Algebra Esempi

${(\frac{1}{2})}^{x^{2} - x - 2} = 1$

Passaggio 1

Trova il logaritmo naturale dell'equazione assegnata per rimuovere la variabile dall'esponente.

$\ln ({(\frac{1}{2})}^{x^{2} - x - 2}) = \ln (1)$

Passaggio 2

Espandi il lato sinistro.

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Passaggio 2.1

Espandi $\ln ({(\frac{1}{2})}^{x^{2} - x - 2})$ spostando $x^{2} - x - 2$ fuori dal logaritmo.

$(x^{2} - x - 2) \ln (\frac{1}{2}) = \ln (1)$

Passaggio 2.2

Riscrivi $\ln (\frac{1}{2})$ come $\ln (1) - \ln (2)$ .

$(x^{2} - x - 2) (\ln (1) - \ln (2)) = \ln (1)$

Passaggio 2.3

Il logaritmo naturale di $1$ è $0$ .

$(x^{2} - x - 2) (0 - \ln (2)) = \ln (1)$

Passaggio 2.4

Sottrai $\ln (2)$ da $0$ .

$(x^{2} - x - 2) (- \ln (2)) = \ln (1)$

Passaggio 3

Semplifica il lato sinistro.

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Passaggio 3.1

Semplifica $(x^{2} - x - 2) (- \ln (2))$ .

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Passaggio 3.1.1

Applica la proprietà distributiva.

$x^{2} (- \ln (2)) - x (- \ln (2)) - 2 (- \ln (2)) = \ln (1)$

Passaggio 3.1.2

Semplifica.

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Passaggio 3.1.2.1

Moltiplica $- x (- \ln (2))$ .

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Passaggio 3.1.2.1.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$x^{2} (- \ln (2)) + 1 x \ln (2) - 2 (- \ln (2)) = \ln (1)$

Passaggio 3.1.2.1.2

Moltiplica $x$ per $1$ .

$x^{2} (- \ln (2)) + x \ln (2) - 2 (- \ln (2)) = \ln (1)$

Passaggio 3.1.2.2

Moltiplica $- 1$ per $- 2$ .

$x^{2} (- \ln (2)) + x \ln (2) + 2 \ln (2) = \ln (1)$

Passaggio 3.1.3

Riordina i fattori in $x^{2} (- \ln (2)) + x \ln (2) + 2 \ln (2)$ .

$- x^{2} \ln (2) + x \ln (2) + 2 \ln (2) = \ln (1)$

Passaggio 4

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 4.1

Il logaritmo naturale di $1$ è $0$ .

$- x^{2} \ln (2) + x \ln (2) + 2 \ln (2) = 0$

Passaggio 5

Usa la formula quadratica per trovare le soluzioni.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Passaggio 6

Sostituisci i valori $a = - \ln (2)$ , $b = \ln (2)$ e $c = 2 \ln (2)$ nella formula quadratica e risolvi per $x$ .

$\frac{- \ln (2) \pm \sqrt{\ln^{2} (2) - 4 \cdot (- \ln (2) \cdot (2 \ln (2)))}}{2 (- \ln (2))}$

Passaggio 7

Semplifica.

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Passaggio 7.1

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 7.1.1

Scomponi $\ln (2)$ da $\ln^{2} (2) - 4 \cdot - 1 \ln (2) \cdot (2 \ln (2))$ .

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Passaggio 7.1.1.1

Scomponi $\ln (2)$ da $\ln^{2} (2)$ .

$x = \frac{- \ln (2) \pm \sqrt{\ln (2) \ln (2) - 4 \cdot (- 1 \ln (2)) \cdot (2 \ln (2))}}{2 (- \ln (2))}$

Passaggio 7.1.1.2

Scomponi $\ln (2)$ da $- 4 \cdot - 1 \ln (2) \cdot (2 \ln (2))$ .

$x = \frac{- \ln (2) \pm \sqrt{\ln (2) \ln (2) + \ln (2) (- 4 \cdot - 1 \cdot (2 \ln (2)))}}{2 (- \ln (2))}$

Passaggio 7.1.1.3

Scomponi $\ln (2)$ da $\ln (2) \ln (2) + \ln (2) (- 4 \cdot - 1 \cdot (2 \ln (2)))$ .

