Algebra Esempi

$\sin^{2} (θ) + 2 \sin (θ) + 1 = 0$ if $0 \leq θ \leq 2 π$

Passaggio 1

Sostituisci $u$ a $\sin (θ)$ .

${(u)}^{2} + 2 (u) + 1 = 0$

Passaggio 2

Scomponi usando la regola del quadrato perfetto.

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Passaggio 2.1

Riscrivi $1$ come $1^{2}$ .

$u^{2} + 2 u + 1^{2} = 0$

Passaggio 2.2

Verifica che il termine centrale sia il doppio del prodotto dei numeri elevati alla seconda potenza nel primo e nel terzo termine.

$2 u = 2 \cdot u \cdot 1$

Passaggio 2.3

Riscrivi il polinomio.

$u^{2} + 2 \cdot u \cdot 1 + 1^{2} = 0$

Passaggio 2.4

Scomponi usando la regola del trinomio perfetto al quadrato $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , dove $a = u$ e $b = 1$ .

${(u + 1)}^{2} = 0$

Passaggio 3

Poni $u + 1$ uguale a $0$ .

$u + 1 = 0$

Passaggio 4

Sottrai $1$ da entrambi i lati dell'equazione.

$u = - 1$

Passaggio 5

Sostituisci $\sin (θ)$ a $u$ .

$\sin (θ) = - 1$

Passaggio 6

Trova il valore dell'incognita $θ$ corrispondente all'inverso del seno presente nell'equazione assegnata.

$θ = \arcsin (- 1)$

Passaggio 7

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 7.1

Il valore esatto di $\arcsin (- 1)$ è $- \frac{π}{2}$ .

$θ = - \frac{π}{2}$

Passaggio 8

La funzione del seno è positiva nel terzo e nel quarto quadrante. Per trovare la seconda soluzione, sottrai la soluzione da $2 π$ per trovare un angolo di riferimento. Poi, somma l'angolo di riferimento a $π$ per trovare la soluzione nel terzo quadrante.

$θ = 2 π + \frac{π}{2} + π$

Passaggio 9

Semplifica l'espressione per trovare la seconda soluzione.

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Passaggio 9.1

Sottrai $2 π$ da $2 π + \frac{π}{2} + π$ .

$θ = 2 π + \frac{π}{2} + π - 2 π$

Passaggio 9.2

L'angolo risultante di $\frac{3 π}{2}$ è positivo, minore di $2 π$ e coterminale con $2 π + \frac{π}{2} + π$ .

$θ = \frac{3 π}{2}$

Passaggio 10

Trova il periodo di $\sin (θ)$ .

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Passaggio 10.1

Si può calcolare il periodo della funzione usando $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Passaggio 10.2

Sostituisci $b$ con $1$ nella formula per il periodo.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Passaggio 10.3

Il valore assoluto è la distanza tra un numero e zero. La distanza tra $0$ e $1$ è $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Passaggio 10.4

Dividi $2 π$ per $1$ .

$2 π$

Passaggio 11

Somma $2 π$ a ogni angolo negativo per ottenere gli angoli positivi.

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Passaggio 11.1

Somma $2 π$ a $- \frac{π}{2}$ per trovare l'angolo positivo.

$- \frac{π}{2} + 2 π$

Passaggio 11.2

Per scrivere $2 π$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Passaggio 11.3

Riduci le frazioni.

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Passaggio 11.3.1

$2 π$ e $\frac{2}{2}$ .

$\frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Passaggio 11.3.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

Passaggio 11.4

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 11.4.1

Moltiplica $2$ per $2$ .

$\frac{4 π - π}{2}$

Passaggio 11.4.2

Sottrai $π$ da $4 π$ .

$\frac{3 π}{2}$

Passaggio 11.5

Fai un elenco dei nuovi angoli.

$θ = \frac{3 π}{2}$

Passaggio 12

Il periodo della funzione $\sin (θ)$ è $2 π$ , quindi i valori si ripetono ogni $2 π$ radianti in entrambe le direzioni.

$θ = \frac{3 π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n$ , per qualsiasi intero $n$

Passaggio 13

Consolida le risposte.

$θ = \frac{3 π}{2} + 2 π n$ , per qualsiasi intero $n$

Passaggio 14

Collega $0$ per $n$ e semplifica per vedere se la soluzione è contenuta in $[0, 2 π]$ .

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Passaggio 14.1

Collega $0$ per $n$ .

$\frac{3 π}{2} + 2 π (0)$

Passaggio 14.2

Semplifica.

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Passaggio 14.2.1

Moltiplica $2 π (0)$ .

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Passaggio 14.2.1.1

Moltiplica $0$ per $2$ .

$\frac{3 π}{2} + 0 π$

Passaggio 14.2.1.2

Moltiplica $0$ per $π$ .

$\frac{3 π}{2} + 0$

Passaggio 14.2.2

Somma $\frac{3 π}{2}$ e $0$ .

$\frac{3 π}{2}$

Passaggio 14.3

L'intervallo $[0, 2 π]$ contiene $\frac{3 π}{2}$ .

$θ = \frac{3 π}{2}$