Algebra Esempi

$\tan^{2} (x) - \sec (x) = 1$

Passaggio 1

Riscrivi $\tan^{2} (x) - \sec (x)$ come differenza di quadrati.

$\tan^{2} (x) - {\sqrt{\sec (x)}}^{2}$

Passaggio 2

Poiché entrambi i termini sono dei quadrati perfetti, fattorizza usando la formula della differenza di quadrati, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ dove $a = \tan (x)$ e $b = \sqrt{\sec (x)}$ .

$(\tan (x) + \sqrt{\sec (x)}) (\tan (x) - \sqrt{\sec (x)})$

Passaggio 3

Risolvi per $\sqrt{\sec (x)}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.1

Semplifica $(\tan (x) + \sqrt{\sec (x)}) (\tan (x) - \sqrt{\sec (x)})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.1.1

Espandi $(\tan (x) + \sqrt{\sec (x)}) (\tan (x) - \sqrt{\sec (x)})$ usando il metodo FOIL.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.1.1.1

Applica la proprietà distributiva.

$\tan (x) (\tan (x) - \sqrt{\sec (x)}) + \sqrt{\sec (x)} (\tan (x) - \sqrt{\sec (x)}) = 1$

Passaggio 3.1.1.1.2

Applica la proprietà distributiva.

$\tan (x) \tan (x) + \tan (x) (- \sqrt{\sec (x)}) + \sqrt{\sec (x)} (\tan (x) - \sqrt{\sec (x)}) = 1$

Passaggio 3.1.1.1.3

Applica la proprietà distributiva.

$\tan (x) \tan (x) + \tan (x) (- \sqrt{\sec (x)}) + \sqrt{\sec (x)} \tan (x) + \sqrt{\sec (x)} (- \sqrt{\sec (x)}) = 1$

Passaggio 3.1.1.2

Semplifica i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.1.2.1

Combina i termini opposti in $\tan (x) \tan (x) + \tan (x) (- \sqrt{\sec (x)}) + \sqrt{\sec (x)} \tan (x) + \sqrt{\sec (x)} (- \sqrt{\sec (x)})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.1.2.1.1

Riordina i fattori nei termini di $\tan (x) (- \sqrt{\sec (x)})$ e $\sqrt{\sec (x)} \tan (x)$ .

$\tan (x) \tan (x) - \sqrt{\sec (x)} \tan (x) + \sqrt{\sec (x)} \tan (x) + \sqrt{\sec (x)} (- \sqrt{\sec (x)}) = 1$

Passaggio 3.1.1.2.1.2

Somma $- \sqrt{\sec (x)} \tan (x)$ e $\sqrt{\sec (x)} \tan (x)$ .

$\tan (x) \tan (x) + 0 + \sqrt{\sec (x)} (- \sqrt{\sec (x)}) = 1$

Passaggio 3.1.1.2.1.3

Somma $\tan (x) \tan (x)$ e $0$ .

$\tan (x) \tan (x) + \sqrt{\sec (x)} (- \sqrt{\sec (x)}) = 1$

Passaggio 3.1.1.2.2

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.1.2.2.1

Moltiplica $\tan (x) \tan (x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.1.2.2.1.1

Eleva $\tan (x)$ alla potenza di $1$ .

$\tan^{1} (x) \tan (x) + \sqrt{\sec (x)} (- \sqrt{\sec (x)}) = 1$

Passaggio 3.1.1.2.2.1.2

Eleva $\tan (x)$ alla potenza di $1$ .

$\tan^{1} (x) \tan^{1} (x) + \sqrt{\sec (x)} (- \sqrt{\sec (x)}) = 1$

Passaggio 3.1.1.2.2.1.3

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

${\tan (x)}^{1 + 1} + \sqrt{\sec (x)} (- \sqrt{\sec (x)}) = 1$

Passaggio 3.1.1.2.2.1.4

Somma $1$ e $1$ .

$\tan^{2} (x) + \sqrt{\sec (x)} (- \sqrt{\sec (x)}) = 1$

Passaggio 3.1.1.2.2.2

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$\tan^{2} (x) - \sqrt{\sec (x)} \sqrt{\sec (x)} = 1$

Passaggio 3.1.1.2.2.3

Moltiplica $\sqrt{\sec (x)}$ per $\sqrt{\sec (x)}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.1.2.2.3.1

Sposta $\sqrt{\sec (x)}$ .

$\tan^{2} (x) - (\sqrt{\sec (x)} \sqrt{\sec (x)}) = 1$

Passaggio 3.1.1.2.2.3.2

Moltiplica $\sqrt{\sec (x)}$ per $\sqrt{\sec (x)}$ .

$\tan^{2} (x) - {\sqrt{\sec (x)}}^{2} = 1$

Passaggio 3.2

Sottrai $\tan^{2} (x)$ da entrambi i lati dell'equazione.

