Algebra Esempi

$\frac{1}{8} x^{3} + 1 \frac{1}{2} x = \frac{3}{4} x^{2} + 1$

Passaggio 1

Semplifica il lato sinistro.

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Passaggio 1.1

Semplifica $\frac{1}{8} x^{3} + 1 \frac{1}{2} x$ .

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Passaggio 1.1.1

Converti $1 \frac{1}{2}$ in una frazione impropria.

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Passaggio 1.1.1.1

Un numero misto è una somma della parti intera e della parte frazionaria.

$\frac{1}{8} x^{3} + (1 + \frac{1}{2}) x = \frac{3}{4} x^{2} + 1$

Passaggio 1.1.1.2

Somma $1$ e $\frac{1}{2}$ .

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Passaggio 1.1.1.2.1

Scrivi $1$ come una frazione con un comune denominatore.

$\frac{1}{8} x^{3} + (\frac{2}{2} + \frac{1}{2}) x = \frac{3}{4} x^{2} + 1$

Passaggio 1.1.1.2.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{1}{8} x^{3} + \frac{2 + 1}{2} x = \frac{3}{4} x^{2} + 1$

Passaggio 1.1.1.2.3

Somma $2$ e $1$ .

$\frac{1}{8} x^{3} + \frac{3}{2} x = \frac{3}{4} x^{2} + 1$

Passaggio 1.1.2

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.1

$\frac{1}{8}$ e $x^{3}$ .

$\frac{x^{3}}{8} + \frac{3}{2} x = \frac{3}{4} x^{2} + 1$

Passaggio 1.1.2.2

$\frac{3}{2}$ e $x$ .

$\frac{x^{3}}{8} + \frac{3 x}{2} = \frac{3}{4} x^{2} + 1$

Passaggio 2

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 2.1

$\frac{3}{4}$ e $x^{2}$ .

$\frac{x^{3}}{8} + \frac{3 x}{2} = \frac{3 x^{2}}{4} + 1$

Passaggio 3

Sottrai $\frac{3 x^{2}}{4}$ da entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{x^{3}}{8} + \frac{3 x}{2} - \frac{3 x^{2}}{4} = 1$

Passaggio 4

Moltiplica per $8$ ciascun termine in $\frac{x^{3}}{8} + \frac{3 x}{2} - \frac{3 x^{2}}{4} = 1$ per eliminare le frazioni.

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Passaggio 4.1

Moltiplica ogni termine in $\frac{x^{3}}{8} + \frac{3 x}{2} - \frac{3 x^{2}}{4} = 1$ per $8$ .

$\frac{x^{3}}{8} \cdot 8 + \frac{3 x}{2} \cdot 8 - \frac{3 x^{2}}{4} \cdot 8 = 1 \cdot 8$

Passaggio 4.2

Semplifica il lato sinistro.

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Passaggio 4.2.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 4.2.1.1

Elimina il fattore comune di $8$ .

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Passaggio 4.2.1.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{x^{3}}{8} \cdot 8 + \frac{3 x}{2} \cdot 8 - \frac{3 x^{2}}{4} \cdot 8 = 1 \cdot 8$

Passaggio 4.2.1.1.2

Riscrivi l'espressione.

$x^{3} + \frac{3 x}{2} \cdot 8 - \frac{3 x^{2}}{4} \cdot 8 = 1 \cdot 8$

Passaggio 4.2.1.2

Elimina il fattore comune di $2$ .

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Passaggio 4.2.1.2.1

Scomponi $2$ da $8$ .

$x^{3} + \frac{3 x}{2} \cdot (2 (4)) - \frac{3 x^{2}}{4} \cdot 8 = 1 \cdot 8$

Passaggio 4.2.1.2.2

Elimina il fattore comune.

$x^{3} + \frac{3 x}{2} \cdot (2 \cdot 4) - \frac{3 x^{2}}{4} \cdot 8 = 1 \cdot 8$

Passaggio 4.2.1.2.3

Riscrivi l'espressione.

$x^{3} + 3 x \cdot 4 - \frac{3 x^{2}}{4} \cdot 8 = 1 \cdot 8$

Passaggio 4.2.1.3

Moltiplica $4$ per $3$ .

$x^{3} + 12 x - \frac{3 x^{2}}{4} \cdot 8 = 1 \cdot 8$

Passaggio 4.2.1.4

Elimina il fattore comune di $4$ .

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Passaggio 4.2.1.4.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{3 x^{2}}{4}$ nel numeratore.

$x^{3} + 12 x + \frac{- 3 x^{2}}{4} \cdot 8 = 1 \cdot 8$

Passaggio 4.2.1.4.2

Scomponi $4$ da $8$ .

