Algebra Esempi

${(\frac{2}{3})}^{5 x + 2} = {(\frac{3}{2})}^{2 X}$

Passaggio 1

Trova il logaritmo naturale dell'equazione assegnata per rimuovere la variabile dall'esponente.

$\ln ({(\frac{2}{3})}^{5 x + 2}) = \ln ({(\frac{3}{2})}^{2 X})$

Passaggio 2

Espandi il lato sinistro.

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Passaggio 2.1

Espandi $\ln ({(\frac{2}{3})}^{5 x + 2})$ spostando $5 x + 2$ fuori dal logaritmo.

$(5 x + 2) \ln (\frac{2}{3}) = \ln ({(\frac{3}{2})}^{2 X})$

Passaggio 2.2

Riscrivi $\ln (\frac{2}{3})$ come $\ln (2) - \ln (3)$ .

$(5 x + 2) (\ln (2) - \ln (3)) = \ln ({(\frac{3}{2})}^{2 X})$

Passaggio 3

Espandi il lato destro.

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Passaggio 3.1

Espandi $\ln ({(\frac{3}{2})}^{2 X})$ spostando $2 X$ fuori dal logaritmo.

$(5 x + 2) (\ln (2) - \ln (3)) = 2 X \ln (\frac{3}{2})$

Passaggio 3.2

Riscrivi $\ln (\frac{3}{2})$ come $\ln (3) - \ln (2)$ .

$(5 x + 2) (\ln (2) - \ln (3)) = 2 X (\ln (3) - \ln (2))$

Passaggio 4

Semplifica il lato sinistro.

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Passaggio 4.1

Semplifica $(5 x + 2) (\ln (2) - \ln (3))$ .

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Passaggio 4.1.1

Usa la proprietà del quoziente dei logaritmi, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$(5 x + 2) \ln (\frac{2}{3}) = 2 X (\ln (3) - \ln (2))$

Passaggio 4.1.2

Applica la proprietà distributiva.

$5 x \ln (\frac{2}{3}) + 2 \ln (\frac{2}{3}) = 2 X (\ln (3) - \ln (2))$

Passaggio 5

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 5.1

Usa la proprietà del quoziente dei logaritmi, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$5 x \ln (\frac{2}{3}) + 2 \ln (\frac{2}{3}) = 2 X \ln (\frac{3}{2})$

Passaggio 6

Sposta tutti i termini contenenti un logaritmo sul lato sinistro dell'equazione.

$5 x \ln (\frac{2}{3}) + 2 \ln (\frac{2}{3}) - 2 X \ln (\frac{3}{2}) = 0$

Passaggio 7

Sposta tutti i termini non contenenti $x$ sul lato destro dell'equazione.

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Passaggio 7.1

Sottrai $2 \ln (\frac{2}{3})$ da entrambi i lati dell'equazione.

$5 x \ln (\frac{2}{3}) - 2 X \ln (\frac{3}{2}) = - 2 \ln (\frac{2}{3})$

Passaggio 7.2

Somma $2 X \ln (\frac{3}{2})$ a entrambi i lati dell'equazione.

$5 x \ln (\frac{2}{3}) = - 2 \ln (\frac{2}{3}) + 2 X \ln (\frac{3}{2})$

Passaggio 8

Dividi per $5 \ln (\frac{2}{3})$ ciascun termine in $5 x \ln (\frac{2}{3}) = - 2 \ln (\frac{2}{3}) + 2 X \ln (\frac{3}{2})$ e semplifica.

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Passaggio 8.1

Dividi per $5 \ln (\frac{2}{3})$ ciascun termine in $5 x \ln (\frac{2}{3}) = - 2 \ln (\frac{2}{3}) + 2 X \ln (\frac{3}{2})$ .

$\frac{5 x \ln (\frac{2}{3})}{5 \ln (\frac{2}{3})} = \frac{- 2 \ln (\frac{2}{3})}{5 \ln (\frac{2}{3})} + \frac{2 X \ln (\frac{3}{2})}{5 \ln (\frac{2}{3})}$

Passaggio 8.2

Semplifica il lato sinistro.

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Passaggio 8.2.1

Elimina il fattore comune di $5$ .

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Passaggio 8.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{5 x \ln (\frac{2}{3})}{5 \ln (\frac{2}{3})} = \frac{- 2 \ln (\frac{2}{3})}{5 \ln (\frac{2}{3})} + \frac{2 X \ln (\frac{3}{2})}{5 \ln (\frac{2}{3})}$

Passaggio 8.2.1.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{x \ln (\frac{2}{3})}{\ln (\frac{2}{3})} = \frac{- 2 \ln (\frac{2}{3})}{5 \ln (\frac{2}{3})} + \frac{2 X \ln (\frac{3}{2})}{5 \ln (\frac{2}{3})}$

Passaggio 8.2.2

Elimina il fattore comune di $\ln (\frac{2}{3})$ .

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Passaggio 8.2.2.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{x \ln (\frac{2}{3})}{\ln (\frac{2}{3})} = \frac{- 2 \ln (\frac{2}{3})}{5 \ln (\frac{2}{3})} + \frac{2 X \ln (\frac{3}{2})}{5 \ln (\frac{2}{3})}$

Passaggio 8.2.2.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x = \frac{- 2 \ln (\frac{2}{3})}{5 \ln (\frac{2}{3})} + \frac{2 X \ln (\frac{3}{2})}{5 \ln (\frac{2}{3})}$

Passaggio 8.3

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 8.3.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 8.3.1.1

Elimina il fattore comune di $\ln (\frac{2}{3})$ .

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Passaggio 8.3.1.1.1

Elimina il fattore comune.

$x = \frac{- 2 \ln (\frac{2}{3})}{5 \ln (\frac{2}{3})} + \frac{2 X \ln (\frac{3}{2})}{5 \ln (\frac{2}{3})}$

Passaggio 8.3.1.1.2

Riscrivi l'espressione.

$x = \frac{- 2}{5} + \frac{2 X \ln (\frac{3}{2})}{5 \ln (\frac{2}{3})}$

Passaggio 8.3.1.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$x = - \frac{2}{5} + \frac{2 X \ln (\frac{3}{2})}{5 \ln (\frac{2}{3})}$