$- {\sqrt{\sec (x)}}^{2} = 1 - \tan^{2} (x)$

Passaggio 3.3

Dividi per $- 1$ ciascun termine in $- {\sqrt{\sec (x)}}^{2} = 1 - \tan^{2} (x)$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1

Dividi per $- 1$ ciascun termine in $- {\sqrt{\sec (x)}}^{2} = 1 - \tan^{2} (x)$ .

$\frac{- {\sqrt{\sec (x)}}^{2}}{- 1} = \frac{1}{- 1} + \frac{- \tan^{2} (x)}{- 1}$

Passaggio 3.3.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.1

Dividendo due valori negativi si ottiene un valore positivo.

$\frac{{\sqrt{\sec (x)}}^{2}}{1} = \frac{1}{- 1} + \frac{- \tan^{2} (x)}{- 1}$

Passaggio 3.3.2.2

Dividi ${\sqrt{\sec (x)}}^{2}$ per $1$ .

${\sqrt{\sec (x)}}^{2} = \frac{1}{- 1} + \frac{- \tan^{2} (x)}{- 1}$

Passaggio 3.3.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.3.1.1

Dividi $1$ per $- 1$ .

${\sqrt{\sec (x)}}^{2} = - 1 + \frac{- \tan^{2} (x)}{- 1}$

Passaggio 3.3.3.1.2

Dividendo due valori negativi si ottiene un valore positivo.

${\sqrt{\sec (x)}}^{2} = - 1 + \frac{\tan^{2} (x)}{1}$

Passaggio 3.3.3.1.3

Dividi $\tan^{2} (x)$ per $1$ .

${\sqrt{\sec (x)}}^{2} = - 1 + \tan^{2} (x)$

Passaggio 3.4

Trova la radice quadrata specificata di entrambi i lati dell'equazione per eliminare l'esponente sul lato sinistro.

$\sqrt{\sec (x)} = \pm \sqrt{- 1 + \tan^{2} (x)}$

Passaggio 3.5

Semplifica $\pm \sqrt{- 1 + \tan^{2} (x)}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.1

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.1.1

Riscrivi $1$ come $1^{2}$ .

$\sqrt{\sec (x)} = \pm \sqrt{- 1^{2} + \tan^{2} (x)}$

Passaggio 3.5.1.2

Riordina $- 1^{2}$ e $\tan^{2} (x)$ .

$\sqrt{\sec (x)} = \pm \sqrt{\tan^{2} (x) - 1^{2}}$

Passaggio 3.5.2

Poiché entrambi i termini sono dei quadrati perfetti, fattorizza usando la formula della differenza di quadrati, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ dove $a = \tan (x)$ e $b = 1$ .

$\sqrt{\sec (x)} = \pm \sqrt{(\tan (x) + 1) (\tan (x) - 1)}$

Passaggio 3.6

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.6.1

Per prima cosa, usa il valore positivo di $\pm$ per trovare la prima soluzione.

$\sqrt{\sec (x)} = \sqrt{(\tan (x) + 1) (\tan (x) - 1)}$

Passaggio 3.6.2

Ora, usa il valore negativo del $\pm$ per trovare la seconda soluzione.

$\sqrt{\sec (x)} = - \sqrt{(\tan (x) + 1) (\tan (x) - 1)}$

Passaggio 3.6.3

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

$\sqrt{\sec (x)} = \sqrt{(\tan (x) + 1) (\tan (x) - 1)}, - \sqrt{(\tan (x) + 1) (\tan (x) - 1)}$

Passaggio 4

Risolvi per $x$ in $\sqrt{\sec (x)} = \sqrt{(\tan (x) + 1) (\tan (x) - 1)}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Per rimuovere il radicale sul lato sinistro dell'equazione, eleva al quadrato entrambi i lati dell'equazione.

${\sqrt{\sec (x)}}^{2} = {\sqrt{(\tan (x) + 1) (\tan (x) - 1)}}^{2}$

Passaggio 4.2

Semplifica ogni lato dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{\sec (x)}$ come ${\sec (x)}^{\frac{1}{2}}$ .

${({\sec (x)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {\sqrt{(\tan (x) + 1) (\tan (x) - 1)}}^{2}$

Passaggio 4.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.2.1

Semplifica ${({\sec (x)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.2.1.1

Moltiplica gli esponenti in ${({\sec (x)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.2.1.1.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${\sec (x)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {\sqrt{(\tan (x) + 1) (\tan (x) - 1)}}^{2}$

Passaggio 4.2.2.1.1.2

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.2.1.1.2.1

Elimina il fattore comune.

${\sec (x)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {\sqrt{(\tan (x) + 1) (\tan (x) - 1)}}^{2}$

Passaggio 4.2.2.1.1.2.2

Riscrivi l'espressione.

