Algebra Esempi

$\log_{2} (3 x^{2} - 3) - \log_{2} (2 x + 2) = 4$

Passaggio 1

Semplifica il lato sinistro.

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Passaggio 1.1

Usa la proprietà del quoziente dei logaritmi, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\log_{2} (\frac{3 x^{2} - 3}{2 x + 2}) = 4$

Passaggio 1.2

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 1.2.1

Scomponi $3$ da $3 x^{2} - 3$ .

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Passaggio 1.2.1.1

Scomponi $3$ da $3 x^{2}$ .

$\log_{2} (\frac{3 (x^{2}) - 3}{2 x + 2}) = 4$

Passaggio 1.2.1.2

Scomponi $3$ da $- 3$ .

$\log_{2} (\frac{3 (x^{2}) + 3 (- 1)}{2 x + 2}) = 4$

Passaggio 1.2.1.3

Scomponi $3$ da $3 (x^{2}) + 3 (- 1)$ .

$\log_{2} (\frac{3 (x^{2} - 1)}{2 x + 2}) = 4$

Passaggio 1.2.2

Riscrivi $1$ come $1^{2}$ .

$\log_{2} (\frac{3 (x^{2} - 1^{2})}{2 x + 2}) = 4$

Passaggio 1.2.3

Poiché entrambi i termini sono dei quadrati perfetti, fattorizza usando la formula della differenza di quadrati, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ dove $a = x$ e $b = 1$ .

$\log_{2} (\frac{3 (x + 1) (x - 1)}{2 x + 2}) = 4$

Passaggio 1.3

Semplifica i termini.

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Passaggio 1.3.1

Scomponi $2$ da $2 x + 2$ .

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Passaggio 1.3.1.1

Scomponi $2$ da $2 x$ .

$\log_{2} (\frac{3 (x + 1) (x - 1)}{2 (x) + 2}) = 4$

Passaggio 1.3.1.2

Scomponi $2$ da $2$ .

$\log_{2} (\frac{3 (x + 1) (x - 1)}{2 (x) + 2 (1)}) = 4$

Passaggio 1.3.1.3

Scomponi $2$ da $2 (x) + 2 (1)$ .

$\log_{2} (\frac{3 (x + 1) (x - 1)}{2 (x + 1)}) = 4$

Passaggio 1.3.2

Riduci l'espressione $\frac{3 (x + 1) (x - 1)}{2 (x + 1)}$ eliminando i fattori comuni.

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Passaggio 1.3.2.1

Elimina il fattore comune.

$\log_{2} (\frac{3 (x + 1) (x - 1)}{2 (x + 1)}) = 4$

Passaggio 1.3.2.2

Riscrivi l'espressione.

$\log_{2} (\frac{3 (x - 1)}{2}) = 4$

Passaggio 1.4

Riscrivi $\frac{3 (x - 1)}{2}$ come $3 (x - 1) \cdot 2^{- 1}$ .

$\log_{2} (3 (x - 1) \cdot 2^{- 1}) = 4$

Passaggio 1.5

Riscrivi $\log_{2} (3 (x - 1) \cdot 2^{- 1})$ come $\log_{2} (3 (x - 1)) + \log_{2} (2^{- 1})$ .

$\log_{2} (3 (x - 1)) + \log_{2} (2^{- 1}) = 4$

Passaggio 1.6

Usa le regole del logaritmo per togliere $- 1$ dall'esponente.

$\log_{2} (3 (x - 1)) - \log_{2} (2) = 4$

Passaggio 1.7

Il logaritmo in base $2$ di $2$ è $1$ .

$\log_{2} (3 (x - 1)) - 1 \cdot 1 = 4$

Passaggio 1.8

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$\log_{2} (3 (x - 1)) - 1 = 4$

Passaggio 1.9

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 1.9.1

Applica la proprietà distributiva.

$\log_{2} (3 x + 3 \cdot - 1) - 1 = 4$

Passaggio 1.9.2

Moltiplica $3$ per $- 1$ .

$\log_{2} (3 x - 3) - 1 = 4$

Passaggio 2

Sposta tutti i termini non contenenti $\log_{2} (3 x - 3)$ sul lato destro dell'equazione.

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Passaggio 2.1

Somma $1$ a entrambi i lati dell'equazione.

$\log_{2} (3 x - 3) = 4 + 1$

Passaggio 2.2

Somma $4$ e $1$ .

$\log_{2} (3 x - 3) = 5$

Passaggio 3

Riscrivi $\log_{2} (3 x - 3) = 5$ in forma esponenziale usando la definizione di logaritmo. Se $x$ e $b$ sono numeri reali positivi e $b \neq 1$ , allora $\log_{b} (x) = y$ è equivalente a $b^{y} = x$ .

$2^{5} = 3 x - 3$

Passaggio 4

Risolvi per $x$ .

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Passaggio 4.1

Riscrivi l'equazione come $3 x - 3 = 2^{5}$ .

$3 x - 3 = 2^{5}$

Passaggio 4.2

Eleva $2$ alla potenza di $5$ .

$3 x - 3 = 32$

Passaggio 4.3

Sposta tutti i termini non contenenti $x$ sul lato destro dell'equazione.

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Passaggio 4.3.1

Somma $3$ a entrambi i lati dell'equazione.

$3 x = 32 + 3$

Passaggio 4.3.2

Somma $32$ e $3$ .

$3 x = 35$

Passaggio 4.4

Dividi per $3$ ciascun termine in $3 x = 35$ e semplifica.

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Passaggio 4.4.1

Dividi per $3$ ciascun termine in $3 x = 35$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{35}{3}$

Passaggio 4.4.2

Semplifica il lato sinistro.

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Passaggio 4.4.2.1

Elimina il fattore comune di $3$ .

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Passaggio 4.4.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{3 x}{3} = \frac{35}{3}$

Passaggio 4.4.2.1.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x = \frac{35}{3}$

Passaggio 5

Il risultato può essere mostrato in più forme.

Forma esatta:

$x = \frac{35}{3}$

Forma decimale:

$x = 11.\overline{6}$

Forma numero misto:

$x = 11 \frac{2}{3}$