Algebra Esempi

$16^{- 3 y} \cdot \frac{1}{8} = {(\frac{1}{32})}^{2 y - 3}$

Passaggio 1

Trova il logaritmo dell'equazione assegnata.

$\ln (16^{- 3 y} \cdot \frac{1}{8}) = \ln ({(\frac{1}{32})}^{2 y - 3})$

Passaggio 2

Riscrivi $\ln (16^{- 3 y} \cdot \frac{1}{8})$ come $\ln (16^{- 3 y}) + \ln (\frac{1}{8})$ .

$\ln (16^{- 3 y}) + \ln (\frac{1}{8}) = \ln ({(\frac{1}{32})}^{2 y - 3})$

Passaggio 3

Riscrivi $\ln (\frac{1}{8})$ come $\ln (1) - \ln (8)$ .

$\ln (16^{- 3 y}) + \ln (1) - \ln (8) = \ln ({(\frac{1}{32})}^{2 y - 3})$

Passaggio 4

Espandi $\ln (16^{- 3 y})$ spostando $- 3 y$ fuori dal logaritmo.

$- 3 y \ln (16) + \ln (1) - \ln (8) = \ln ({(\frac{1}{32})}^{2 y - 3})$

Passaggio 5

Il logaritmo naturale di $1$ è $0$ .

$- 3 y \ln (16) + 0 - \ln (8) = \ln ({(\frac{1}{32})}^{2 y - 3})$

Passaggio 6

Riscrivi $\ln (8)$ come $\ln (2^{3})$ .

$- 3 y \ln (16) + 0 - \ln (2^{3}) = \ln ({(\frac{1}{32})}^{2 y - 3})$

Passaggio 7

Espandi $\ln (2^{3})$ spostando $3$ fuori dal logaritmo.

$- 3 y \ln (16) + 0 - (3 \ln (2)) = \ln ({(\frac{1}{32})}^{2 y - 3})$

Passaggio 8

Moltiplica $3$ per $- 1$ .

$- 3 y \ln (16) + 0 - 3 \ln (2) = \ln ({(\frac{1}{32})}^{2 y - 3})$

Passaggio 9

Sottrai $3 \ln (2)$ da $0$ .

$- 3 y \ln (16) - 3 \ln (2) = \ln ({(\frac{1}{32})}^{2 y - 3})$

Passaggio 10

Espandi $\ln ({(\frac{1}{32})}^{2 y - 3})$ spostando $2 y - 3$ fuori dal logaritmo.

$- 3 y \ln (16) - 3 \ln (2) = (2 y - 3) \ln (\frac{1}{32})$

Passaggio 11

Riscrivi $\ln (\frac{1}{32})$ come $\ln (1) - \ln (32)$ .

$- 3 y \ln (16) - 3 \ln (2) = (2 y - 3) (\ln (1) - \ln (32))$

Passaggio 12

Il logaritmo naturale di $1$ è $0$ .

$- 3 y \ln (16) - 3 \ln (2) = (2 y - 3) (0 - \ln (32))$

Passaggio 13

Riscrivi $\ln (32)$ come $\ln (2^{5})$ .

$- 3 y \ln (16) - 3 \ln (2) = (2 y - 3) (0 - \ln (2^{5}))$

Passaggio 14

Espandi $\ln (2^{5})$ spostando $5$ fuori dal logaritmo.

$- 3 y \ln (16) - 3 \ln (2) = (2 y - 3) (0 - (5 \ln (2)))$

Passaggio 15

Moltiplica $5$ per $- 1$ .

$- 3 y \ln (16) - 3 \ln (2) = (2 y - 3) (0 - 5 \ln (2))$

Passaggio 16

Sottrai $5 \ln (2)$ da $0$ .

$- 3 y \ln (16) - 3 \ln (2) = (2 y - 3) (- 5 \ln (2))$

Passaggio 17

Risolvi l'equazione per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 17.1

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 17.1.1

Applica la proprietà distributiva.