$\sec^{1} (x) = {\sqrt{(\tan (x) + 1) (\tan (x) - 1)}}^{2}$

Passaggio 4.2.2.1.2

Semplifica.

$\sec (x) = {\sqrt{(\tan (x) + 1) (\tan (x) - 1)}}^{2}$

Passaggio 4.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.3.1

Semplifica ${\sqrt{(\tan (x) + 1) (\tan (x) - 1)}}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.3.1.1

Riscrivi ${\sqrt{(\tan (x) + 1) (\tan (x) - 1)}}^{2}$ come $(\tan (x) + 1) (\tan (x) - 1)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.3.1.1.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{(\tan (x) + 1) (\tan (x) - 1)}$ come ${((\tan (x) + 1) (\tan (x) - 1))}^{\frac{1}{2}}$ .

$\sec (x) = {({((\tan (x) + 1) (\tan (x) - 1))}^{\frac{1}{2}})}^{2}$

Passaggio 4.2.3.1.1.2

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sec (x) = {((\tan (x) + 1) (\tan (x) - 1))}^{\frac{1}{2} \cdot 2}$

Passaggio 4.2.3.1.1.3

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\sec (x) = {((\tan (x) + 1) (\tan (x) - 1))}^{\frac{2}{2}}$

Passaggio 4.2.3.1.1.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.3.1.1.4.1

Elimina il fattore comune.

$\sec (x) = {((\tan (x) + 1) (\tan (x) - 1))}^{\frac{2}{2}}$

Passaggio 4.2.3.1.1.4.2

Riscrivi l'espressione.

$\sec (x) = {((\tan (x) + 1) (\tan (x) - 1))}^{1}$

Passaggio 4.2.3.1.1.5

Semplifica.

$\sec (x) = (\tan (x) + 1) (\tan (x) - 1)$

Passaggio 4.2.3.1.2

Espandi $(\tan (x) + 1) (\tan (x) - 1)$ usando il metodo FOIL.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.3.1.2.1

Applica la proprietà distributiva.

$\sec (x) = \tan (x) (\tan (x) - 1) + 1 (\tan (x) - 1)$

Passaggio 4.2.3.1.2.2

Applica la proprietà distributiva.

$\sec (x) = \tan (x) \tan (x) + \tan (x) \cdot - 1 + 1 (\tan (x) - 1)$

Passaggio 4.2.3.1.2.3

Applica la proprietà distributiva.

$\sec (x) = \tan (x) \tan (x) + \tan (x) \cdot - 1 + 1 \tan (x) + 1 \cdot - 1$

Passaggio 4.2.3.1.3

Semplifica e combina i termini simili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.3.1.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.3.1.3.1.1

Moltiplica $\tan (x) \tan (x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.3.1.3.1.1.1

Eleva $\tan (x)$ alla potenza di $1$ .

$\sec (x) = \tan^{1} (x) \tan (x) + \tan (x) \cdot - 1 + 1 \tan (x) + 1 \cdot - 1$

Passaggio 4.2.3.1.3.1.1.2

Eleva $\tan (x)$ alla potenza di $1$ .

$\sec (x) = \tan^{1} (x) \tan^{1} (x) + \tan (x) \cdot - 1 + 1 \tan (x) + 1 \cdot - 1$

Passaggio 4.2.3.1.3.1.1.3

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\sec (x) = {\tan (x)}^{1 + 1} + \tan (x) \cdot - 1 + 1 \tan (x) + 1 \cdot - 1$

Passaggio 4.2.3.1.3.1.1.4

Somma $1$ e $1$ .

$\sec (x) = \tan^{2} (x) + \tan (x) \cdot - 1 + 1 \tan (x) + 1 \cdot - 1$

Passaggio 4.2.3.1.3.1.2

Sposta $- 1$ alla sinistra di $\tan (x)$ .

$\sec (x) = \tan^{2} (x) - 1 \cdot \tan (x) + 1 \tan (x) + 1 \cdot - 1$

Passaggio 4.2.3.1.3.1.3

Riscrivi $- 1 \tan (x)$ come $- \tan (x)$ .

$\sec (x) = \tan^{2} (x) - \tan (x) + 1 \tan (x) + 1 \cdot - 1$

Passaggio 4.2.3.1.3.1.4

Moltiplica $\tan (x)$ per $1$ .

$\sec (x) = \tan^{2} (x) - \tan (x) + \tan (x) + 1 \cdot - 1$

Passaggio 4.2.3.1.3.1.5

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$\sec (x) = \tan^{2} (x) - \tan (x) + \tan (x) - 1$

Passaggio 4.2.3.1.3.2

Somma $- \tan (x)$ e $\tan (x)$ .

$\sec (x) = \tan^{2} (x) + 0 - 1$

Passaggio 4.2.3.1.3.3

Somma $\tan^{2} (x)$ e $0$ .

