Algebra Esempi

$\log_{6} (x^{2} - 4) - \log_{6} (3 x + 6) = 0$

Passaggio 1

Semplifica il lato sinistro.

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Passaggio 1.1

Usa la proprietà del quoziente dei logaritmi, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\log_{6} (\frac{x^{2} - 4}{3 x + 6}) = 0$

Passaggio 1.2

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 1.2.1

Riscrivi $4$ come $2^{2}$ .

$\log_{6} (\frac{x^{2} - 2^{2}}{3 x + 6}) = 0$

Passaggio 1.2.2

Poiché entrambi i termini sono dei quadrati perfetti, fattorizza usando la formula della differenza di quadrati, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ dove $a = x$ e $b = 2$ .

$\log_{6} (\frac{(x + 2) (x - 2)}{3 x + 6}) = 0$

Passaggio 1.3

Semplifica i termini.

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Passaggio 1.3.1

Scomponi $3$ da $3 x + 6$ .

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Passaggio 1.3.1.1

Scomponi $3$ da $3 x$ .

$\log_{6} (\frac{(x + 2) (x - 2)}{3 (x) + 6}) = 0$

Passaggio 1.3.1.2

Scomponi $3$ da $6$ .

$\log_{6} (\frac{(x + 2) (x - 2)}{3 x + 3 \cdot 2}) = 0$

Passaggio 1.3.1.3

Scomponi $3$ da $3 x + 3 \cdot 2$ .

$\log_{6} (\frac{(x + 2) (x - 2)}{3 (x + 2)}) = 0$

Passaggio 1.3.2

Elimina il fattore comune di $x + 2$ .

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Passaggio 1.3.2.1

Elimina il fattore comune.

$\log_{6} (\frac{(x + 2) (x - 2)}{3 (x + 2)}) = 0$

Passaggio 1.3.2.2

Riscrivi l'espressione.

$\log_{6} (\frac{x - 2}{3}) = 0$

Passaggio 2

Riscrivi $\log_{6} (\frac{x - 2}{3}) = 0$ in forma esponenziale usando la definizione di logaritmo. Se $x$ e $b$ sono numeri reali positivi e $b \neq 1$ , allora $\log_{b} (x) = y$ è equivalente a $b^{y} = x$ .

$6^{0} = \frac{x - 2}{3}$

Passaggio 3

Risolvi per $x$ .

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Passaggio 3.1

Riscrivi l'equazione come $\frac{x - 2}{3} = 6^{0}$ .

$\frac{x - 2}{3} = 6^{0}$

Passaggio 3.2

Moltiplica entrambi i lati dell'equazione per $3$ .

$3 \frac{x - 2}{3} = 3 \cdot 6^{0}$

Passaggio 3.3

Semplifica entrambi i lati dell'equazione.

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Passaggio 3.3.1

Semplifica il lato sinistro.

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Passaggio 3.3.1.1

Elimina il fattore comune di $3$ .

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Passaggio 3.3.1.1.1

Elimina il fattore comune.

$3 \frac{x - 2}{3} = 3 \cdot 6^{0}$

Passaggio 3.3.1.1.2

Riscrivi l'espressione.

$x - 2 = 3 \cdot 6^{0}$

Passaggio 3.3.2

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 3.3.2.1

Semplifica $3 \cdot 6^{0}$ .

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Passaggio 3.3.2.1.1

Qualsiasi valore elevato a $0$ è $1$ .

$x - 2 = 3 \cdot 1$

Passaggio 3.3.2.1.2

Moltiplica $3$ per $1$ .

$x - 2 = 3$

Passaggio 3.4

Sposta tutti i termini non contenenti $x$ sul lato destro dell'equazione.

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Passaggio 3.4.1

Somma $2$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x = 3 + 2$

Passaggio 3.4.2

Somma $3$ e $2$ .

$x = 5$