Algebra Esempi

$\frac{x}{x + 3} - \frac{3}{3 - x} > \frac{x + 9}{x^{2} - 9}$

Passaggio 1

Sottrai $\frac{x + 9}{x^{2} - 9}$ da entrambi i lati della diseguaglianza.

$\frac{x}{x + 3} - \frac{3}{3 - x} - \frac{x + 9}{x^{2} - 9} > 0$

Passaggio 2

Semplifica $\frac{x}{x + 3} - \frac{3}{3 - x} - \frac{x + 9}{x^{2} - 9}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1

Riscrivi $9$ come $3^{2}$ .

$\frac{x}{x + 3} - \frac{3}{3 - x} - \frac{x + 9}{x^{2} - 3^{2}} > 0$

Passaggio 2.1.2

Poiché entrambi i termini sono dei quadrati perfetti, fattorizza usando la formula della differenza di quadrati, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ dove $a = x$ e $b = 3$ .

$\frac{x}{x + 3} - \frac{3}{3 - x} - \frac{x + 9}{(x + 3) (x - 3)} > 0$

Passaggio 2.2

Per scrivere $\frac{x}{x + 3}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{3 - x}{3 - x}$ .

$\frac{x}{x + 3} \cdot \frac{3 - x}{3 - x} - \frac{3}{3 - x} - \frac{x + 9}{(x + 3) (x - 3)} > 0$

Passaggio 2.3

Per scrivere $- \frac{3}{3 - x}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{x + 3}{x + 3}$ .

$\frac{x}{x + 3} \cdot \frac{3 - x}{3 - x} - \frac{3}{3 - x} \cdot \frac{x + 3}{x + 3} - \frac{x + 9}{(x + 3) (x - 3)} > 0$

Passaggio 2.4

Scrivi ogni espressione con un comune denominatore di $(x + 3) (3 - x)$ , moltiplicando ciascuna per il fattore appropriato di $1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.1

Moltiplica $\frac{x}{x + 3}$ per $\frac{3 - x}{3 - x}$ .

$\frac{x (3 - x)}{(x + 3) (3 - x)} - \frac{3}{3 - x} \cdot \frac{x + 3}{x + 3} - \frac{x + 9}{(x + 3) (x - 3)} > 0$

Passaggio 2.4.2

Moltiplica $\frac{3}{3 - x}$ per $\frac{x + 3}{x + 3}$ .

$\frac{x (3 - x)}{(x + 3) (3 - x)} - \frac{3 (x + 3)}{(3 - x) (x + 3)} - \frac{x + 9}{(x + 3) (x - 3)} > 0$

Passaggio 2.4.3

Riordina i fattori di $(x + 3) (3 - x)$ .

$\frac{x (3 - x)}{(3 - x) (x + 3)} - \frac{3 (x + 3)}{(3 - x) (x + 3)} - \frac{x + 9}{(x + 3) (x - 3)} > 0$

Passaggio 2.5

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{x (3 - x) - 3 (x + 3)}{(3 - x) (x + 3)} - \frac{x + 9}{(x + 3) (x - 3)} > 0$

Passaggio 2.6

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.6.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{x \cdot 3 + x (- x) - 3 (x + 3)}{(3 - x) (x + 3)} - \frac{x + 9}{(x + 3) (x - 3)} > 0$

Passaggio 2.6.2

Sposta $3$ alla sinistra di $x$ .

$\frac{3 \cdot x + x (- x) - 3 (x + 3)}{(3 - x) (x + 3)} - \frac{x + 9}{(x + 3) (x - 3)} > 0$

Passaggio 2.6.3

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$\frac{3 \cdot x - x \cdot x - 3 (x + 3)}{(3 - x) (x + 3)} - \frac{x + 9}{(x + 3) (x - 3)} > 0$

Passaggio 2.6.4

Moltiplica $x$ per $x$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.6.4.1

Sposta $x$ .

$\frac{3 x - (x \cdot x) - 3 (x + 3)}{(3 - x) (x + 3)} - \frac{x + 9}{(x + 3) (x - 3)} > 0$

Passaggio 2.6.4.2

Moltiplica $x$ per $x$ .