$\sec (x) = \tan^{2} (x) - 1$

Passaggio 4.3

Risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.1

Sottrai $\tan^{2} (x)$ da entrambi i lati dell'equazione.

$\sec (x) - \tan^{2} (x) = - 1$

Passaggio 4.3.2

Sostituisci $- \tan^{2} (x)$ con $- (\sec^{2} (x) - 1)$ in base all'identità $\tan^{2} (x) + 1 = \sec^{2} (x)$ .

$\sec (x) - (\sec^{2} (x) - 1) = - 1$

Passaggio 4.3.3

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.3.1

Applica la proprietà distributiva.

$\sec (x) - \sec^{2} (x) + 1 = - 1$

Passaggio 4.3.3.2

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$\sec (x) - \sec^{2} (x) + 1 = - 1$

Passaggio 4.3.4

Riordina il polinomio.

$- \sec^{2} (x) + \sec (x) + 1 = - 1$

Passaggio 4.3.5

Sostituisci $u$ a $\sec (x)$ .

$- {(u)}^{2} + u + 1 = - 1$

Passaggio 4.3.6

Somma $1$ a entrambi i lati dell'equazione.

$- u^{2} + u + 1 + 1 = 0$

Passaggio 4.3.7

Somma $1$ e $1$ .

$- u^{2} + u + 2 = 0$

Passaggio 4.3.8

Scomponi il primo membro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.8.1

Scomponi $- 1$ da $- u^{2} + u + 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.8.1.1

Scomponi $- 1$ da $- u^{2}$ .

$- u^{2} + u + 2 = 0$

Passaggio 4.3.8.1.2

Scomponi $- 1$ da $u$ .

$- u^{2} - 1 (- u) + 2 = 0$

Passaggio 4.3.8.1.3

Riscrivi $2$ come $- 1 (- 2)$ .

$- u^{2} - 1 (- u) - 1 \cdot - 2 = 0$

Passaggio 4.3.8.1.4

Scomponi $- 1$ da $- u^{2} - 1 (- u)$ .

$- (u^{2} - u) - 1 \cdot - 2 = 0$

Passaggio 4.3.8.1.5

Scomponi $- 1$ da $- (u^{2} - u) - 1 (- 2)$ .

$- (u^{2} - u - 2) = 0$

Passaggio 4.3.8.2

Scomponi.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.8.2.1

Scomponi $u^{2} - u - 2$ usando il metodo AC.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.8.2.1.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Trova una coppia di interi il cui prodotto è $c$ e la cui formula è $b$ . In questo caso, il cui prodotto è $- 2$ e la cui somma è $- 1$ .

$- 2, 1$

Passaggio 4.3.8.2.1.2

Scrivi la forma fattorizzata usando questi interi.

$- ((u - 2) (u + 1)) = 0$

Passaggio 4.3.8.2.2

Rimuovi le parentesi non necessarie.

$- (u - 2) (u + 1) = 0$

Passaggio 4.3.9

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$u - 2 = 0$

$u + 1 = 0$

Passaggio 4.3.10

Imposta $u - 2$ uguale a $0$ e risolvi per $u$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.10.1

Imposta $u - 2$ uguale a $0$ .

$u - 2 = 0$

Passaggio 4.3.10.2

Somma $2$ a entrambi i lati dell'equazione.

$u = 2$

Passaggio 4.3.11

Imposta $u + 1$ uguale a $0$ e risolvi per $u$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.11.1

Imposta $u + 1$ uguale a $0$ .

$u + 1 = 0$

Passaggio 4.3.11.2

Sottrai $1$ da entrambi i lati dell'equazione.

$u = - 1$

Passaggio 4.3.12

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $- (u - 2) (u + 1) = 0$ vera.

$u = 2, - 1$

Passaggio 4.3.13

Sostituisci $\sec (x)$ a $u$ .

$\sec (x) = 2, - 1$

Passaggio 4.3.14

Imposta ognuna delle soluzioni per risolvere per $x$ .

$\sec (x) = 2$

$\sec (x) = - 1$

Passaggio 4.3.15

Risolvi per $x$ in $\sec (x) = 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.15.1

Calcola la secante inversa di entrambi i lati dell'equazione per estrarre $x$ dall'interno della secante.

$x = arcsec (2)$

Passaggio 4.3.15.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.15.2.1

Il valore esatto di $arcsec (2)$ è $\frac{π}{3}$ .

$x = \frac{π}{3}$

Passaggio 4.3.15.3

La funzione secante è positiva nel primo e nel quarto quadrante. Per trovare la seconda soluzione, sottrai l'angolo di riferimento da $2 π$ per trovare la soluzione nel quarto quadrante.

$x = 2 π - \frac{π}{3}$

Passaggio 4.3.15.4

Semplifica $2 π - \frac{π}{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.15.4.1

Per scrivere $2 π$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{3}{3}$ .

