Algebra Esempi

$y = e^{\frac{x}{2}}$

Passaggio 1

Scambia le variabili.

$x = e^{\frac{y}{2}}$

Passaggio 2

Risolvi per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Riscrivi l'equazione come $e^{\frac{y}{2}} = x$ .

$e^{\frac{y}{2}} = x$

Passaggio 2.2

Trova il logaritmo naturale dell'equazione assegnata per rimuovere la variabile dall'esponente.

$\ln (e^{\frac{y}{2}}) = \ln (x)$

Passaggio 2.3

Espandi il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Espandi $\ln (e^{\frac{y}{2}})$ spostando $\frac{y}{2}$ fuori dal logaritmo.

$\frac{y}{2} \ln (e) = \ln (x)$

Passaggio 2.3.2

Il logaritmo naturale di $e$ è $1$ .

$\frac{y}{2} \cdot 1 = \ln (x)$

Passaggio 2.3.3

Moltiplica $\frac{y}{2}$ per $1$ .

$\frac{y}{2} = \ln (x)$

Passaggio 2.4

Moltiplica entrambi i lati dell'equazione per $2$ .

$2 \frac{y}{2} = 2 \ln (x)$

Passaggio 2.5

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.1

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.1.1

Elimina il fattore comune.

$2 \frac{y}{2} = 2 \ln (x)$

Passaggio 2.5.1.2

Riscrivi l'espressione.

$y = 2 \ln (x)$

Passaggio 3

Sostituisci $y$ con $f^{- 1} (x)$ per mostrare la risposta finale.

$f^{- 1} (x) = 2 \ln (x)$

Passaggio 4

Verifica se $f^{- 1} (x) = 2 \ln (x)$ è l'inverso di $f (x) = e^{\frac{x}{2}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Per verificare l'inverso, controlla se $f^{- 1} (f (x)) = x$ e $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Passaggio 4.2

Calcola $f^{- 1} (f (x))$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1

Imposta la funzione composita per il risultato.

$f^{- 1} (f (x))$

Passaggio 4.2.2

Calcola $f^{- 1} (e^{\frac{x}{2}})$ sostituendo il valore di $f$ in $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (e^{\frac{x}{2}}) = 2 \ln (e^{\frac{x}{2}})$

Passaggio 4.2.3

Usa le regole del logaritmo per togliere $\frac{x}{2}$ dall'esponente.

$f^{- 1} (e^{\frac{x}{2}}) = 2 (\frac{x}{2} \cdot \ln (e))$

Passaggio 4.2.4

Il logaritmo naturale di $e$ è $1$ .

$f^{- 1} (e^{\frac{x}{2}}) = 2 (\frac{x}{2} \cdot 1)$

Passaggio 4.2.5

Moltiplica $\frac{x}{2}$ per $1$ .

$f^{- 1} (e^{\frac{x}{2}}) = 2 (\frac{x}{2})$

Passaggio 4.2.6

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.6.1

Elimina il fattore comune.

$f^{- 1} (e^{\frac{x}{2}}) = 2 (\frac{x}{2})$

Passaggio 4.2.6.2

Riscrivi l'espressione.

$f^{- 1} (e^{\frac{x}{2}}) = x$

Passaggio 4.3

Calcola $f (f^{- 1} (x))$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.1

Imposta la funzione composita per il risultato.

$f (f^{- 1} (x))$

Passaggio 4.3.2

Calcola $f (2 \ln (x))$ sostituendo il valore di $f^{- 1}$ in $f$ .

$f (2 \ln (x)) = e^{\frac{2 \ln (x)}{2}}$

Passaggio 4.3.3

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.3.1

Elimina il fattore comune.

$f (2 \ln (x)) = e^{\frac{2 \ln (x)}{2}}$

Passaggio 4.3.3.2

Dividi $\ln (x)$ per $1$ .

$f (2 \ln (x)) = e^{\ln (x)}$

Passaggio 4.3.4

L'esponenziazione e il logaritmo sono funzioni inverse.

$f (2 \ln (x)) = x$

Passaggio 4.4

Poiché $f^{- 1} (f (x)) = x$ e $f (f^{- 1} (x)) = x$ , allora $f^{- 1} (x) = 2 \ln (x)$ è l'inverso di $f (x) = e^{\frac{x}{2}}$ .

$f^{- 1} (x) = 2 \ln (x)$