Algebra Esempi

$y = 3^{\frac{x}{2}}$

Passaggio 1

Scambia le variabili.

$x = 3^{\frac{y}{2}}$

Passaggio 2

Risolvi per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Riscrivi l'equazione come $3^{\frac{y}{2}} = x$ .

$3^{\frac{y}{2}} = x$

Passaggio 2.2

Trova il logaritmo naturale dell'equazione assegnata per rimuovere la variabile dall'esponente.

$\ln (3^{\frac{y}{2}}) = \ln (x)$

Passaggio 2.3

Espandi il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Espandi $\ln (3^{\frac{y}{2}})$ spostando $\frac{y}{2}$ fuori dal logaritmo.

$\frac{y}{2} \ln (3) = \ln (x)$

Passaggio 2.3.2

$\frac{y}{2}$ e $\ln (3)$ .

$\frac{y \ln (3)}{2} = \ln (x)$

Passaggio 2.4

Moltiplica entrambi i lati dell'equazione per $\frac{2}{\ln (3)}$ .

$\frac{2}{\ln (3)} \cdot \frac{y \ln (3)}{2} = \frac{2}{\ln (3)} \ln (x)$

Passaggio 2.5

Semplifica entrambi i lati dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.1

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.1.1

Semplifica $\frac{2}{\ln (3)} \cdot \frac{y \ln (3)}{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.1.1.1

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.1.1.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{2}{\ln (3)} \cdot \frac{y \ln (3)}{2} = \frac{2}{\ln (3)} \ln (x)$

Passaggio 2.5.1.1.1.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{\ln (3)} (y \ln (3)) = \frac{2}{\ln (3)} \ln (x)$

Passaggio 2.5.1.1.2

Elimina il fattore comune di $\ln (3)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.1.1.2.1

Scomponi $\ln (3)$ da $y \ln (3)$ .

$\frac{1}{\ln (3)} (\ln (3) y) = \frac{2}{\ln (3)} \ln (x)$

Passaggio 2.5.1.1.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{1}{\ln (3)} (\ln (3) y) = \frac{2}{\ln (3)} \ln (x)$

Passaggio 2.5.1.1.2.3

Riscrivi l'espressione.

$y = \frac{2}{\ln (3)} \ln (x)$

Passaggio 2.5.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.2.1

$\frac{2}{\ln (3)}$ e $\ln (x)$ .

$y = \frac{2 \ln (x)}{\ln (3)}$

Passaggio 3

Sostituisci $y$ con $f^{- 1} (x)$ per mostrare la risposta finale.

$f^{- 1} (x) = \frac{2 \ln (x)}{\ln (3)}$

Passaggio 4

Verifica se $f^{- 1} (x) = \frac{2 \ln (x)}{\ln (3)}$ è l'inverso di $f (x) = 3^{\frac{x}{2}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Per verificare l'inverso, controlla se $f^{- 1} (f (x)) = x$ e $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Passaggio 4.2

Calcola $f^{- 1} (f (x))$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1

Imposta la funzione composita per il risultato.

$f^{- 1} (f (x))$

Passaggio 4.2.2

Calcola $f^{- 1} \cdot 3^{\frac{x}{2}}$ sostituendo il valore di $f$ in $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} \cdot 3^{\frac{x}{2}} = \frac{2 \ln (3^{\frac{x}{2}})}{\ln (3)}$

Passaggio 4.2.3

Espandi $\ln (3^{\frac{x}{2}})$ spostando $\frac{x}{2}$ fuori dal logaritmo.

$f^{- 1} \cdot 3^{\frac{x}{2}} = \frac{2 (\frac{x}{2} \cdot \ln (3))}{\ln (3)}$

Passaggio 4.2.4

Elimina il fattore comune di $\ln (3)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.4.1

Elimina il fattore comune.

$f^{- 1} \cdot 3^{\frac{x}{2}} = \frac{2 (\frac{x}{2} \cdot \ln (3))}{\ln (3)}$

Passaggio 4.2.4.2

Dividi $2 (\frac{x}{2})$ per $1$ .

$f^{- 1} \cdot 3^{\frac{x}{2}} = 2 (\frac{x}{2})$

Passaggio 4.2.5

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.5.1

Elimina il fattore comune.

$f^{- 1} \cdot 3^{\frac{x}{2}} = 2 (\frac{x}{2})$

Passaggio 4.2.5.2

Riscrivi l'espressione.

$f^{- 1} \cdot 3^{\frac{x}{2}} = x$

Passaggio 4.3

Calcola $f (f^{- 1} (x))$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.1

Imposta la funzione composita per il risultato.

$f (f^{- 1} (x))$

Passaggio 4.3.2

Calcola $f (\frac{2 \ln (x)}{\ln (3)})$ sostituendo il valore di $f^{- 1}$ in $f$ .

$f (\frac{2 \ln (x)}{\ln (3)}) = 3^{\frac{\frac{2 \ln (x)}{\ln (3)}}{2}}$

Passaggio 4.3.3

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$f (\frac{2 \ln (x)}{\ln (3)}) = 3^{\frac{2 \ln (x)}{\ln (3)} \cdot \frac{1}{2}}$

Passaggio 4.3.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.4.1

Scomponi $2$ da $2 \ln (x)$ .

$f (\frac{2 \ln (x)}{\ln (3)}) = 3^{\frac{2 (\ln (x))}{\ln (3)} \cdot \frac{1}{2}}$

Passaggio 4.3.4.2

Elimina il fattore comune.

$f (\frac{2 \ln (x)}{\ln (3)}) = 3^{\frac{2 \ln (x)}{\ln (3)} \cdot \frac{1}{2}}$

Passaggio 4.3.4.3

Riscrivi l'espressione.

$f (\frac{2 \ln (x)}{\ln (3)}) = 3^{\frac{\ln (x)}{\ln (3)}}$

Passaggio 4.3.5

Usa la variazione della regola base $\frac{\log_{b} (x)}{\log_{b} (a)} = \log_{a} (x)$ .

$f (\frac{2 \ln (x)}{\ln (3)}) = 3^{\log_{3} (x)}$

Passaggio 4.3.6

L'esponenziazione e il logaritmo sono funzioni inverse.

$f (\frac{2 \ln (x)}{\ln (3)}) = x$

Passaggio 4.4

Poiché $f^{- 1} (f (x)) = x$ e $f (f^{- 1} (x)) = x$ , allora $f^{- 1} (x) = \frac{2 \ln (x)}{\ln (3)}$ è l'inverso di $f (x) = 3^{\frac{x}{2}}$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{2 \ln (x)}{\ln (3)}$