$x = 2 π \cdot \frac{3}{3} - \frac{π}{3}$

Passaggio 4.3.15.4.2

Riduci le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.15.4.2.1

$2 π$ e $\frac{3}{3}$ .

$x = \frac{2 π \cdot 3}{3} - \frac{π}{3}$

Passaggio 4.3.15.4.2.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$x = \frac{2 π \cdot 3 - π}{3}$

Passaggio 4.3.15.4.3

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.15.4.3.1

Moltiplica $3$ per $2$ .

$x = \frac{6 π - π}{3}$

Passaggio 4.3.15.4.3.2

Sottrai $π$ da $6 π$ .

$x = \frac{5 π}{3}$

Passaggio 4.3.15.5

Trova il periodo di $\sec (x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.15.5.1

Si può calcolare il periodo della funzione usando $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Passaggio 4.3.15.5.2

Sostituisci $b$ con $1$ nella formula per il periodo.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Passaggio 4.3.15.5.3

Il valore assoluto è la distanza tra un numero e zero. La distanza tra $0$ e $1$ è $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Passaggio 4.3.15.5.4

Dividi $2 π$ per $1$ .

$2 π$

Passaggio 4.3.15.6

Il periodo della funzione $\sec (x)$ è $2 π$ , quindi i valori si ripetono ogni $2 π$ radianti in entrambe le direzioni.

$x = \frac{π}{3} + 2 π n, \frac{5 π}{3} + 2 π n$ , per qualsiasi intero $n$

Passaggio 4.3.16

Risolvi per $x$ in $\sec (x) = - 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.16.1

Calcola la secante inversa di entrambi i lati dell'equazione per estrarre $x$ dall'interno della secante.

$x = arcsec (- 1)$

Passaggio 4.3.16.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.16.2.1

Il valore esatto di $arcsec (- 1)$ è $π$ .

$x = π$

Passaggio 4.3.16.3

La funzione secante è negativa nel secondo e nel terzo quadrante. Per trovare la seconda soluzione, sottrai l'angolo di riferimento da $2 π$ per trovare la soluzione nel terzo quadrante.

$x = 2 π - π$

Passaggio 4.3.16.4

Sottrai $π$ da $2 π$ .

$x = π$

Passaggio 4.3.16.5

Trova il periodo di $\sec (x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.16.5.1

Si può calcolare il periodo della funzione usando $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Passaggio 4.3.16.5.2

Sostituisci $b$ con $1$ nella formula per il periodo.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Passaggio 4.3.16.5.3

Il valore assoluto è la distanza tra un numero e zero. La distanza tra $0$ e $1$ è $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Passaggio 4.3.16.5.4

Dividi $2 π$ per $1$ .

$2 π$

Passaggio 4.3.16.6

Il periodo della funzione $\sec (x)$ è $2 π$ , quindi i valori si ripetono ogni $2 π$ radianti in entrambe le direzioni.

$x = π + 2 π n$ , per qualsiasi intero $n$

Passaggio 4.3.17

Elenca tutte le soluzioni.

$x = \frac{π}{3} + 2 π n, \frac{5 π}{3} + 2 π n, π + 2 π n$ , per qualsiasi intero $n$

Passaggio 4.3.18

Consolida le risposte.

$x = \frac{π}{3} + \frac{2 π n}{3}$ , per qualsiasi intero $n$

Passaggio 5

Risolvi per $x$ in $\sqrt{\sec (x)} = - \sqrt{(\tan (x) + 1) (\tan (x) - 1)}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Per rimuovere il radicale sul lato sinistro dell'equazione, eleva al quadrato entrambi i lati dell'equazione.

${\sqrt{\sec (x)}}^{2} = {(- \sqrt{(\tan (x) + 1) (\tan (x) - 1)})}^{2}$

Passaggio 5.2

Semplifica ogni lato dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{\sec (x)}$ come ${\sec (x)}^{\frac{1}{2}}$ .

${({\sec (x)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- \sqrt{(\tan (x) + 1) (\tan (x) - 1)})}^{2}$

Passaggio 5.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.2.1

Semplifica ${({\sec (x)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.2.1.1

Moltiplica gli esponenti in ${({\sec (x)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.2.1.1.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${\sec (x)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(- \sqrt{(\tan (x) + 1) (\tan (x) - 1)})}^{2}$

Passaggio 5.2.2.1.1.2

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.2.1.1.2.1

Elimina il fattore comune.

${\sec (x)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(- \sqrt{(\tan (x) + 1) (\tan (x) - 1)})}^{2}$

Passaggio 5.2.2.1.1.2.2

Riscrivi l'espressione.

$\sec^{1} (x) = {(- \sqrt{(\tan (x) + 1) (\tan (x) - 1)})}^{2}$

Passaggio 5.2.2.1.2

Semplifica.

