Algebra Esempi

$f (x) = \frac{x^{2} - 7 x + 12}{x^{3} - 5 x^{2} + 3 x + 9}$

Passaggio 1

Scomponi $x^{2} - 7 x + 12$ usando il metodo AC.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Trova una coppia di interi il cui prodotto è $c$ e la cui formula è $b$ . In questo caso, il cui prodotto è $12$ e la cui somma è $- 7$ .

$- 4, - 3$

Passaggio 1.2

Scrivi la forma fattorizzata usando questi interi.

$f (x) = \frac{(x - 4) (x - 3)}{x^{3} - 5 x^{2} + 3 x + 9}$

Passaggio 2

Fattorizza $x^{3} - 5 x^{2} + 3 x + 9$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Scomponi $x^{3} - 5 x^{2} + 3 x + 9$ usando il teorema delle radici razionali.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1

Se una funzione polinomiale ha coefficienti interi, allora ogni zero razionale avrà la forma $\frac{p}{q}$ , dove $p$ è un fattore della costante e $q$ è un fattore del coefficiente direttivo.

$p = \pm 1, \pm 9, \pm 3$

$q = \pm 1$

Passaggio 2.1.2

Trova ciascuna combinazione di $\pm \frac{p}{q}$ . Si tratta delle radici possibili della funzione polinomica.

$\pm 1, \pm 9, \pm 3$

Passaggio 2.1.3

Sostituisci $- 1$ e semplifica l'espressione. In questo caso, l'espressione è uguale a $0$ quindi $- 1$ è una radice del polinomio.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.3.1

Sostituisci $- 1$ nel polinomio.

${(- 1)}^{3} - 5 {(- 1)}^{2} + 3 \cdot - 1 + 9$

Passaggio 2.1.3.2

Eleva $- 1$ alla potenza di $3$ .

$- 1 - 5 {(- 1)}^{2} + 3 \cdot - 1 + 9$

Passaggio 2.1.3.3

Eleva $- 1$ alla potenza di $2$ .

$- 1 - 5 \cdot 1 + 3 \cdot - 1 + 9$

Passaggio 2.1.3.4

Moltiplica $- 5$ per $1$ .

$- 1 - 5 + 3 \cdot - 1 + 9$

Passaggio 2.1.3.5

Sottrai $5$ da $- 1$ .

$- 6 + 3 \cdot - 1 + 9$

Passaggio 2.1.3.6

Moltiplica $3$ per $- 1$ .

$- 6 - 3 + 9$

Passaggio 2.1.3.7

Sottrai $3$ da $- 6$ .

$- 9 + 9$

Passaggio 2.1.3.8

Somma $- 9$ e $9$ .

$0$

Passaggio 2.1.4

Poiché $- 1$ è una radice nota, dividi il polinomio per $x + 1$ per trovare il polinomio quoziente. Questo polinomio può poi essere usato per trovare le radici rimanenti.

$\frac{x^{3} - 5 x^{2} + 3 x + 9}{x + 1}$

Passaggio 2.1.5

Dividi $x^{3} - 5 x^{2} + 3 x + 9$ per $x + 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.5.1

Imposta i polinomi da dividere. Se non c'è un termine per ogni esponente, inseriscine uno con un valore di $0$ .

$x$

$1$

$x^{3}$

$5 x^{2}$

$3 x$

$9$

Passaggio 2.1.5.2

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $x^{3}$ per il termine di ordine più alto nel divisore $x$ .

					$x^{2}$
	$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$5 x^{2}$	+	$3 x$	+	$9$

Passaggio 2.1.5.3

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

				$x^{2}$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$5 x^{2}$	+	$3 x$	+	$9$
			+	$x^{3}$	+	$x^{2}$

Passaggio 2.1.5.4

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $x^{3} + x^{2}$

				$x^{2}$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$5 x^{2}$	+	$3 x$	+	$9$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$

Passaggio 2.1.5.5

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

				$x^{2}$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$5 x^{2}$	+	$3 x$	+	$9$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$6 x^{2}$

Passaggio 2.1.5.6

Abbassa i termini successivi dal dividendo originale nel dividendo attuale.

				$x^{2}$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$5 x^{2}$	+	$3 x$	+	$9$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$6 x^{2}$	+	$3 x$

Passaggio 2.1.5.7

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $- 6 x^{2}$ per il termine di ordine più alto nel divisore $x$ .

