Algebra Esempi

$\log_{6} (3 x^{2} - 3) - \log_{6} (2 x + 5) = 0$

Passaggio 1

Semplifica il lato sinistro.

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Passaggio 1.1

Usa la proprietà del quoziente dei logaritmi, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\log_{6} (\frac{3 x^{2} - 3}{2 x + 5}) = 0$

Passaggio 1.2

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 1.2.1

Scomponi $3$ da $3 x^{2} - 3$ .

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Passaggio 1.2.1.1

Scomponi $3$ da $3 x^{2}$ .

$\log_{6} (\frac{3 (x^{2}) - 3}{2 x + 5}) = 0$

Passaggio 1.2.1.2

Scomponi $3$ da $- 3$ .

$\log_{6} (\frac{3 (x^{2}) + 3 (- 1)}{2 x + 5}) = 0$

Passaggio 1.2.1.3

Scomponi $3$ da $3 (x^{2}) + 3 (- 1)$ .

$\log_{6} (\frac{3 (x^{2} - 1)}{2 x + 5}) = 0$

Passaggio 1.2.2

Riscrivi $1$ come $1^{2}$ .

$\log_{6} (\frac{3 (x^{2} - 1^{2})}{2 x + 5}) = 0$

Passaggio 1.2.3

Poiché entrambi i termini sono dei quadrati perfetti, fattorizza usando la formula della differenza di quadrati, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ dove $a = x$ e $b = 1$ .

$\log_{6} (\frac{3 (x + 1) (x - 1)}{2 x + 5}) = 0$

Passaggio 2

Riscrivi $\log_{6} (\frac{3 (x + 1) (x - 1)}{2 x + 5}) = 0$ nella forma esponenziale usando la definizione di logaritmo. Se $x$ e $b$ sono numeri reali positivi e $b$ $\neq$ $1$ , allora $\log_{b} (x) = y$ è equivalente a $b^{y} = x$ .

$6^{0} = \frac{3 (x + 1) (x - 1)}{2 x + 5}$

Passaggio 3

Esegui la moltiplicazione incrociata per rimuovere la frazione.

$3 (x + 1) (x - 1) = 6^{0} (2 x + 5)$

Passaggio 4

Semplifica $6^{0} (2 x + 5)$ .

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Passaggio 4.1

Qualsiasi valore elevato a $0$ è $1$ .

$3 (x + 1) (x - 1) = 1 (2 x + 5)$

Passaggio 4.2

Moltiplica $2 x + 5$ per $1$ .

$3 (x + 1) (x - 1) = 2 x + 5$

Passaggio 5

Sposta tutti i termini contenenti $x$ sul lato sinistro dell'equazione.

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Passaggio 5.1

Sottrai $2 x$ da entrambi i lati dell'equazione.

$3 (x + 1) (x - 1) - 2 x = 5$

Passaggio 5.2

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 5.2.1

Applica la proprietà distributiva.

$(3 x + 3 \cdot 1) (x - 1) - 2 x = 5$

Passaggio 5.2.2

Moltiplica $3$ per $1$ .

$(3 x + 3) (x - 1) - 2 x = 5$

Passaggio 5.2.3

Espandi $(3 x + 3) (x - 1)$ usando il metodo FOIL.

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Passaggio 5.2.3.1

Applica la proprietà distributiva.

$3 x (x - 1) + 3 (x - 1) - 2 x = 5$

Passaggio 5.2.3.2

Applica la proprietà distributiva.

$3 x \cdot x + 3 x \cdot - 1 + 3 (x - 1) - 2 x = 5$

Passaggio 5.2.3.3

Applica la proprietà distributiva.

$3 x \cdot x + 3 x \cdot - 1 + 3 x + 3 \cdot - 1 - 2 x = 5$

Passaggio 5.2.4

Semplifica e combina i termini simili.

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Passaggio 5.2.4.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 5.2.4.1.1

Moltiplica $x$ per $x$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 5.2.4.1.1.1

Sposta $x$ .

$3 (x \cdot x) + 3 x \cdot - 1 + 3 x + 3 \cdot - 1 - 2 x = 5$

Passaggio 5.2.4.1.1.2

Moltiplica $x$ per $x$ .