$x = \frac{- \ln (2) \pm \sqrt{\ln (2) (\ln (2) - 4 \cdot - 1 \cdot (2 \ln (2)))}}{2 (- \ln (2))}$

Passaggio 7.1.2

Scomponi $\ln (2)$ da $\ln (2) - 4 \cdot - 1 \cdot 2 \ln (2)$ .

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Passaggio 7.1.2.1

Eleva $\ln (2)$ alla potenza di $1$ .

$x = \frac{- \ln (2) \pm \sqrt{\ln (2) (\ln (2) - 4 \cdot - 1 \cdot (2 \ln (2)))}}{2 (- \ln (2))}$

Passaggio 7.1.2.2

Scomponi $\ln (2)$ da $\ln^{1} (2)$ .

$x = \frac{- \ln (2) \pm \sqrt{\ln (2) (\ln (2) \cdot 1 - 4 \cdot - 1 \cdot (2 \ln (2)))}}{2 (- \ln (2))}$

Passaggio 7.1.2.3

Scomponi $\ln (2)$ da $- 4 \cdot - 1 \cdot 2 \ln (2)$ .

$x = \frac{- \ln (2) \pm \sqrt{\ln (2) (\ln (2) \cdot 1 + \ln (2) (- 4 \cdot - 1 \cdot 2))}}{2 (- \ln (2))}$

Passaggio 7.1.2.4

Scomponi $\ln (2)$ da $\ln (2) \cdot 1 + \ln (2) (- 4 \cdot - 1 \cdot 2)$ .

$x = \frac{- \ln (2) \pm \sqrt{\ln (2) (\ln (2) (1 - 4 \cdot - 1 \cdot 2))}}{2 (- \ln (2))}$

Passaggio 7.1.3

Moltiplica $- 4 \cdot - 1 \cdot 2$ .

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Passaggio 7.1.3.1

Moltiplica $- 4$ per $- 1$ .

$x = \frac{- \ln (2) \pm \sqrt{\ln (2) (\ln (2) (1 + 4 \cdot 2))}}{2 (- \ln (2))}$

Passaggio 7.1.3.2

Moltiplica $4$ per $2$ .

$x = \frac{- \ln (2) \pm \sqrt{\ln (2) (\ln (2) (1 + 8))}}{2 (- \ln (2))}$

Passaggio 7.1.4

Somma $1$ e $8$ .

$x = \frac{- \ln (2) \pm \sqrt{\ln (2) \ln (2) \cdot 9}}{2 (- \ln (2))}$

Passaggio 7.1.5

Raccogli gli esponenti.

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Passaggio 7.1.5.1

Eleva $\ln (2)$ alla potenza di $1$ .

$x = \frac{- \ln (2) \pm \sqrt{\ln (2) \ln (2) \cdot 9}}{2 (- \ln (2))}$

Passaggio 7.1.5.2

Eleva $\ln (2)$ alla potenza di $1$ .

$x = \frac{- \ln (2) \pm \sqrt{\ln (2) \ln (2) \cdot 9}}{2 (- \ln (2))}$

Passaggio 7.1.5.3

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$x = \frac{- \ln (2) \pm \sqrt{{\ln (2)}^{1 + 1} \cdot 9}}{2 (- \ln (2))}$

Passaggio 7.1.5.4

Somma $1$ e $1$ .

$x = \frac{- \ln (2) \pm \sqrt{\ln^{2} (2) \cdot 9}}{2 (- \ln (2))}$

Passaggio 7.1.6

Riscrivi $\ln^{2} (2) \cdot 9$ come ${(\ln (2) \cdot 3)}^{2}$ .

$x = \frac{- \ln (2) \pm \sqrt{{(\ln (2) \cdot 3)}^{2}}}{2 (- \ln (2))}$

Passaggio 7.1.7

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$x = \frac{- \ln (2) \pm \ln (2) \cdot 3}{2 (- \ln (2))}$

Passaggio 7.1.8

Sposta $3$ alla sinistra di $\ln (2)$ .

$x = \frac{- \ln (2) \pm 3 \ln (2)}{2 (- \ln (2))}$

Passaggio 7.2

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$x = \frac{- \ln (2) \pm 3 \ln (2)}{- 2 \ln (2)}$

Passaggio 7.3

Semplifica $\frac{- \ln (2) \pm 3 \ln (2)}{- 2 \ln (2)}$ .

$x = \frac{1 \pm 3}{2}$

Passaggio 8

La risposta finale è la combinazione di entrambe le soluzioni.

$x = 2, - 1$