$\sec (x) = {(- \sqrt{(\tan (x) + 1) (\tan (x) - 1)})}^{2}$

Passaggio 5.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.3.1

Semplifica ${(- \sqrt{(\tan (x) + 1) (\tan (x) - 1)})}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.3.1.1

Semplifica cancellando l'esponente con il radicale.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.3.1.1.1

Applica la regola del prodotto a $- \sqrt{(\tan (x) + 1) (\tan (x) - 1)}$ .

$\sec (x) = {(- 1)}^{2} {\sqrt{(\tan (x) + 1) (\tan (x) - 1)}}^{2}$

Passaggio 5.2.3.1.1.2

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.3.1.1.2.1

Eleva $- 1$ alla potenza di $2$ .

$\sec (x) = 1 {\sqrt{(\tan (x) + 1) (\tan (x) - 1)}}^{2}$

Passaggio 5.2.3.1.1.2.2

Moltiplica ${\sqrt{(\tan (x) + 1) (\tan (x) - 1)}}^{2}$ per $1$ .

$\sec (x) = {\sqrt{(\tan (x) + 1) (\tan (x) - 1)}}^{2}$

Passaggio 5.2.3.1.1.3

Riscrivi ${\sqrt{(\tan (x) + 1) (\tan (x) - 1)}}^{2}$ come $(\tan (x) + 1) (\tan (x) - 1)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.3.1.1.3.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{(\tan (x) + 1) (\tan (x) - 1)}$ come ${((\tan (x) + 1) (\tan (x) - 1))}^{\frac{1}{2}}$ .

$\sec (x) = {({((\tan (x) + 1) (\tan (x) - 1))}^{\frac{1}{2}})}^{2}$

Passaggio 5.2.3.1.1.3.2

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sec (x) = {((\tan (x) + 1) (\tan (x) - 1))}^{\frac{1}{2} \cdot 2}$

Passaggio 5.2.3.1.1.3.3

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\sec (x) = {((\tan (x) + 1) (\tan (x) - 1))}^{\frac{2}{2}}$

Passaggio 5.2.3.1.1.3.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.3.1.1.3.4.1

Elimina il fattore comune.

$\sec (x) = {((\tan (x) + 1) (\tan (x) - 1))}^{\frac{2}{2}}$

Passaggio 5.2.3.1.1.3.4.2

Riscrivi l'espressione.

$\sec (x) = {((\tan (x) + 1) (\tan (x) - 1))}^{1}$

Passaggio 5.2.3.1.1.3.5

Semplifica.

$\sec (x) = (\tan (x) + 1) (\tan (x) - 1)$

Passaggio 5.2.3.1.2

Espandi $(\tan (x) + 1) (\tan (x) - 1)$ usando il metodo FOIL.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.3.1.2.1

Applica la proprietà distributiva.

$\sec (x) = \tan (x) (\tan (x) - 1) + 1 (\tan (x) - 1)$

Passaggio 5.2.3.1.2.2

Applica la proprietà distributiva.

$\sec (x) = \tan (x) \tan (x) + \tan (x) \cdot - 1 + 1 (\tan (x) - 1)$

Passaggio 5.2.3.1.2.3

Applica la proprietà distributiva.

$\sec (x) = \tan (x) \tan (x) + \tan (x) \cdot - 1 + 1 \tan (x) + 1 \cdot - 1$

Passaggio 5.2.3.1.3

Semplifica e combina i termini simili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.3.1.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.3.1.3.1.1

Moltiplica $\tan (x) \tan (x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.3.1.3.1.1.1

Eleva $\tan (x)$ alla potenza di $1$ .

$\sec (x) = \tan^{1} (x) \tan (x) + \tan (x) \cdot - 1 + 1 \tan (x) + 1 \cdot - 1$

Passaggio 5.2.3.1.3.1.1.2

Eleva $\tan (x)$ alla potenza di $1$ .

$\sec (x) = \tan^{1} (x) \tan^{1} (x) + \tan (x) \cdot - 1 + 1 \tan (x) + 1 \cdot - 1$

Passaggio 5.2.3.1.3.1.1.3

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\sec (x) = {\tan (x)}^{1 + 1} + \tan (x) \cdot - 1 + 1 \tan (x) + 1 \cdot - 1$

Passaggio 5.2.3.1.3.1.1.4

Somma $1$ e $1$ .

$\sec (x) = \tan^{2} (x) + \tan (x) \cdot - 1 + 1 \tan (x) + 1 \cdot - 1$

Passaggio 5.2.3.1.3.1.2

Sposta $- 1$ alla sinistra di $\tan (x)$ .

$\sec (x) = \tan^{2} (x) - 1 \cdot \tan (x) + 1 \tan (x) + 1 \cdot - 1$

Passaggio 5.2.3.1.3.1.3

Riscrivi $- 1 \tan (x)$ come $- \tan (x)$ .

