Algebra Esempi

$x^{\frac{4}{3}} - 10 x^{\frac{2}{3}} + 9 = 0$

Passaggio 1

Riscrivi $x^{\frac{4}{3}}$ come ${(x^{\frac{2}{3}})}^{2}$ .

${(x^{\frac{2}{3}})}^{2} - 10 x^{\frac{2}{3}} + 9 = 0$

Passaggio 2

Sia $u = x^{\frac{2}{3}}$ . Sostituisci tutte le occorrenze di $x^{\frac{2}{3}}$ con $u$ .

$u^{2} - 10 u + 9 = 0$

Passaggio 3

Scomponi $u^{2} - 10 u + 9$ usando il metodo AC.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Trova una coppia di interi il cui prodotto è $c$ e la cui formula è $b$ . In questo caso, il cui prodotto è $9$ e la cui somma è $- 10$ .

$- 9, - 1$

Passaggio 3.2

Scrivi la forma fattorizzata usando questi interi.

$(u - 9) (u - 1) = 0$

Passaggio 4

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x^{\frac{2}{3}}$ .

$(x^{\frac{2}{3}} - 9) (x^{\frac{2}{3}} - 1) = 0$

Passaggio 5

Riscrivi $x^{\frac{2}{3}}$ come ${(x^{\frac{1}{3}})}^{2}$ .

$({(x^{\frac{1}{3}})}^{2} - 9) (x^{\frac{2}{3}} - 1) = 0$

Passaggio 6

Riscrivi $9$ come $3^{2}$ .

$({(x^{\frac{1}{3}})}^{2} - 3^{2}) (x^{\frac{2}{3}} - 1) = 0$

Passaggio 7

Poiché entrambi i termini sono dei quadrati perfetti, fattorizza usando la formula della differenza di quadrati, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ dove $a = x^{\frac{1}{3}}$ e $b = 3$ .

$(x^{\frac{1}{3}} + 3) (x^{\frac{1}{3}} - 3) (x^{\frac{2}{3}} - 1) = 0$

Passaggio 8

Riscrivi $x^{\frac{2}{3}}$ come ${(x^{\frac{1}{3}})}^{2}$ .

$(x^{\frac{1}{3}} + 3) (x^{\frac{1}{3}} - 3) ({(x^{\frac{1}{3}})}^{2} - 1) = 0$

Passaggio 9

Riscrivi $1$ come $1^{2}$ .

$(x^{\frac{1}{3}} + 3) (x^{\frac{1}{3}} - 3) ({(x^{\frac{1}{3}})}^{2} - 1^{2}) = 0$

Passaggio 10

Scomponi.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.1

Poiché entrambi i termini sono dei quadrati perfetti, fattorizza usando la formula della differenza di quadrati, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ dove $a = x^{\frac{1}{3}}$ e $b = 1$ .

$(x^{\frac{1}{3}} + 3) (x^{\frac{1}{3}} - 3) ((x^{\frac{1}{3}} + 1) (x^{\frac{1}{3}} - 1)) = 0$

Passaggio 10.2

Rimuovi le parentesi non necessarie.

$(x^{\frac{1}{3}} + 3) (x^{\frac{1}{3}} - 3) (x^{\frac{1}{3}} + 1) (x^{\frac{1}{3}} - 1) = 0$

Passaggio 11

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$x^{\frac{1}{3}} + 3 = 0$

$x^{\frac{1}{3}} - 3 = 0$

$x^{\frac{1}{3}} + 1 = 0$

$x^{\frac{1}{3}} - 1 = 0$

Passaggio 12

Imposta $x^{\frac{1}{3}} + 3$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.1

Imposta $x^{\frac{1}{3}} + 3$ uguale a $0$ .

$x^{\frac{1}{3}} + 3 = 0$

Passaggio 12.2

Risolvi $x^{\frac{1}{3}} + 3 = 0$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.2.1

Sottrai $3$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x^{\frac{1}{3}} = - 3$

Passaggio 12.2.2

Eleva ogni lato dell'equazione alla potenza di $3$ per eliminare l'esponente frazionario sul lato sinistro.

${(x^{\frac{1}{3}})}^{3} = {(- 3)}^{3}$

Passaggio 12.2.3

Semplifica l'esponente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.2.3.1

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.2.3.1.1

Semplifica ${(x^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.2.3.1.1.1

Moltiplica gli esponenti in ${(x^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.2.3.1.1.1.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{\frac{1}{3} \cdot 3} = {(- 3)}^{3}$

Passaggio 12.2.3.1.1.1.2

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.2.3.1.1.1.2.1

Elimina il fattore comune.

$x^{\frac{1}{3} \cdot 3} = {(- 3)}^{3}$

Passaggio 12.2.3.1.1.1.2.2

Riscrivi l'espressione.

$x^{1} = {(- 3)}^{3}$

Passaggio 12.2.3.1.1.2

Semplifica.

