Algebra Esempi

$2 \ln (x) - \ln (3 - x) = \ln (\frac{1}{2}) + \ln (8)$

Passaggio 1

Riordina $3$ e $- x$ .

$2 \ln (x) - \ln (- x + 3) = \ln (\frac{1}{2}) + \ln (8)$

Passaggio 2

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 2.1

Usa la proprietà del prodotto dei logaritmi, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$2 \ln (x) - \ln (- x + 3) = \ln (\frac{1}{2} \cdot 8)$

Passaggio 2.2

Elimina il fattore comune di $2$ .

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Passaggio 2.2.1

Scomponi $2$ da $8$ .

$2 \ln (x) - \ln (- x + 3) = \ln (\frac{1}{2} \cdot (2 (4)))$

Passaggio 2.2.2

Elimina il fattore comune.

$2 \ln (x) - \ln (- x + 3) = \ln (\frac{1}{2} \cdot (2 \cdot 4))$

Passaggio 2.2.3

Riscrivi l'espressione.

$2 \ln (x) - \ln (- x + 3) = \ln (4)$

Passaggio 3

Sposta tutti i termini contenenti un logaritmo sul lato sinistro dell'equazione.

$2 \ln (x) - \ln (- x + 3) - \ln (4) = 0$

Passaggio 4

Semplifica il lato sinistro.

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Passaggio 4.1

Semplifica $2 \ln (x) - \ln (- x + 3) - \ln (4)$ .

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Passaggio 4.1.1

Semplifica $2 \ln (x)$ spostando $2$ all'interno del logaritmo.

$\ln (x^{2}) - \ln (- x + 3) - \ln (4) = 0$

Passaggio 4.1.2

Usa la proprietà del quoziente dei logaritmi, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{x^{2}}{- x + 3}) - \ln (4) = 0$

Passaggio 4.1.3

Usa la proprietà del quoziente dei logaritmi, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{\frac{x^{2}}{- x + 3}}{4}) = 0$

Passaggio 4.1.4

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$\ln (\frac{x^{2}}{- x + 3} \cdot \frac{1}{4}) = 0$

Passaggio 4.1.5

Moltiplica $\frac{x^{2}}{- x + 3}$ per $\frac{1}{4}$ .

$\ln (\frac{x^{2}}{(- x + 3) \cdot 4}) = 0$

Passaggio 4.1.6

Sposta $4$ alla sinistra di $- x + 3$ .

$\ln (\frac{x^{2}}{4 (- x + 3)}) = 0$

Passaggio 5

Riscrivi $\ln (\frac{x^{2}}{4 (- x + 3)}) = 0$ nella forma esponenziale usando la definizione di logaritmo. Se $x$ e $b$ sono numeri reali positivi e $b$ $\neq$ $1$ , allora $\log_{b} (x) = y$ è equivalente a $b^{y} = x$ .

$e^{0} = \frac{x^{2}}{4 (- x + 3)}$

Passaggio 6

Esegui la moltiplicazione incrociata per rimuovere la frazione.

$x^{2} = e^{0} (4 (- x + 3))$

Passaggio 7

Semplifica $e^{0} (4 (- x + 3))$ .

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Passaggio 7.1

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 7.1.1

Qualsiasi valore elevato a $0$ è $1$ .

$x^{2} = 1 (4 (- x + 3))$

Passaggio 7.1.2

Moltiplica $4 (- x + 3)$ per $1$ .

$x^{2} = 4 (- x + 3)$

Passaggio 7.2

Applica la proprietà distributiva.

$x^{2} = 4 (- x) + 4 \cdot 3$

Passaggio 7.3

Moltiplica.

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Passaggio 7.3.1

Moltiplica $- 1$ per $4$ .

$x^{2} = - 4 x + 4 \cdot 3$

Passaggio 7.3.2

Moltiplica $4$ per $3$ .

$x^{2} = - 4 x + 12$

Passaggio 8

Somma $4 x$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x^{2} + 4 x = 12$

Passaggio 9

Scomponi $x$ da $x^{2} + 4 x$ .

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Passaggio 9.1

Scomponi $x$ da $x^{2}$ .

$x \cdot x + 4 x = 12$

Passaggio 9.2

Scomponi $x$ da $4 x$ .

$x \cdot x + x \cdot 4 = 12$

Passaggio 9.3

Scomponi $x$ da $x \cdot x + x \cdot 4$ .

$x (x + 4) = 12$

Passaggio 10

Semplifica $x (x + 4)$ .

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Passaggio 10.1

Applica la proprietà distributiva.

$x \cdot x + x \cdot 4 = 12$

Passaggio 10.2

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 10.2.1

Moltiplica $x$ per $x$ .

$x^{2} + x \cdot 4 = 12$

Passaggio 10.2.2

Sposta $4$ alla sinistra di $x$ .

$x^{2} + 4 x = 12$

Passaggio 11

Sottrai $12$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x^{2} + 4 x - 12 = 0$

Passaggio 12

Scomponi $x^{2} + 4 x - 12$ usando il metodo AC.

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Passaggio 12.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Trova una coppia di interi il cui prodotto è $c$ e la cui formula è $b$ . In questo caso, il cui prodotto è $- 12$ e la cui somma è $4$ .

$- 2, 6$

Passaggio 12.2

Scrivi la forma fattorizzata usando questi interi.

$(x - 2) (x + 6) = 0$

Passaggio 13

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$x - 2 = 0$

$x + 6 = 0$

Passaggio 14

Imposta $x - 2$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

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Passaggio 14.1

Imposta $x - 2$ uguale a $0$ .

$x - 2 = 0$

Passaggio 14.2

Somma $2$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x = 2$

Passaggio 15

Imposta $x + 6$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

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Passaggio 15.1

Imposta $x + 6$ uguale a $0$ .

$x + 6 = 0$

Passaggio 15.2

Sottrai $6$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x = - 6$

Passaggio 16

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $(x - 2) (x + 6) = 0$ vera.

$x = 2, - 6$

Passaggio 17

Escludi le soluzioni che non rendono $2 \ln (x) - \ln (3 - x) = \ln (\frac{1}{2}) + \ln (8)$ vera.

$x = 2$