$ .

$- 2, 4$

Passaggio 3.4.2

Scrivi la forma fattorizzata usando questi interi.

$(u - 2) (u + 4) = 0$

Passaggio 3.5

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$u - 2 = 0$

$u + 4 = 0$

Passaggio 3.6

Imposta $u - 2$ uguale a $0$ e risolvi per $u$ .

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Passaggio 3.6.1

Imposta $u - 2$ uguale a $0$ .

$u - 2 = 0$

Passaggio 3.6.2

Somma $2$ a entrambi i lati dell'equazione.

$u = 2$

Passaggio 3.7

Imposta $u + 4$ uguale a $0$ e risolvi per $u$ .

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Passaggio 3.7.1

Imposta $u + 4$ uguale a $0$ .

$u + 4 = 0$

Passaggio 3.7.2

Sottrai $4$ da entrambi i lati dell'equazione.

$u = - 4$

Passaggio 3.8

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $(u - 2) (u + 4) = 0$ vera.

$u = 2, - 4$

Passaggio 3.9

Sostituisci nuovamente il valore reale di $u = y^{2}$ nell'equazione risolta.

$y^{2} = 2$

${(y^{2})}^{1} = - 4$

Passaggio 3.10

Risolvi la prima equazione per $y$ .

$y^{2} = 2$

Passaggio 3.11

Risolvi l'equazione per $y$ .

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Passaggio 3.11.1

Trova la radice quadrata specificata di entrambi i lati dell'equazione per eliminare l'esponente sul lato sinistro.

$y = \pm \sqrt{2}$

Passaggio 3.11.2

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

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Passaggio 3.11.2.1

Per prima cosa, usa il valore positivo di $\pm$ per trovare la prima soluzione.

$y = \sqrt{2}$

Passaggio 3.11.2.2

Ora, usa il valore negativo del $\pm$ per trovare la seconda soluzione.

$y = - \sqrt{2}$

Passaggio 3.11.2.3

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

$y = \sqrt{2}, - \sqrt{2}$

Passaggio 3.12

Risolvi la seconda equazione per $y$ .

${(y^{2})}^{1} = - 4$

Passaggio 3.13

Risolvi l'equazione per $y$ .

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Passaggio 3.13.1

Rimuovi le parentesi.

$y^{2} = - 4$

Passaggio 3.13.2

Trova la radice quadrata specificata di entrambi i lati dell'equazione per eliminare l'esponente sul lato sinistro.

$y = \pm \sqrt{- 4}$

Passaggio 3.13.3

Semplifica $\pm \sqrt{- 4}$ .

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Passaggio 3.13.3.1

Riscrivi $- 4$ come $- 1 (4)$ .

$y = \pm \sqrt{- 1 (4)}$

Passaggio 3.13.3.2

Riscrivi $\sqrt{- 1 (4)}$ come $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{4}$ .

$y = \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{4}$

Passaggio 3.13.3.3

Riscrivi $\sqrt{- 1}$ come $i$ .

$y = \pm i \cdot \sqrt{4}$

Passaggio 3.13.3.4

Riscrivi $4$ come $2^{2}$ .

$y = \pm i \cdot \sqrt{2^{2}}$

Passaggio 3.13.3.5

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$y = \pm i \cdot 2$

Passaggio 3.13.3.6

Sposta $2$ alla sinistra di $i$ .

$y = \pm 2 i$

Passaggio 3.13.4

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

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Passaggio 3.13.4.1

Per prima cosa, usa il valore positivo di $\pm$ per trovare la prima soluzione.

$y = 2 i$

Passaggio 3.13.4.2

Ora, usa il valore negativo del $\pm$ per trovare la seconda soluzione.

$y = - 2 i$

Passaggio 3.13.4.3

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

$y = 2 i, - 2 i$

Passaggio 3.14

La soluzione di $y^{4} + 2 y^{2} + 1 = 9$ è $y = \sqrt{2}, - \sqrt{2}, 2 i, - 2 i$ .

$y = \sqrt{2}, - \sqrt{2}, 2 i, - 2 i$