				$x^{2}$	-	$6 x$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$5 x^{2}$	+	$3 x$	+	$9$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$6 x^{2}$	+	$3 x$

Passaggio 2.1.5.8

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

				$x^{2}$	-	$6 x$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$5 x^{2}$	+	$3 x$	+	$9$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$6 x^{2}$	+	$3 x$
					-	$6 x^{2}$	-	$6 x$

Passaggio 2.1.5.9

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $- 6 x^{2} - 6 x$

				$x^{2}$	-	$6 x$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$5 x^{2}$	+	$3 x$	+	$9$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$6 x^{2}$	+	$3 x$
					+	$6 x^{2}$	+	$6 x$

Passaggio 2.1.5.10

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

				$x^{2}$	-	$6 x$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$5 x^{2}$	+	$3 x$	+	$9$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$6 x^{2}$	+	$3 x$
					+	$6 x^{2}$	+	$6 x$
							+	$9 x$

Passaggio 2.1.5.11

Abbassa i termini successivi dal dividendo originale nel dividendo attuale.

				$x^{2}$	-	$6 x$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$5 x^{2}$	+	$3 x$	+	$9$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$6 x^{2}$	+	$3 x$
					+	$6 x^{2}$	+	$6 x$
							+	$9 x$	+	$9$

Passaggio 2.1.5.12

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $9 x$ per il termine di ordine più alto nel divisore $x$ .

				$x^{2}$	-	$6 x$	+	$9$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$5 x^{2}$	+	$3 x$	+	$9$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$6 x^{2}$	+	$3 x$
					+	$6 x^{2}$	+	$6 x$
							+	$9 x$	+	$9$

Passaggio 2.1.5.13

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

				$x^{2}$	-	$6 x$	+	$9$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$5 x^{2}$	+	$3 x$	+	$9$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$6 x^{2}$	+	$3 x$
					+	$6 x^{2}$	+	$6 x$
							+	$9 x$	+	$9$
							+	$9 x$	+	$9$

Passaggio 2.1.5.14

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $9 x + 9$

				$x^{2}$	-	$6 x$	+	$9$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$5 x^{2}$	+	$3 x$	+	$9$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$6 x^{2}$	+	$3 x$
					+	$6 x^{2}$	+	$6 x$
							+	$9 x$	+	$9$
							-	$9 x$	-	$9$

Passaggio 2.1.5.15

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

				$x^{2}$	-	$6 x$	+	$9$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$5 x^{2}$	+	$3 x$	+	$9$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$6 x^{2}$	+	$3 x$
					+	$6 x^{2}$	+	$6 x$
							+	$9 x$	+	$9$
							-	$9 x$	-	$9$
										$0$

Passaggio 2.1.5.16

Poiché il resto è $0$ , la risposta finale è il quoziente.

$x^{2} - 6 x + 9$

Passaggio 2.1.6

Scrivi $x^{3} - 5 x^{2} + 3 x + 9$ come insieme di fattori.

$f (x) = \frac{(x - 4) (x - 3)}{(x + 1) (x^{2} - 6 x + 9)}$

Passaggio 2.2

Scomponi usando la regola del quadrato perfetto.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Riscrivi $9$ come $3^{2}$ .

$f (x) = \frac{(x - 4) (x - 3)}{(x + 1) (x^{2} - 6 x + 3^{2})}$

Passaggio 2.2.2

Verifica che il termine centrale sia il doppio del prodotto dei numeri elevati alla seconda potenza nel primo e nel terzo termine.

$6 x = 2 \cdot x \cdot 3$

Passaggio 2.2.3

Riscrivi il polinomio.

$f (x) = \frac{(x - 4) (x - 3)}{(x + 1) (x^{2} - 2 \cdot x \cdot 3 + 3^{2})}$

Passaggio 2.2.4

Scomponi usando la regola del trinomio perfetto al quadrato $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , dove $a = x$ e $b = 3$ .

$f (x) = \frac{(x - 4) (x - 3)}{(x + 1) {(x - 3)}^{2}}$

Passaggio 3

Elimina il fattore comune di $x - 3$ e ${(x - 3)}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Scomponi $x - 3$ da $(x - 4) (x - 3)$ .

$f (x) = \frac{(x - 3) (x - 4)}{(x + 1) {(x - 3)}^{2}}$

Passaggio 3.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Scomponi $x - 3$ da $(x + 1) {(x - 3)}^{2}$ .

$f (x) = \frac{(x - 3) (x - 4)}{(x - 3) ((x + 1) (x - 3))}$

Passaggio 3.2.2

Elimina il fattore comune.

$f (x) = \frac{(x - 3) (x - 4)}{(x - 3) ((x + 1) (x - 3))}$

Passaggio 3.2.3

Riscrivi l'espressione.

$f (x) = \frac{x - 4}{(x + 1) (x - 3)}$

Passaggio 4

Poiché non è possibile rimuovere alcun fattore dal denominatore, non ci sono spazi vuoti nel grafico.

Nessuno spazio vuoto

Passaggio 5