Algebra Esempi

$\frac{x}{x^{2} + 2 x - 2} \leq 0$

Passaggio 1

Trova tutti i valori in cui l'espressione passa da negativa a positiva ponendo ciascun fattore uguale a $0$ e risolvendo.

$x = 0$

$x^{2} + 2 x - 2 = 0$

Passaggio 2

Usa la formula quadratica per trovare le soluzioni.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Passaggio 3

Sostituisci i valori $a = 1$ , $b = 2$ e $c = - 2$ nella formula quadratica e risolvi per $x$ .

$\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot (1 \cdot - 2)}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 4

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.1

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot - 2}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 4.1.2

Moltiplica $- 4 \cdot 1 \cdot - 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.1

Moltiplica $- 4$ per $1$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot - 2}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 4.1.2.2

Moltiplica $- 4$ per $- 2$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 + 8}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 4.1.3

Somma $4$ e $8$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 4.1.4

Riscrivi $12$ come $2^{2} \cdot 3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.4.1

Scomponi $4$ da $12$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 (3)}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 4.1.4.2

Riscrivi $4$ come $2^{2}$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 4.1.5

Estrai i termini dal radicale.

$x = \frac{- 2 \pm 2 \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 4.2

Moltiplica $2$ per $1$ .

$x = \frac{- 2 \pm 2 \sqrt{3}}{2}$

Passaggio 4.3

Semplifica $\frac{- 2 \pm 2 \sqrt{3}}{2}$ .

$x = - 1 \pm \sqrt{3}$

Passaggio 5

La risposta finale è la combinazione di entrambe le soluzioni.

$x = - 1 + \sqrt{3}, - 1 - \sqrt{3}$

Passaggio 6

Risolvi per ogni fattore per trovare i valori in cui l'espressione con valore assoluto passa da negativa a positiva.

$x = 0$

$x = - 1 + \sqrt{3}, - 1 - \sqrt{3}$

Passaggio 7

Consolida le soluzioni.

$x = 0, - 1 + \sqrt{3}, - 1 - \sqrt{3}$

Passaggio 8

Trova il dominio di $\frac{x}{x^{2} + 2 x - 2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1

Imposta il denominatore in $\frac{x}{x^{2} + 2 x - 2}$ in modo che sia uguale a $0$ per individuare dove l'espressione è indefinita.

$x^{2} + 2 x - 2 = 0$

Passaggio 8.2

Risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.1

Usa la formula quadratica per trovare le soluzioni.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Passaggio 8.2.2

Sostituisci i valori $a = 1$ , $b = 2$ e $c = - 2$ nella formula quadratica e risolvi per $x$ .

$\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot (1 \cdot - 2)}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 8.2.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.3.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.3.1.1

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot - 2}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 8.2.3.1.2

Moltiplica $- 4 \cdot 1 \cdot - 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.3.1.2.1

Moltiplica $- 4$ per $1$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot - 2}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 8.2.3.1.2.2

Moltiplica $- 4$ per $- 2$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 + 8}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 8.2.3.1.3

Somma $4$ e $8$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 8.2.3.1.4

Riscrivi $12$ come $2^{2} \cdot 3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.3.1.4.1

Scomponi $4$ da $12$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 (3)}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 8.2.3.1.4.2

Riscrivi $4$ come $2^{2}$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 8.2.3.1.5

Estrai i termini dal radicale.

$x = \frac{- 2 \pm 2 \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 8.2.3.2

Moltiplica $2$ per $1$ .

$x = \frac{- 2 \pm 2 \sqrt{3}}{2}$

Passaggio 8.2.3.3

Semplifica $\frac{- 2 \pm 2 \sqrt{3}}{2}$ .

$x = - 1 \pm \sqrt{3}$

Passaggio 8.2.4

La risposta finale è la combinazione di entrambe le soluzioni.

$x = - 1 + \sqrt{3}, - 1 - \sqrt{3}$

Passaggio 8.3

Il dominio è formato da tutti i valori di $x$ che rendono definita l'espressione.

$(- \infty, - 1 - \sqrt{3}) \cup (- 1 - \sqrt{3}, - 1 + \sqrt{3}) \cup (- 1 + \sqrt{3}, \infty)$

Passaggio 9

Usa ogni radice per creare gli intervalli di prova.