$x^{3} + 12 x + \frac{- 3 x^{2}}{4} \cdot (4 (2)) = 1 \cdot 8$

Passaggio 4.2.1.4.3

Elimina il fattore comune.

$x^{3} + 12 x + \frac{- 3 x^{2}}{4} \cdot (4 \cdot 2) = 1 \cdot 8$

Passaggio 4.2.1.4.4

Riscrivi l'espressione.

$x^{3} + 12 x - 3 x^{2} \cdot 2 = 1 \cdot 8$

Passaggio 4.2.1.5

Moltiplica $2$ per $- 3$ .

$x^{3} + 12 x - 6 x^{2} = 1 \cdot 8$

Passaggio 4.3

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 4.3.1

Moltiplica $8$ per $1$ .

$x^{3} + 12 x - 6 x^{2} = 8$

Passaggio 5

Sottrai $8$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x^{3} + 12 x - 6 x^{2} - 8 = 0$

Passaggio 6

Scomponi il primo membro dell'equazione.

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Passaggio 6.1

Riordina i termini.

$x^{3} - 6 x^{2} + 12 x - 8 = 0$

Passaggio 6.2

Scomponi $x^{3} - 6 x^{2} + 12 x - 8$ usando il teorema delle radici razionali.

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Passaggio 6.2.1

Se una funzione polinomiale ha coefficienti interi, allora ogni zero razionale avrà la forma $\frac{p}{q}$ , dove $p$ è un fattore della costante e $q$ è un fattore del coefficiente direttivo.

$p = \pm 1, \pm 8, \pm 2, \pm 4$

$q = \pm 1$

Passaggio 6.2.2

Trova ciascuna combinazione di $\pm \frac{p}{q}$ . Si tratta delle radici possibili della funzione polinomica.

$\pm 1, \pm 8, \pm 2, \pm 4$

Passaggio 6.2.3

Sostituisci $2$ e semplifica l'espressione. In questo caso, l'espressione è uguale a $0$ quindi $2$ è una radice del polinomio.

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Passaggio 6.2.3.1

Sostituisci $2$ nel polinomio.

$2^{3} - 6 \cdot 2^{2} + 12 \cdot 2 - 8$

Passaggio 6.2.3.2

Eleva $2$ alla potenza di $3$ .

$8 - 6 \cdot 2^{2} + 12 \cdot 2 - 8$

Passaggio 6.2.3.3

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$8 - 6 \cdot 4 + 12 \cdot 2 - 8$

Passaggio 6.2.3.4

Moltiplica $- 6$ per $4$ .

$8 - 24 + 12 \cdot 2 - 8$

Passaggio 6.2.3.5

Sottrai $24$ da $8$ .

$- 16 + 12 \cdot 2 - 8$

Passaggio 6.2.3.6

Moltiplica $12$ per $2$ .

$- 16 + 24 - 8$

Passaggio 6.2.3.7

Somma $- 16$ e $24$ .

$8 - 8$

Passaggio 6.2.3.8

Sottrai $8$ da $8$ .

$0$

Passaggio 6.2.4

Poiché $2$ è una radice nota, dividi il polinomio per $x - 2$ per trovare il polinomio quoziente. Questo polinomio può poi essere usato per trovare le radici rimanenti.

$\frac{x^{3} - 6 x^{2} + 12 x - 8}{x - 2}$

Passaggio 6.2.5

Dividi $x^{3} - 6 x^{2} + 12 x - 8$ per $x - 2$ .

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Passaggio 6.2.5.1

Imposta i polinomi da dividere. Se non c'è un termine per ogni esponente, inseriscine uno con un valore di $0$ .

$x$

$2$

$x^{3}$

$6 x^{2}$

$12 x$

$8$

Passaggio 6.2.5.2

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $x^{3}$ per il termine di ordine più alto nel divisore $x$ .

					$x^{2}$
	$x$	-	$2$		$x^{3}$	-	$6 x^{2}$	+	$12 x$	-	$8$

Passaggio 6.2.5.3

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

				$x^{2}$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	-	$6 x^{2}$	+	$12 x$	-	$8$
			+	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$

Passaggio 6.2.5.4

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $x^{3} - 2 x^{2}$

				$x^{2}$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	-	$6 x^{2}$	+	$12 x$	-	$8$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$

Passaggio 6.2.5.5

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

				$x^{2}$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	-	$6 x^{2}$	+	$12 x$	-	$8$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					-	$4 x^{2}$

Passaggio 6.2.5.6

Abbassa i termini successivi dal dividendo originale nel dividendo attuale.