$\sec (x) = \tan^{2} (x) - \tan (x) + 1 \tan (x) + 1 \cdot - 1$

Passaggio 5.2.3.1.3.1.4

Moltiplica $\tan (x)$ per $1$ .

$\sec (x) = \tan^{2} (x) - \tan (x) + \tan (x) + 1 \cdot - 1$

Passaggio 5.2.3.1.3.1.5

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$\sec (x) = \tan^{2} (x) - \tan (x) + \tan (x) - 1$

Passaggio 5.2.3.1.3.2

Somma $- \tan (x)$ e $\tan (x)$ .

$\sec (x) = \tan^{2} (x) + 0 - 1$

Passaggio 5.2.3.1.3.3

Somma $\tan^{2} (x)$ e $0$ .

$\sec (x) = \tan^{2} (x) - 1$

Passaggio 5.3

Risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1

Sottrai $\tan^{2} (x)$ da entrambi i lati dell'equazione.

$\sec (x) - \tan^{2} (x) = - 1$

Passaggio 5.3.2

Sostituisci $- \tan^{2} (x)$ con $- (\sec^{2} (x) - 1)$ in base all'identità $\tan^{2} (x) + 1 = \sec^{2} (x)$ .

$\sec (x) - (\sec^{2} (x) - 1) = - 1$

Passaggio 5.3.3

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.3.1

Applica la proprietà distributiva.

$\sec (x) - \sec^{2} (x) + 1 = - 1$

Passaggio 5.3.3.2

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$\sec (x) - \sec^{2} (x) + 1 = - 1$

Passaggio 5.3.4

Riordina il polinomio.

$- \sec^{2} (x) + \sec (x) + 1 = - 1$

Passaggio 5.3.5

Sostituisci $u$ a $\sec (x)$ .

$- {(u)}^{2} + u + 1 = - 1$

Passaggio 5.3.6

Somma $1$ a entrambi i lati dell'equazione.

$- u^{2} + u + 1 + 1 = 0$

Passaggio 5.3.7

Somma $1$ e $1$ .

$- u^{2} + u + 2 = 0$

Passaggio 5.3.8

Scomponi il primo membro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.8.1

Scomponi $- 1$ da $- u^{2} + u + 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.8.1.1

Scomponi $- 1$ da $- u^{2}$ .

$- u^{2} + u + 2 = 0$

Passaggio 5.3.8.1.2

Scomponi $- 1$ da $u$ .

$- u^{2} - 1 (- u) + 2 = 0$

Passaggio 5.3.8.1.3

Riscrivi $2$ come $- 1 (- 2)$ .

$- u^{2} - 1 (- u) - 1 \cdot - 2 = 0$

Passaggio 5.3.8.1.4

Scomponi $- 1$ da $- u^{2} - 1 (- u)$ .

$- (u^{2} - u) - 1 \cdot - 2 = 0$

Passaggio 5.3.8.1.5

Scomponi $- 1$ da $- (u^{2} - u) - 1 (- 2)$ .

$- (u^{2} - u - 2) = 0$

Passaggio 5.3.8.2

Scomponi.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.8.2.1

Scomponi $u^{2} - u - 2$ usando il metodo AC.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.8.2.1.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Trova una coppia di interi il cui prodotto è $c$ e la cui formula è $b$ . In questo caso, il cui prodotto è $- 2$ e la cui somma è $- 1$ .

$- 2, 1$

Passaggio 5.3.8.2.1.2

Scrivi la forma fattorizzata usando questi interi.

$- ((u - 2) (u + 1)) = 0$

Passaggio 5.3.8.2.2

Rimuovi le parentesi non necessarie.

$- (u - 2) (u + 1) = 0$

Passaggio 5.3.9

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$u - 2 = 0$

$u + 1 = 0$

Passaggio 5.3.10

Imposta $u - 2$ uguale a $0$ e risolvi per $u$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.10.1

Imposta $u - 2$ uguale a $0$ .

$u - 2 = 0$

Passaggio 5.3.10.2

Somma $2$ a entrambi i lati dell'equazione.

$u = 2$

Passaggio 5.3.11

Imposta $u + 1$ uguale a $0$ e risolvi per $u$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.11.1

Imposta $u + 1$ uguale a $0$ .

$u + 1 = 0$

Passaggio 5.3.11.2

Sottrai $1$ da entrambi i lati dell'equazione.

$u = - 1$

Passaggio 5.3.12

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $- (u - 2) (u + 1) = 0$ vera.

$u = 2, - 1$

Passaggio 5.3.13

Sostituisci $\sec (x)$ a $u$ .

$\sec (x) = 2, - 1$

Passaggio 5.3.14

Imposta ognuna delle soluzioni per risolvere per $x$ .

