Algebra Esempi

$f (x) = \frac{1}{3} \sqrt[3]{x - 1}$

Passaggio 1

Scrivi $f (x) = \frac{1}{3} \sqrt[3]{x - 1}$ come un'equazione.

$y = \frac{1}{3} \sqrt[3]{x - 1}$

Passaggio 2

Scambia le variabili.

$x = \frac{1}{3} \cdot \sqrt[3]{y - 1}$

Passaggio 3

Risolvi per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Riscrivi l'equazione come $\frac{1}{3} \cdot \sqrt[3]{y - 1} = x$ .

$\frac{1}{3} \cdot \sqrt[3]{y - 1} = x$

Passaggio 3.2

Moltiplica entrambi i lati dell'equazione per $3$ .

$3 (\frac{1}{3} \cdot \sqrt[3]{y - 1}) = 3 x$

Passaggio 3.3

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1

Semplifica $3 (\frac{1}{3} \cdot \sqrt[3]{y - 1})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1.1

$\frac{1}{3}$ e $\sqrt[3]{y - 1}$ .

$3 \frac{\sqrt[3]{y - 1}}{3} = 3 x$

Passaggio 3.3.1.2

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1.2.1

Elimina il fattore comune.

$3 \frac{\sqrt[3]{y - 1}}{3} = 3 x$

Passaggio 3.3.1.2.2

Riscrivi l'espressione.

$\sqrt[3]{y - 1} = 3 x$

Passaggio 3.4

Per rimuovere il radicale sul lato sinistro dell'equazione, eleva al cubo entrambi i lati dell'equazione.

${\sqrt[3]{y - 1}}^{3} = {(3 x)}^{3}$

Passaggio 3.5

Semplifica ogni lato dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt[3]{y - 1}$ come ${(y - 1)}^{\frac{1}{3}}$ .

${({(y - 1)}^{\frac{1}{3}})}^{3} = {(3 x)}^{3}$

Passaggio 3.5.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.2.1

Semplifica ${({(y - 1)}^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.2.1.1

Moltiplica gli esponenti in ${({(y - 1)}^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.2.1.1.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(y - 1)}^{\frac{1}{3} \cdot 3} = {(3 x)}^{3}$

Passaggio 3.5.2.1.1.2

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.2.1.1.2.1

Elimina il fattore comune.

${(y - 1)}^{\frac{1}{3} \cdot 3} = {(3 x)}^{3}$

Passaggio 3.5.2.1.1.2.2

Riscrivi l'espressione.

${(y - 1)}^{1} = {(3 x)}^{3}$

Passaggio 3.5.2.1.2

Semplifica.

$y - 1 = {(3 x)}^{3}$

Passaggio 3.5.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.3.1

Semplifica ${(3 x)}^{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.3.1.1

Applica la regola del prodotto a $3 x$ .

$y - 1 = 3^{3} x^{3}$

Passaggio 3.5.3.1.2

Eleva $3$ alla potenza di $3$ .

$y - 1 = 27 x^{3}$

Passaggio 3.6

Somma $1$ a entrambi i lati dell'equazione.

$y = 27 x^{3} + 1$

Passaggio 4

Sostituisci $y$ con $f^{- 1} (x)$ per mostrare la risposta finale.

$f^{- 1} (x) = 27 x^{3} + 1$

Passaggio 5

Verifica se $f^{- 1} (x) = 27 x^{3} + 1$ è l'inverso di $f (x) = \frac{1}{3} \cdot \sqrt[3]{x - 1}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Per verificare l'inverso, controlla se $f^{- 1} (f (x)) = x$ e $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Passaggio 5.2

Calcola $f^{- 1} (f (x))$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1

Imposta la funzione composita per il risultato.

$f^{- 1} (f (x))$

Passaggio 5.2.2

Calcola $f^{- 1} (\frac{1}{3} \cdot \sqrt[3]{x - 1})$ sostituendo il valore di $f$ in $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{3} \cdot \sqrt[3]{x - 1}) = 27 {(\frac{1}{3} \cdot \sqrt[3]{x - 1})}^{3} + 1$

Passaggio 5.2.3

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.3.1

$\frac{1}{3}$ e $\sqrt[3]{x - 1}$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{3} \cdot \sqrt[3]{x - 1}) = 27 {(\frac{\sqrt[3]{x - 1}}{3})}^{3} + 1$

Passaggio 5.2.3.2

Applica la regola del prodotto a $\frac{\sqrt[3]{x - 1}}{3}$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{3} \cdot \sqrt[3]{x - 1}) = 27 (\frac{{\sqrt[3]{x - 1}}^{3}}{3^{3}}) + 1$