$3 x^{2} + 3 x \cdot - 1 + 3 x + 3 \cdot - 1 - 2 x = 5$

Passaggio 5.2.4.1.2

Moltiplica $- 1$ per $3$ .

$3 x^{2} - 3 x + 3 x + 3 \cdot - 1 - 2 x = 5$

Passaggio 5.2.4.1.3

Moltiplica $3$ per $- 1$ .

$3 x^{2} - 3 x + 3 x - 3 - 2 x = 5$

Passaggio 5.2.4.2

Somma $- 3 x$ e $3 x$ .

$3 x^{2} + 0 - 3 - 2 x = 5$

Passaggio 5.2.4.3

Somma $3 x^{2}$ e $0$ .

$3 x^{2} - 3 - 2 x = 5$

Passaggio 6

Sposta tutti i termini non contenenti $x$ sul lato destro dell'equazione.

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Passaggio 6.1

Somma $3$ a entrambi i lati dell'equazione.

$3 x^{2} - 2 x = 5 + 3$

Passaggio 6.2

Somma $5$ e $3$ .

$3 x^{2} - 2 x = 8$

Passaggio 7

Sottrai $8$ da entrambi i lati dell'equazione.

$3 x^{2} - 2 x - 8 = 0$

Passaggio 8

Scomponi mediante raccoglimento.

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Passaggio 8.1

Per un polinomio della forma $a x^{2} + b x + c$ , riscrivi il termine centrale come somma di due termini il cui prodotto è $a \cdot c = 3 \cdot - 8 = - 24$ e la cui somma è $b = - 2$ .

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Passaggio 8.1.1

Scomponi $- 2$ da $- 2 x$ .

$3 x^{2} - 2 x - 8 = 0$

Passaggio 8.1.2

Riscrivi $- 2$ come $4$ più $- 6$ .

$3 x^{2} + (4 - 6) x - 8 = 0$

Passaggio 8.1.3

Applica la proprietà distributiva.

$3 x^{2} + 4 x - 6 x - 8 = 0$

Passaggio 8.2

Metti in evidenza il massimo comune divisore da ciascun gruppo.

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Passaggio 8.2.1

Raggruppa i primi due termini e gli ultimi due termini.

$(3 x^{2} + 4 x) - 6 x - 8 = 0$

Passaggio 8.2.2

Metti in evidenza il massimo comune divisore (M.C.D.) da ciascun gruppo.

$x (3 x + 4) - 2 (3 x + 4) = 0$

Passaggio 8.3

Scomponi il polinomio mettendo in evidenza il massimo comune divisore, $3 x + 4$ .

$(3 x + 4) (x - 2) = 0$

Passaggio 9

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$3 x + 4 = 0$

$x - 2 = 0$

Passaggio 10

Imposta $3 x + 4$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

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Passaggio 10.1

Imposta $3 x + 4$ uguale a $0$ .

$3 x + 4 = 0$

Passaggio 10.2

Risolvi $3 x + 4 = 0$ per $x$ .

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Passaggio 10.2.1

Sottrai $4$ da entrambi i lati dell'equazione.

$3 x = - 4$

Passaggio 10.2.2

Dividi per $3$ ciascun termine in $3 x = - 4$ e semplifica.

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Passaggio 10.2.2.1

Dividi per $3$ ciascun termine in $3 x = - 4$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{- 4}{3}$

Passaggio 10.2.2.2

Semplifica il lato sinistro.

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Passaggio 10.2.2.2.1

Elimina il fattore comune di $3$ .

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Passaggio 10.2.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{3 x}{3} = \frac{- 4}{3}$

Passaggio 10.2.2.2.1.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x = \frac{- 4}{3}$

Passaggio 10.2.2.3

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 10.2.2.3.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$x = - \frac{4}{3}$

Passaggio 11

Imposta $x - 2$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

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Passaggio 11.1

Imposta $x - 2$ uguale a $0$ .

$x - 2 = 0$

Passaggio 11.2

Somma $2$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x = 2$

Passaggio 12

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $(3 x + 4) (x - 2) = 0$ vera.

$x = - \frac{4}{3}, 2$

Passaggio 13

Il risultato può essere mostrato in più forme.

Forma esatta:

$x = - \frac{4}{3}, 2$

Forma decimale:

$x = - 1.\overline{3}, 2$

Forma numero misto:

$x = - 1 \frac{1}{3}, 2$