$\sec (x) = 2$

$\sec (x) = - 1$

Passaggio 5.3.15

Risolvi per $x$ in $\sec (x) = 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.15.1

Calcola la secante inversa di entrambi i lati dell'equazione per estrarre $x$ dall'interno della secante.

$x = arcsec (2)$

Passaggio 5.3.15.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.15.2.1

Il valore esatto di $arcsec (2)$ è $\frac{π}{3}$ .

$x = \frac{π}{3}$

Passaggio 5.3.15.3

La funzione secante è positiva nel primo e nel quarto quadrante. Per trovare la seconda soluzione, sottrai l'angolo di riferimento da $2 π$ per trovare la soluzione nel quarto quadrante.

$x = 2 π - \frac{π}{3}$

Passaggio 5.3.15.4

Semplifica $2 π - \frac{π}{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.15.4.1

Per scrivere $2 π$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{3}{3}$ .

$x = 2 π \cdot \frac{3}{3} - \frac{π}{3}$

Passaggio 5.3.15.4.2

Riduci le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.15.4.2.1

$2 π$ e $\frac{3}{3}$ .

$x = \frac{2 π \cdot 3}{3} - \frac{π}{3}$

Passaggio 5.3.15.4.2.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$x = \frac{2 π \cdot 3 - π}{3}$

Passaggio 5.3.15.4.3

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.15.4.3.1

Moltiplica $3$ per $2$ .

$x = \frac{6 π - π}{3}$

Passaggio 5.3.15.4.3.2

Sottrai $π$ da $6 π$ .

$x = \frac{5 π}{3}$

Passaggio 5.3.15.5

Trova il periodo di $\sec (x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.15.5.1

Si può calcolare il periodo della funzione usando $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Passaggio 5.3.15.5.2

Sostituisci $b$ con $1$ nella formula per il periodo.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Passaggio 5.3.15.5.3

Il valore assoluto è la distanza tra un numero e zero. La distanza tra $0$ e $1$ è $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Passaggio 5.3.15.5.4

Dividi $2 π$ per $1$ .

$2 π$

Passaggio 5.3.15.6

Il periodo della funzione $\sec (x)$ è $2 π$ , quindi i valori si ripetono ogni $2 π$ radianti in entrambe le direzioni.

$x = \frac{π}{3} + 2 π n, \frac{5 π}{3} + 2 π n$ , per qualsiasi intero $n$

Passaggio 5.3.16

Risolvi per $x$ in $\sec (x) = - 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.16.1

Calcola la secante inversa di entrambi i lati dell'equazione per estrarre $x$ dall'interno della secante.

$x = arcsec (- 1)$

Passaggio 5.3.16.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.16.2.1

Il valore esatto di $arcsec (- 1)$ è $π$ .

$x = π$

Passaggio 5.3.16.3

La funzione secante è negativa nel secondo e nel terzo quadrante. Per trovare la seconda soluzione, sottrai l'angolo di riferimento da $2 π$ per trovare la soluzione nel terzo quadrante.

$x = 2 π - π$

Passaggio 5.3.16.4

Sottrai $π$ da $2 π$ .

$x = π$

Passaggio 5.3.16.5

Trova il periodo di $\sec (x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.16.5.1

Si può calcolare il periodo della funzione usando $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Passaggio 5.3.16.5.2

Sostituisci $b$ con $1$ nella formula per il periodo.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Passaggio 5.3.16.5.3

Il valore assoluto è la distanza tra un numero e zero. La distanza tra $0$ e $1$ è $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Passaggio 5.3.16.5.4

Dividi $2 π$ per $1$ .

$2 π$

Passaggio 5.3.16.6

Il periodo della funzione $\sec (x)$ è $2 π$ , quindi i valori si ripetono ogni $2 π$ radianti in entrambe le direzioni.

$x = π + 2 π n$ , per qualsiasi intero $n$

Passaggio 5.3.17

Elenca tutte le soluzioni.

$x = \frac{π}{3} + 2 π n, \frac{5 π}{3} + 2 π n, π + 2 π n$ , per qualsiasi intero $n$

Passaggio 5.3.18

Consolida le risposte.

$x = \frac{π}{3} + \frac{2 π n}{3}$ , per qualsiasi intero $n$

Passaggio 6

Elenca tutte le soluzioni.

$x = \frac{π}{3} + \frac{2 π n}{3}, \frac{π}{3} + \frac{2 π n}{3}$ , per qualsiasi intero $n$

Passaggio 7

Escludi le soluzioni che non rendono $(\tan (x) + \sqrt{\sec (x)}) (\tan (x) - \sqrt{\sec (x)}) = 1$ vera.

$x = \frac{π}{3} + 2 π n, \frac{π}{3} + 2 π n, \frac{5 π}{3} + 2 π n, \frac{5 π}{3} + 2 π n$ , per qualsiasi intero $n$