$- 3 y \ln (16) - 3 \ln (2) = 2 y (- 5 \ln (2)) - 3 (- 5 \ln (2))$

Passaggio 17.1.2

Moltiplica.

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Passaggio 17.1.2.1

Moltiplica $- 5$ per $2$ .

$- 3 y \ln (16) - 3 \ln (2) = - 10 y \ln (2) - 3 (- 5 \ln (2))$

Passaggio 17.1.2.2

Moltiplica $- 5$ per $- 3$ .

$- 3 y \ln (16) - 3 \ln (2) = - 10 y \ln (2) + 15 \ln (2)$

Passaggio 17.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 17.2.1

Semplifica $- 3 y \ln (16) - 3 \ln (2)$ .

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Passaggio 17.2.1.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 17.2.1.1.1

Semplifica $- 3 \ln (16)$ spostando $3$ all'interno del logaritmo.

$y (- \ln (16^{3})) - 3 \ln (2) = - 10 y \ln (2) + 15 \ln (2)$

Passaggio 17.2.1.1.2

Eleva $16$ alla potenza di $3$ .

$y (- \ln (4096)) - 3 \ln (2) = - 10 y \ln (2) + 15 \ln (2)$

Passaggio 17.2.1.1.3

Semplifica $- 3 \ln (2)$ spostando $3$ all'interno del logaritmo.

$y (- \ln (4096)) - \ln (2^{3}) = - 10 y \ln (2) + 15 \ln (2)$

Passaggio 17.2.1.1.4

Eleva $2$ alla potenza di $3$ .

$y (- \ln (4096)) - \ln (8) = - 10 y \ln (2) + 15 \ln (2)$

Passaggio 17.2.1.2

Riordina i fattori in $y (- \ln (4096)) - \ln (8)$ .

$- y \ln (4096) - \ln (8) = - 10 y \ln (2) + 15 \ln (2)$

Passaggio 17.3

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 17.3.1

Semplifica $- 10 y \ln (2) + 15 \ln (2)$ .

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Passaggio 17.3.1.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 17.3.1.1.1

Semplifica $- 10 \ln (2)$ spostando $10$ all'interno del logaritmo.

$- y \ln (4096) - \ln (8) = y (- \ln (2^{10})) + 15 \ln (2)$

Passaggio 17.3.1.1.2

Eleva $2$ alla potenza di $10$ .

$- y \ln (4096) - \ln (8) = y (- \ln (1024)) + 15 \ln (2)$

Passaggio 17.3.1.1.3

Semplifica $15 \ln (2)$ spostando $15$ all'interno del logaritmo.

$- y \ln (4096) - \ln (8) = y (- \ln (1024)) + \ln (2^{15})$

Passaggio 17.3.1.1.4

Eleva $2$ alla potenza di $15$ .

$- y \ln (4096) - \ln (8) = y (- \ln (1024)) + \ln (32768)$

Passaggio 17.3.1.2

Riordina i fattori in $y (- \ln (1024)) + \ln (32768)$ .

$- y \ln (4096) - \ln (8) = - y \ln (1024) + \ln (32768)$

Passaggio 17.4

Sposta tutti i termini contenenti un logaritmo sul lato sinistro dell'equazione.

$- y \ln (4096) - \ln (8) + y \ln (1024) - \ln (32768) = 0$

Passaggio 17.5

Sposta tutti i termini non contenenti $y$ sul lato destro dell'equazione.

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Passaggio 17.5.1

Somma $\ln (8)$ a entrambi i lati dell'equazione.

$- y \ln (4096) + y \ln (1024) - \ln (32768) = \ln (8)$

Passaggio 17.5.2

Somma $\ln (32768)$ a entrambi i lati dell'equazione.

$- y \ln (4096) + y \ln (1024) = \ln (8) + \ln (32768)$

Passaggio 17.6

Scomponi $y$ da $- y \ln (4096) + y \ln (1024)$ .

