Algebra Esempi

$y = 4^{\frac{x}{2}}$

Passaggio 1

Scambia le variabili.

$x = 4^{\frac{y}{2}}$

Passaggio 2

Risolvi per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Riscrivi l'equazione come $4^{\frac{y}{2}} = x$ .

$4^{\frac{y}{2}} = x$

Passaggio 2.2

Trova il logaritmo naturale dell'equazione assegnata per rimuovere la variabile dall'esponente.

$\ln (4^{\frac{y}{2}}) = \ln (x)$

Passaggio 2.3

Espandi il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Espandi $\ln (4^{\frac{y}{2}})$ spostando $\frac{y}{2}$ fuori dal logaritmo.

$\frac{y}{2} \ln (4) = \ln (x)$

Passaggio 2.3.2

$\frac{y}{2}$ e $\ln (4)$ .

$\frac{y \ln (4)}{2} = \ln (x)$

Passaggio 2.4

Moltiplica entrambi i lati dell'equazione per $\frac{2}{\ln (4)}$ .

$\frac{2}{\ln (4)} \cdot \frac{y \ln (4)}{2} = \frac{2}{\ln (4)} \ln (x)$

Passaggio 2.5

Semplifica entrambi i lati dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.1

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.1.1

Semplifica $\frac{2}{\ln (4)} \cdot \frac{y \ln (4)}{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.1.1.1

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.1.1.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{2}{\ln (4)} \cdot \frac{y \ln (4)}{2} = \frac{2}{\ln (4)} \ln (x)$

Passaggio 2.5.1.1.1.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{\ln (4)} (y \ln (4)) = \frac{2}{\ln (4)} \ln (x)$

Passaggio 2.5.1.1.2

Elimina il fattore comune di $\ln (4)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.1.1.2.1

Scomponi $\ln (4)$ da $y \ln (4)$ .

$\frac{1}{\ln (4)} (\ln (4) y) = \frac{2}{\ln (4)} \ln (x)$

Passaggio 2.5.1.1.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{1}{\ln (4)} (\ln (4) y) = \frac{2}{\ln (4)} \ln (x)$

Passaggio 2.5.1.1.2.3

Riscrivi l'espressione.

$y = \frac{2}{\ln (4)} \ln (x)$

Passaggio 2.5.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.2.1

Semplifica $\frac{2}{\ln (4)} \ln (x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.2.1.1

Riscrivi $\ln (4)$ come $\ln (2^{2})$ .

$y = \frac{2}{\ln (2^{2})} \ln (x)$

Passaggio 2.5.2.1.2

Espandi $\ln (2^{2})$ spostando $2$ fuori dal logaritmo.

$y = \frac{2}{2 \ln (2)} \ln (x)$

Passaggio 2.5.2.1.3

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.2.1.3.1

Elimina il fattore comune.

$y = \frac{2}{2 \ln (2)} \ln (x)$

Passaggio 2.5.2.1.3.2

Riscrivi l'espressione.

$y = \frac{1}{\ln (2)} \ln (x)$

Passaggio 2.5.2.1.4

$\frac{1}{\ln (2)}$ e $\ln (x)$ .

$y = \frac{\ln (x)}{\ln (2)}$

Passaggio 3

Sostituisci $y$ con $f^{- 1} (x)$ per mostrare la risposta finale.

$f^{- 1} (x) = \frac{\ln (x)}{\ln (2)}$

Passaggio 4

Verifica se $f^{- 1} (x) = \frac{\ln (x)}{\ln (2)}$ è l'inverso di $f (x) = 4^{\frac{x}{2}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Per verificare l'inverso, controlla se $f^{- 1} (f (x)) = x$ e $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Passaggio 4.2

Calcola $f^{- 1} (f (x))$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1

Imposta la funzione composita per il risultato.

$f^{- 1} (f (x))$

Passaggio 4.2.2

Calcola $f^{- 1} \cdot 4^{\frac{x}{2}}$ sostituendo il valore di $f$ in $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} \cdot 4^{\frac{x}{2}} = \frac{\ln (4^{\frac{x}{2}})}{\ln (2)}$

Passaggio 4.3

Calcola $f (f^{- 1} (x))$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.1

Imposta la funzione composita per il risultato.

$f (f^{- 1} (x))$

Passaggio 4.3.2

Calcola $f (\frac{\ln (x)}{\ln (2)})$ sostituendo il valore di $f^{- 1}$ in $f$ .

$f (\frac{\ln (x)}{\ln (2)}) = 4^{\frac{\frac{\ln (x)}{\ln (2)}}{2}}$

Passaggio 4.3.3

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$f (\frac{\ln (x)}{\ln (2)}) = 4^{\frac{\ln (x)}{\ln (2)} \cdot \frac{1}{2}}$

Passaggio 4.3.4

Moltiplica $\frac{\ln (x)}{\ln (2)} \cdot \frac{1}{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.4.1

Moltiplica $\frac{\ln (x)}{\ln (2)}$ per $\frac{1}{2}$ .

$f (\frac{\ln (x)}{\ln (2)}) = 4^{\frac{\ln (x)}{\ln (2) \cdot 2}}$

Passaggio 4.3.4.2

Riordina $\ln (2)$ e $2$ .

$f (\frac{\ln (x)}{\ln (2)}) = 4^{\frac{\ln (x)}{2 \cdot \ln (2)}}$

Passaggio 4.3.4.3

Semplifica $2 \cdot \ln (2)$ spostando $2$ all'interno del logaritmo.

$f (\frac{\ln (x)}{\ln (2)}) = 4^{\frac{\ln (x)}{\ln (2^{2})}}$

Passaggio 4.3.5

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$f (\frac{\ln (x)}{\ln (2)}) = 4^{\frac{\ln (x)}{\ln (4)}}$

Passaggio 4.3.6

Usa la variazione della regola base $\frac{\log_{b} (x)}{\log_{b} (a)} = \log_{a} (x)$ .

$f (\frac{\ln (x)}{\ln (2)}) = 4^{\log_{4} (x)}$

Passaggio 4.3.7

L'esponenziazione e il logaritmo sono funzioni inverse.

$f (\frac{\ln (x)}{\ln (2)}) = x$

Passaggio 4.4

Poiché $f^{- 1} (f (x)) = x$ e $f (f^{- 1} (x)) = x$ , allora $f^{- 1} (x) = \frac{\ln (x)}{\ln (2)}$ è l'inverso di $f (x) = 4^{\frac{x}{2}}$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{\ln (x)}{\ln (2)}$