$x < - 1 - \sqrt{3}$

$- 1 - \sqrt{3} < x < 0$

$0 < x < - 1 + \sqrt{3}$

$x > - 1 + \sqrt{3}$

Passaggio 10

Scegli un valore di test da ciascun intervallo e sostituiscilo nella diseguaglianza originale per determinare quali intervalli sono soddisfatti dalla diseguaglianza.

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Passaggio 10.1

Testa un valore sull'intervallo $x < - 1 - \sqrt{3}$ per verificare se rende vera la diseguaglianza.

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Passaggio 10.1.1

Scegli un valore sull'intervallo $x < - 1 - \sqrt{3}$ e verifica se soddisfa la diseguaglianza originale.

$x = - 5$

Passaggio 10.1.2

Sostituisci $x$ con $- 5$ nella diseguaglianza originale.

$\frac{- 5}{{(- 5)}^{2} + 2 (- 5) - 2} \leq 0$

Passaggio 10.1.3

Il lato sinistro di $- 0.\overline{384615}$ è minore del lato destro di $0$ ; ciò significa che l'affermazione data è sempre vera.

Vero

Passaggio 10.2

Testa un valore sull'intervallo $- 1 - \sqrt{3} < x < 0$ per verificare se rende vera la diseguaglianza.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.2.1

Scegli un valore sull'intervallo $- 1 - \sqrt{3} < x < 0$ e verifica se soddisfa la diseguaglianza originale.

$x = - 1$

Passaggio 10.2.2

Sostituisci $x$ con $- 1$ nella diseguaglianza originale.

$\frac{- 1}{{(- 1)}^{2} + 2 (- 1) - 2} \leq 0$

Passaggio 10.2.3

Il lato sinistro di $0.\overline{3}$ è maggiore del lato destro di $0$ ; ciò significa che l'affermazione data è falsa.

Falso

Passaggio 10.3

Testa un valore sull'intervallo $0 < x < - 1 + \sqrt{3}$ per verificare se rende vera la diseguaglianza.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.3.1

Scegli un valore sull'intervallo $0 < x < - 1 + \sqrt{3}$ e verifica se soddisfa la diseguaglianza originale.

$x = 0.37$

Passaggio 10.3.2

Sostituisci $x$ con $0.37$ nella diseguaglianza originale.

$\frac{0.37}{{(0.37)}^{2} + 2 (0.37) - 2} \leq 0$

Passaggio 10.3.3

Il lato sinistro di $- 0.32944528$ è minore del lato destro di $0$ ; ciò significa che l'affermazione data è sempre vera.

Vero

Passaggio 10.4

Testa un valore sull'intervallo $x > - 1 + \sqrt{3}$ per verificare se rende vera la diseguaglianza.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.4.1

Scegli un valore sull'intervallo $x > - 1 + \sqrt{3}$ e verifica se soddisfa la diseguaglianza originale.

$x = 3$

Passaggio 10.4.2

Sostituisci $x$ con $3$ nella diseguaglianza originale.

$\frac{3}{{(3)}^{2} + 2 (3) - 2} \leq 0$

Passaggio 10.4.3

Il lato sinistro di $0.\overline{230769}$ è maggiore del lato destro di $0$ ; ciò significa che l'affermazione data è falsa.

Falso

Passaggio 10.5

Confronta gli intervalli per determinare quali soddisfano la diseguaglianza originale.

$x < - 1 - \sqrt{3}$ Vero

$- 1 - \sqrt{3} < x < 0$ Falso

$0 < x < - 1 + \sqrt{3}$ Vero

$x > - 1 + \sqrt{3}$ Falso

$x < - 1 - \sqrt{3}$ Vero

$- 1 - \sqrt{3} < x < 0$ Falso

$0 < x < - 1 + \sqrt{3}$ Vero

$x > - 1 + \sqrt{3}$ Falso

Passaggio 11

La soluzione è costituita da tutti gli intervalli veri.

$x < - 1 - \sqrt{3}$ o $0 \leq x < - 1 + \sqrt{3}$

Passaggio 12

Il risultato può essere mostrato in più forme.

Forma della diseguaglianza:

$x < - 1 - \sqrt{3} or 0 \leq x < - 1 + \sqrt{3}$

Notazione degli intervalli:

$(- \infty, - 1 - \sqrt{3}) \cup [0, - 1 + \sqrt{3})$

Passaggio 13