$x = {(- 3)}^{3}$

Passaggio 12.2.3.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.2.3.2.1

Eleva $- 3$ alla potenza di $3$ .

$x = - 27$

Passaggio 13

Imposta $x^{\frac{1}{3}} - 3$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.1

Imposta $x^{\frac{1}{3}} - 3$ uguale a $0$ .

$x^{\frac{1}{3}} - 3 = 0$

Passaggio 13.2

Risolvi $x^{\frac{1}{3}} - 3 = 0$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.2.1

Somma $3$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x^{\frac{1}{3}} = 3$

Passaggio 13.2.2

Eleva ogni lato dell'equazione alla potenza di $3$ per eliminare l'esponente frazionario sul lato sinistro.

${(x^{\frac{1}{3}})}^{3} = 3^{3}$

Passaggio 13.2.3

Semplifica l'esponente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.2.3.1

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.2.3.1.1

Semplifica ${(x^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.2.3.1.1.1

Moltiplica gli esponenti in ${(x^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.2.3.1.1.1.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{\frac{1}{3} \cdot 3} = 3^{3}$

Passaggio 13.2.3.1.1.1.2

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.2.3.1.1.1.2.1

Elimina il fattore comune.

$x^{\frac{1}{3} \cdot 3} = 3^{3}$

Passaggio 13.2.3.1.1.1.2.2

Riscrivi l'espressione.

$x^{1} = 3^{3}$

Passaggio 13.2.3.1.1.2

Semplifica.

$x = 3^{3}$

Passaggio 13.2.3.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.2.3.2.1

Eleva $3$ alla potenza di $3$ .

$x = 27$

Passaggio 14

Imposta $x^{\frac{1}{3}} + 1$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.1

Imposta $x^{\frac{1}{3}} + 1$ uguale a $0$ .

$x^{\frac{1}{3}} + 1 = 0$

Passaggio 14.2

Risolvi $x^{\frac{1}{3}} + 1 = 0$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.2.1

Sottrai $1$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x^{\frac{1}{3}} = - 1$

Passaggio 14.2.2

Eleva ogni lato dell'equazione alla potenza di $3$ per eliminare l'esponente frazionario sul lato sinistro.

${(x^{\frac{1}{3}})}^{3} = {(- 1)}^{3}$

Passaggio 14.2.3

Semplifica l'esponente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.2.3.1

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.2.3.1.1

Semplifica ${(x^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.2.3.1.1.1

Moltiplica gli esponenti in ${(x^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.2.3.1.1.1.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{\frac{1}{3} \cdot 3} = {(- 1)}^{3}$

Passaggio 14.2.3.1.1.1.2

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.2.3.1.1.1.2.1

Elimina il fattore comune.

$x^{\frac{1}{3} \cdot 3} = {(- 1)}^{3}$

Passaggio 14.2.3.1.1.1.2.2

Riscrivi l'espressione.

$x^{1} = {(- 1)}^{3}$

Passaggio 14.2.3.1.1.2

Semplifica.

$x = {(- 1)}^{3}$

Passaggio 14.2.3.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.2.3.2.1

Eleva $- 1$ alla potenza di $3$ .

$x = - 1$

Passaggio 15

Imposta $x^{\frac{1}{3}} - 1$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.1

Imposta $x^{\frac{1}{3}} - 1$ uguale a $0$ .

$x^{\frac{1}{3}} - 1 = 0$

Passaggio 15.2

Risolvi $x^{\frac{1}{3}} - 1 = 0$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.2.1

Somma $1$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x^{\frac{1}{3}} = 1$

Passaggio 15.2.2

Eleva ogni lato dell'equazione alla potenza di $3$ per eliminare l'esponente frazionario sul lato sinistro.

${(x^{\frac{1}{3}})}^{3} = 1^{3}$

Passaggio 15.2.3

Semplifica l'esponente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.2.3.1

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.2.3.1.1

Semplifica ${(x^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.2.3.1.1.1

Moltiplica gli esponenti in ${(x^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.2.3.1.1.1.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{\frac{1}{3} \cdot 3} = 1^{3}$

Passaggio 15.2.3.1.1.1.2

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.2.3.1.1.1.2.1

Elimina il fattore comune.

$x^{\frac{1}{3} \cdot 3} = 1^{3}$

Passaggio 15.2.3.1.1.1.2.2

Riscrivi l'espressione.

$x^{1} = 1^{3}$

Passaggio 15.2.3.1.1.2

Semplifica.

$x = 1^{3}$

Passaggio 15.2.3.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.2.3.2.1

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$x = 1$

Passaggio 16

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $(x^{\frac{1}{3}} + 3) (x^{\frac{1}{3}} - 3) (x^{\frac{1}{3}} + 1) (x^{\frac{1}{3}} - 1) = 0$ vera.

$x = - 27, 27, - 1, 1$