Algebra Esempi

$12 e^{2 x} - 5 = 17 e^{x}$

Passaggio 1

Sottrai $17 e^{x}$ da entrambi i lati dell'equazione.

$12 e^{2 x} - 5 - 17 e^{x} = 0$

Passaggio 2

Riscrivi $e^{2 x}$ come un elevamento a potenza.

$12 {(e^{x})}^{2} - 5 - 17 e^{x} = 0$

Passaggio 3

Sostituisci $u$ a $e^{x}$ .

$12 u^{2} - 5 - 17 u = 0$

Passaggio 4

Sposta $- 5$ .

$12 u^{2} - 17 u - 5 = 0$

Passaggio 5

Risolvi per $u$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Scomponi mediante raccoglimento.

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Passaggio 5.1.1

Per un polinomio della forma $a x^{2} + b x + c$ , riscrivi il termine centrale come somma di due termini il cui prodotto è $a \cdot c = 12 \cdot - 5 = - 60$ e la cui somma è $b = - 17$ .

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Passaggio 5.1.1.1

Scomponi $- 17$ da $- 17 u$ .

$12 u^{2} - 17 u - 5 = 0$

Passaggio 5.1.1.2

Riscrivi $- 17$ come $3$ più $- 20$ .

$12 u^{2} + (3 - 20) u - 5 = 0$

Passaggio 5.1.1.3

Applica la proprietà distributiva.

$12 u^{2} + 3 u - 20 u - 5 = 0$

Passaggio 5.1.2

Metti in evidenza il massimo comune divisore da ciascun gruppo.

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Passaggio 5.1.2.1

Raggruppa i primi due termini e gli ultimi due termini.

$(12 u^{2} + 3 u) - 20 u - 5 = 0$

Passaggio 5.1.2.2

Metti in evidenza il massimo comune divisore (M.C.D.) da ciascun gruppo.

$3 u (4 u + 1) - 5 (4 u + 1) = 0$

Passaggio 5.1.3

Scomponi il polinomio mettendo in evidenza il massimo comune divisore, $4 u + 1$ .

$(4 u + 1) (3 u - 5) = 0$

Passaggio 5.2

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$4 u + 1 = 0$

$3 u - 5 = 0$

Passaggio 5.3

Imposta $4 u + 1$ uguale a $0$ e risolvi per $u$ .

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Passaggio 5.3.1

Imposta $4 u + 1$ uguale a $0$ .

$4 u + 1 = 0$

Passaggio 5.3.2

Risolvi $4 u + 1 = 0$ per $u$ .

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Passaggio 5.3.2.1

Sottrai $1$ da entrambi i lati dell'equazione.

$4 u = - 1$

Passaggio 5.3.2.2

Dividi per $4$ ciascun termine in $4 u = - 1$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.2.2.1

Dividi per $4$ ciascun termine in $4 u = - 1$ .

$\frac{4 u}{4} = \frac{- 1}{4}$

Passaggio 5.3.2.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.2.2.2.1

Elimina il fattore comune di $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.2.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{4 u}{4} = \frac{- 1}{4}$

Passaggio 5.3.2.2.2.1.2

Dividi $u$ per $1$ .

$u = \frac{- 1}{4}$

Passaggio 5.3.2.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.2.2.3.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$u = - \frac{1}{4}$

Passaggio 5.4

Imposta $3 u - 5$ uguale a $0$ e risolvi per $u$ .

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Passaggio 5.4.1

Imposta $3 u - 5$ uguale a $0$ .

$3 u - 5 = 0$

Passaggio 5.4.2

Risolvi $3 u - 5 = 0$ per $u$ .

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Passaggio 5.4.2.1

Somma $5$ a entrambi i lati dell'equazione.

$3 u = 5$

Passaggio 5.4.2.2

Dividi per $3$ ciascun termine in $3 u = 5$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.2.2.1

Dividi per $3$ ciascun termine in $3 u = 5$ .

$\frac{3 u}{3} = \frac{5}{3}$

Passaggio 5.4.2.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.2.2.2.1

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.2.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{3 u}{3} = \frac{5}{3}$

Passaggio 5.4.2.2.2.1.2

Dividi $u$ per $1$ .

$u = \frac{5}{3}$

Passaggio 5.5

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $(4 u + 1) (3 u - 5) = 0$ vera.

$u = - \frac{1}{4}, \frac{5}{3}$

Passaggio 6

Sostituisci $- \frac{1}{4}$ a $u$ in $u = e^{x}$ .

$- \frac{1}{4} = e^{x}$

Passaggio 7

Risolvi $- \frac{1}{4} = e^{x}$ .

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Passaggio 7.1

Riscrivi l'equazione come $e^{x} = - \frac{1}{4}$ .

$e^{x} = - \frac{1}{4}$

Passaggio 7.2

Trova il logaritmo naturale dell'equazione assegnata per rimuovere la variabile dall'esponente.

$\ln (e^{x}) = \ln (- \frac{1}{4})$

Passaggio 7.3

Non è possibile risolvere l'equazione perché $\ln (- \frac{1}{4})$ è indefinita.

Indefinito

Passaggio 7.4

Non c'è soluzione per $e^{x} = - \frac{1}{4}$

Nessuna soluzione

Passaggio 8

Sostituisci $\frac{5}{3}$ a $u$ in $u = e^{x}$ .

$\frac{5}{3} = e^{x}$

Passaggio 9

Risolvi $\frac{5}{3} = e^{x}$ .

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Passaggio 9.1

Riscrivi l'equazione come $e^{x} = \frac{5}{3}$ .

$e^{x} = \frac{5}{3}$

Passaggio 9.2

Trova il logaritmo naturale dell'equazione assegnata per rimuovere la variabile dall'esponente.

$\ln (e^{x}) = \ln (\frac{5}{3})$

Passaggio 9.3

Espandi il lato sinistro.

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Passaggio 9.3.1

Espandi $\ln (e^{x})$ spostando $x$ fuori dal logaritmo.

$x \ln (e) = \ln (\frac{5}{3})$

Passaggio 9.3.2

Il logaritmo naturale di $e$ è $1$ .

$x \cdot 1 = \ln (\frac{5}{3})$

Passaggio 9.3.3

Moltiplica $x$ per $1$ .

$x = \ln (\frac{5}{3})$

Passaggio 10

Il risultato può essere mostrato in più forme.

Forma esatta:

$x = \ln (\frac{5}{3})$

Forma decimale:

$x = 0.51082562 \dots$