Algebra Esempi

$y = e^{8 - x}$

Passaggio 1

Scambia le variabili.

$x = e^{8 - y}$

Passaggio 2

Risolvi per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Riscrivi l'equazione come $e^{8 - y} = x$ .

$e^{8 - y} = x$

Passaggio 2.2

Trova il logaritmo naturale dell'equazione assegnata per rimuovere la variabile dall'esponente.

$\ln (e^{8 - y}) = \ln (x)$

Passaggio 2.3

Espandi il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Espandi $\ln (e^{8 - y})$ spostando $8 - y$ fuori dal logaritmo.

$(8 - y) \ln (e) = \ln (x)$

Passaggio 2.3.2

Il logaritmo naturale di $e$ è $1$ .

$(8 - y) \cdot 1 = \ln (x)$

Passaggio 2.3.3

Moltiplica $8 - y$ per $1$ .

$8 - y = \ln (x)$

Passaggio 2.4

Sottrai $8$ da entrambi i lati dell'equazione.

$- y = \ln (x) - 8$

Passaggio 2.5

Dividi per $- 1$ ciascun termine in $- y = \ln (x) - 8$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.1

Dividi per $- 1$ ciascun termine in $- y = \ln (x) - 8$ .

$\frac{- y}{- 1} = \frac{\ln (x)}{- 1} + \frac{- 8}{- 1}$

Passaggio 2.5.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.2.1

Dividendo due valori negativi si ottiene un valore positivo.

$\frac{y}{1} = \frac{\ln (x)}{- 1} + \frac{- 8}{- 1}$

Passaggio 2.5.2.2

Dividi $y$ per $1$ .

$y = \frac{\ln (x)}{- 1} + \frac{- 8}{- 1}$

Passaggio 2.5.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.3.1.1

Sposta quello negativo dal denominatore di $\frac{\ln (x)}{- 1}$ .

$y = - 1 \cdot \ln (x) + \frac{- 8}{- 1}$

Passaggio 2.5.3.1.2

Riscrivi $- 1 \cdot \ln (x)$ come $- \ln (x)$ .

$y = - \ln (x) + \frac{- 8}{- 1}$

Passaggio 2.5.3.1.3

Dividi $- 8$ per $- 1$ .

$y = - \ln (x) + 8$

Passaggio 3

Sostituisci $y$ con $f^{- 1} (x)$ per mostrare la risposta finale.

$f^{- 1} (x) = - \ln (x) + 8$

Passaggio 4

Verifica se $f^{- 1} (x) = - \ln (x) + 8$ è l'inverso di $f (x) = e^{8 - x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Per verificare l'inverso, controlla se $f^{- 1} (f (x)) = x$ e $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Passaggio 4.2

Calcola $f^{- 1} (f (x))$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1

Imposta la funzione composita per il risultato.

$f^{- 1} (f (x))$

Passaggio 4.2.2

Calcola $f^{- 1} (e^{8 - x})$ sostituendo il valore di $f$ in $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (e^{8 - x}) = - \ln (e^{8 - x}) + 8$

Passaggio 4.2.3

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.3.1

Usa le regole del logaritmo per togliere $8 - x$ dall'esponente.

$f^{- 1} (e^{8 - x}) = - ((8 - x) \ln (e)) + 8$

Passaggio 4.2.3.2

Il logaritmo naturale di $e$ è $1$ .

$f^{- 1} (e^{8 - x}) = - ((8 - x) \cdot 1) + 8$

Passaggio 4.2.3.3

Moltiplica $8 - x$ per $1$ .

$f^{- 1} (e^{8 - x}) = - (8 - x) + 8$

Passaggio 4.2.3.4

Applica la proprietà distributiva.

$f^{- 1} (e^{8 - x}) = - 1 \cdot 8 + x + 8$

Passaggio 4.2.3.5

Moltiplica $- 1$ per $8$ .

$f^{- 1} (e^{8 - x}) = - 8 + x + 8$

Passaggio 4.2.3.6

Moltiplica $- - x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.3.6.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$f^{- 1} (e^{8 - x}) = - 8 + 1 x + 8$

Passaggio 4.2.3.6.2

Moltiplica $x$ per $1$ .

$f^{- 1} (e^{8 - x}) = - 8 + x + 8$

Passaggio 4.2.4

Combina i termini opposti in $- 8 + x + 8$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.4.1

Somma $- 8$ e $8$ .

$f^{- 1} (e^{8 - x}) = x + 0$

Passaggio 4.2.4.2

Somma $x$ e $0$ .

$f^{- 1} (e^{8 - x}) = x$

Passaggio 4.3

Calcola $f (f^{- 1} (x))$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.1

Imposta la funzione composita per il risultato.

$f (f^{- 1} (x))$

Passaggio 4.3.2

Calcola $f (- \ln (x) + 8)$ sostituendo il valore di $f^{- 1}$ in $f$ .

$f (- \ln (x) + 8) = e^{8 - (- \ln (x) + 8)}$

Passaggio 4.3.3

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.3.1

Applica la proprietà distributiva.

$f (- \ln (x) + 8) = e^{8 + \ln (x) - 1 \cdot 8}$

Passaggio 4.3.3.2

Moltiplica $- - \ln (x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.3.2.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$f (- \ln (x) + 8) = e^{8 + 1 \ln (x) - 1 \cdot 8}$

Passaggio 4.3.3.2.2

Moltiplica $\ln (x)$ per $1$ .

$f (- \ln (x) + 8) = e^{8 + \ln (x) - 1 \cdot 8}$

Passaggio 4.3.3.3

Moltiplica $- 1$ per $8$ .

$f (- \ln (x) + 8) = e^{8 + \ln (x) - 8}$

Passaggio 4.3.4

Combina i termini opposti in $8 + \ln (x) - 8$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.4.1

Sottrai $8$ da $8$ .

$f (- \ln (x) + 8) = e^{0 + \ln (x)}$

Passaggio 4.3.4.2

Somma $0$ e $\ln (x)$ .

$f (- \ln (x) + 8) = e^{\ln (x)}$

Passaggio 4.3.5

L'esponenziazione e il logaritmo sono funzioni inverse.

$f (- \ln (x) + 8) = x$

Passaggio 4.4

Poiché $f^{- 1} (f (x)) = x$ e $f (f^{- 1} (x)) = x$ , allora $f^{- 1} (x) = - \ln (x) + 8$ è l'inverso di $f (x) = e^{8 - x}$ .

$f^{- 1} (x) = - \ln (x) + 8$