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Passaggio 17.6.1

Scomponi $y$ da $- y \ln (4096)$ .

$y (- 1 \ln (4096)) + y \ln (1024) = \ln (8) + \ln (32768)$

Passaggio 17.6.2

Scomponi $y$ da $y \ln (1024)$ .

$y (- 1 \ln (4096)) + y (\ln (1024)) = \ln (8) + \ln (32768)$

Passaggio 17.6.3

Scomponi $y$ da $y (- 1 \ln (4096)) + y (\ln (1024))$ .

$y (- 1 \ln (4096) + \ln (1024)) = \ln (8) + \ln (32768)$

Passaggio 17.7

Riscrivi $- 1 \ln (4096)$ come $- \ln (4096)$ .

$y (- \ln (4096) + \ln (1024)) = \ln (8) + \ln (32768)$

Passaggio 17.8

Dividi per $- \ln (4096) + \ln (1024)$ ciascun termine in $y (- \ln (4096) + \ln (1024)) = \ln (8) + \ln (32768)$ e semplifica.

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Passaggio 17.8.1

Dividi per $- \ln (4096) + \ln (1024)$ ciascun termine in $y (- \ln (4096) + \ln (1024)) = \ln (8) + \ln (32768)$ .

$\frac{y (- \ln (4096) + \ln (1024))}{- \ln (4096) + \ln (1024)} = \frac{\ln (8)}{- \ln (4096) + \ln (1024)} + \frac{\ln (32768)}{- \ln (4096) + \ln (1024)}$

Passaggio 17.8.2

Semplifica il lato sinistro.

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Passaggio 17.8.2.1

Elimina il fattore comune di $- \ln (4096) + \ln (1024)$ .

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Passaggio 17.8.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{y (- \ln (4096) + \ln (1024))}{- \ln (4096) + \ln (1024)} = \frac{\ln (8)}{- \ln (4096) + \ln (1024)} + \frac{\ln (32768)}{- \ln (4096) + \ln (1024)}$

Passaggio 17.8.2.1.2

Dividi $y$ per $1$ .

$y = \frac{\ln (8)}{- \ln (4096) + \ln (1024)} + \frac{\ln (32768)}{- \ln (4096) + \ln (1024)}$

Passaggio 17.8.3

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 17.8.3.1

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$y = \frac{\ln (8) + \ln (32768)}{- \ln (4096) + \ln (1024)}$

Passaggio 17.8.3.2

Scomponi $- 1$ da $- \ln (4096)$ .

$y = \frac{\ln (8) + \ln (32768)}{- \ln (4096) + \ln (1024)}$

Passaggio 17.8.3.3

Scomponi $- 1$ da $\ln (1024)$ .

$y = \frac{\ln (8) + \ln (32768)}{- \ln (4096) - 1 (- \ln (1024))}$

Passaggio 17.8.3.4

Scomponi $- 1$ da $- \ln (4096) - 1 (- \ln (1024))$ .

$y = \frac{\ln (8) + \ln (32768)}{- (\ln (4096) - \ln (1024))}$

Passaggio 17.8.3.5

Riscrivi i negativi.

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Passaggio 17.8.3.5.1

Riscrivi $- (\ln (4096) - \ln (1024))$ come $- 1 (\ln (4096) - \ln (1024))$ .

$y = \frac{\ln (8) + \ln (32768)}{- 1 (\ln (4096) - \ln (1024))}$

Passaggio 17.8.3.5.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$y = - \frac{\ln (8) + \ln (32768)}{\ln (4096) - \ln (1024)}$

Passaggio 18

Il risultato può essere mostrato in più forme.

Forma esatta:

$y = - \frac{\ln (8) + \ln (32768)}{\ln (4096) - \ln (1024)}$

Forma decimale:

$y = - 9.000000000000 \dots$