Passaggio 5.2.3.3

Riscrivi ${\sqrt[3]{x - 1}}^{3}$ come $x - 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.3.3.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt[3]{x - 1}$ come ${(x - 1)}^{\frac{1}{3}}$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{3} \cdot \sqrt[3]{x - 1}) = 27 (\frac{{({(x - 1)}^{\frac{1}{3}})}^{3}}{3^{3}}) + 1$

Passaggio 5.2.3.3.2

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{3} \cdot \sqrt[3]{x - 1}) = 27 (\frac{{(x - 1)}^{\frac{1}{3} \cdot 3}}{3^{3}}) + 1$

Passaggio 5.2.3.3.3

$\frac{1}{3}$ e $3$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{3} \cdot \sqrt[3]{x - 1}) = 27 (\frac{{(x - 1)}^{\frac{3}{3}}}{3^{3}}) + 1$

Passaggio 5.2.3.3.4

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.3.3.4.1

Elimina il fattore comune.

$f^{- 1} (\frac{1}{3} \cdot \sqrt[3]{x - 1}) = 27 (\frac{{(x - 1)}^{\frac{3}{3}}}{3^{3}}) + 1$

Passaggio 5.2.3.3.4.2

Riscrivi l'espressione.

$f^{- 1} (\frac{1}{3} \cdot \sqrt[3]{x - 1}) = 27 (\frac{x - 1}{3^{3}}) + 1$

Passaggio 5.2.3.3.5

Semplifica.

$f^{- 1} (\frac{1}{3} \cdot \sqrt[3]{x - 1}) = 27 (\frac{x - 1}{3^{3}}) + 1$

Passaggio 5.2.3.4

Eleva $3$ alla potenza di $3$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{3} \cdot \sqrt[3]{x - 1}) = 27 (\frac{x - 1}{27}) + 1$

Passaggio 5.2.3.5

Elimina il fattore comune di $27$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.3.5.1

Elimina il fattore comune.

$f^{- 1} (\frac{1}{3} \cdot \sqrt[3]{x - 1}) = 27 (\frac{x - 1}{27}) + 1$

Passaggio 5.2.3.5.2

Riscrivi l'espressione.

$f^{- 1} (\frac{1}{3} \cdot \sqrt[3]{x - 1}) = x - 1 + 1$

Passaggio 5.2.4

Combina i termini opposti in $x - 1 + 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.4.1

Somma $- 1$ e $1$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{3} \cdot \sqrt[3]{x - 1}) = x + 0$

Passaggio 5.2.4.2

Somma $x$ e $0$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{3} \cdot \sqrt[3]{x - 1}) = x$

Passaggio 5.3

Calcola $f (f^{- 1} (x))$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1

Imposta la funzione composita per il risultato.

$f (f^{- 1} (x))$

Passaggio 5.3.2

Calcola $f (27 x^{3} + 1)$ sostituendo il valore di $f^{- 1}$ in $f$ .

$f (27 x^{3} + 1) = \frac{1}{3} \cdot \sqrt[3]{(27 x^{3} + 1) - 1}$

Passaggio 5.3.3

Semplifica sottraendo i numeri.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.3.1

Sottrai $1$ da $1$ .

$f (27 x^{3} + 1) = \frac{1}{3} \cdot \sqrt[3]{27 x^{3} + 0}$

Passaggio 5.3.3.2

Somma $27 x^{3}$ e $0$ .

$f (27 x^{3} + 1) = \frac{1}{3} \cdot \sqrt[3]{27 x^{3}}$

Passaggio 5.3.4

Riscrivi $27 x^{3}$ come ${(3 x)}^{3}$ .

$f (27 x^{3} + 1) = \frac{1}{3} \cdot \sqrt[3]{{(3 x)}^{3}}$

Passaggio 5.3.5

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali.

$f (27 x^{3} + 1) = \frac{1}{3} \cdot (3 x)$

Passaggio 5.3.6

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.6.1

Scomponi $3$ da $3 x$ .

$f (27 x^{3} + 1) = \frac{1}{3} \cdot (3 (x))$

Passaggio 5.3.6.2

Elimina il fattore comune.

$f (27 x^{3} + 1) = \frac{1}{3} \cdot (3 x)$

Passaggio 5.3.6.3

Riscrivi l'espressione.

$f (27 x^{3} + 1) = x$

Passaggio 5.4

Poiché $f^{- 1} (f (x)) = x$ e $f (f^{- 1} (x)) = x$ , allora $f^{- 1} (x) = 27 x^{3} + 1$ è l'inverso di $f (x) = \frac{1}{3} \cdot \sqrt[3]{x - 1}$ .

$f^{- 1} (x) = 27 x^{3} + 1$