				$x^{2}$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	-	$6 x^{2}$	+	$12 x$	-	$8$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					-	$4 x^{2}$	+	$12 x$

Passaggio 6.2.5.7

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $- 4 x^{2}$ per il termine di ordine più alto nel divisore $x$ .

				$x^{2}$	-	$4 x$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	-	$6 x^{2}$	+	$12 x$	-	$8$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					-	$4 x^{2}$	+	$12 x$

Passaggio 6.2.5.8

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

				$x^{2}$	-	$4 x$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	-	$6 x^{2}$	+	$12 x$	-	$8$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					-	$4 x^{2}$	+	$12 x$
					-	$4 x^{2}$	+	$8 x$

Passaggio 6.2.5.9

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $- 4 x^{2} + 8 x$

				$x^{2}$	-	$4 x$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	-	$6 x^{2}$	+	$12 x$	-	$8$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					-	$4 x^{2}$	+	$12 x$
					+	$4 x^{2}$	-	$8 x$

Passaggio 6.2.5.10

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

				$x^{2}$	-	$4 x$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	-	$6 x^{2}$	+	$12 x$	-	$8$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					-	$4 x^{2}$	+	$12 x$
					+	$4 x^{2}$	-	$8 x$
							+	$4 x$

Passaggio 6.2.5.11

Abbassa i termini successivi dal dividendo originale nel dividendo attuale.

				$x^{2}$	-	$4 x$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	-	$6 x^{2}$	+	$12 x$	-	$8$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					-	$4 x^{2}$	+	$12 x$
					+	$4 x^{2}$	-	$8 x$
							+	$4 x$	-	$8$

Passaggio 6.2.5.12

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $4 x$ per il termine di ordine più alto nel divisore $x$ .

				$x^{2}$	-	$4 x$	+	$4$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	-	$6 x^{2}$	+	$12 x$	-	$8$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					-	$4 x^{2}$	+	$12 x$
					+	$4 x^{2}$	-	$8 x$
							+	$4 x$	-	$8$

Passaggio 6.2.5.13

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

				$x^{2}$	-	$4 x$	+	$4$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	-	$6 x^{2}$	+	$12 x$	-	$8$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					-	$4 x^{2}$	+	$12 x$
					+	$4 x^{2}$	-	$8 x$
							+	$4 x$	-	$8$
							+	$4 x$	-	$8$

Passaggio 6.2.5.14

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $4 x - 8$

				$x^{2}$	-	$4 x$	+	$4$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	-	$6 x^{2}$	+	$12 x$	-	$8$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					-	$4 x^{2}$	+	$12 x$
					+	$4 x^{2}$	-	$8 x$
							+	$4 x$	-	$8$
							-	$4 x$	+	$8$

Passaggio 6.2.5.15

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

				$x^{2}$	-	$4 x$	+	$4$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	-	$6 x^{2}$	+	$12 x$	-	$8$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					-	$4 x^{2}$	+	$12 x$
					+	$4 x^{2}$	-	$8 x$
							+	$4 x$	-	$8$
							-	$4 x$	+	$8$
										$0$

Passaggio 6.2.5.16

Poiché il resto è $0$ , la risposta finale è il quoziente.

$x^{2} - 4 x + 4$

Passaggio 6.2.6

Scrivi $x^{3} - 6 x^{2} + 12 x - 8$ come insieme di fattori.

$(x - 2) (x^{2} - 4 x + 4) = 0$

Passaggio 6.3

Scomponi usando la regola del quadrato perfetto.

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Passaggio 6.3.1

Riscrivi $4$ come $2^{2}$ .

$(x - 2) (x^{2} - 4 x + 2^{2}) = 0$

Passaggio 6.3.2

Verifica che il termine centrale sia il doppio del prodotto dei numeri elevati alla seconda potenza nel primo e nel terzo termine.

$4 x = 2 \cdot x \cdot 2$

Passaggio 6.3.3

Riscrivi il polinomio.

$(x - 2) (x^{2} - 2 \cdot x \cdot 2 + 2^{2}) = 0$

Passaggio 6.3.4

Scomponi usando la regola del trinomio perfetto al quadrato $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , dove $a = x$ e $b = 2$ .

$(x - 2) {(x - 2)}^{2} = 0$

Passaggio 7

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$x - 2 = 0$

${(x - 2)}^{2} = 0$

Passaggio 8

Imposta $x - 2$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

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Passaggio 8.1

Imposta $x - 2$ uguale a $0$ .

$x - 2 = 0$

Passaggio 8.2

Somma $2$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x = 2$

Passaggio 9

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $(x - 2) {(x - 2)}^{2} = 0$ vera.

$x = 2$