$\frac{3 x - x^{2} - 3 (x + 3)}{(3 - x) (x + 3)} - \frac{x + 9}{(x + 3) (x - 3)} > 0$

Passaggio 2.6.5

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{3 x - x^{2} - 3 x - 3 \cdot 3}{(3 - x) (x + 3)} - \frac{x + 9}{(x + 3) (x - 3)} > 0$

Passaggio 2.6.6

Moltiplica $- 3$ per $3$ .

$\frac{3 x - x^{2} - 3 x - 9}{(3 - x) (x + 3)} - \frac{x + 9}{(x + 3) (x - 3)} > 0$

Passaggio 2.6.7

Sottrai $3 x$ da $3 x$ .

$\frac{- x^{2} + 0 - 9}{(3 - x) (x + 3)} - \frac{x + 9}{(x + 3) (x - 3)} > 0$

Passaggio 2.6.8

Somma $- x^{2}$ e $0$ .

$\frac{- x^{2} - 9}{(3 - x) (x + 3)} - \frac{x + 9}{(x + 3) (x - 3)} > 0$

Passaggio 2.7

Scomponi $- 1$ da $x$ .

$\frac{- x^{2} - 9}{(3 - x) (x + 3)} - \frac{x + 9}{(x + 3) (- 1 (- x) - 3)} > 0$

Passaggio 2.8

Riscrivi $- 3$ come $- 1 (3)$ .

$\frac{- x^{2} - 9}{(3 - x) (x + 3)} - \frac{x + 9}{(x + 3) (- 1 (- x) - 1 (3))} > 0$

Passaggio 2.9

Scomponi $- 1$ da $- 1 (- x) - 1 (3)$ .

$\frac{- x^{2} - 9}{(3 - x) (x + 3)} - \frac{x + 9}{(x + 3) (- 1 (- x + 3))} > 0$

Passaggio 2.10

Riordina i termini.

$\frac{- x^{2} - 9}{(- x + 3) (x + 3)} - \frac{x + 9}{(x + 3) (- 1 (- x + 3))} > 0$

Passaggio 2.11

Per scrivere $\frac{- x^{2} - 9}{(- x + 3) (x + 3)}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{- 1}{- 1}$ .

$\frac{- x^{2} - 9}{(- x + 3) (x + 3)} \cdot \frac{- 1}{- 1} - \frac{x + 9}{(x + 3) (- 1 (- x + 3))} > 0$

Passaggio 2.12

Scrivi ogni espressione con un comune denominatore di $(- x + 3) (x + 3) \cdot - 1$ , moltiplicando ciascuna per il fattore appropriato di $1$ .

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Passaggio 2.12.1

Moltiplica $\frac{- x^{2} - 9}{(- x + 3) (x + 3)}$ per $\frac{- 1}{- 1}$ .

$\frac{(- x^{2} - 9) \cdot - 1}{(- x + 3) (x + 3) \cdot - 1} - \frac{x + 9}{(x + 3) (- 1 (- x + 3))} > 0$

Passaggio 2.12.2

Riordina i fattori di $(- x + 3) (x + 3) \cdot - 1$ .

$\frac{(- x^{2} - 9) \cdot - 1}{- (- x + 3) (x + 3)} - \frac{x + 9}{(x + 3) (- 1 (- x + 3))} > 0$

Passaggio 2.12.3

Riordina i fattori di $(x + 3) (- 1 (- x + 3))$ .

$\frac{(- x^{2} - 9) \cdot - 1}{- (- x + 3) (x + 3)} - \frac{x + 9}{- (- x + 3) (x + 3)} > 0$

Passaggio 2.13

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{(- x^{2} - 9) \cdot - 1 - (x + 9)}{- (- x + 3) (x + 3)} > 0$

Passaggio 2.14

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.14.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{- x^{2} \cdot - 1 - 9 \cdot - 1 - (x + 9)}{- (- x + 3) (x + 3)} > 0$

Passaggio 2.14.2

Moltiplica $- x^{2} \cdot - 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.14.2.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$\frac{1 x^{2} - 9 \cdot - 1 - (x + 9)}{- (- x + 3) (x + 3)} > 0$

Passaggio 2.14.2.2

Moltiplica $x^{2}$ per $1$ .

$\frac{x^{2} - 9 \cdot - 1 - (x + 9)}{- (- x + 3) (x + 3)} > 0$

Passaggio 2.14.3

Moltiplica $- 9$ per $- 1$ .

$\frac{x^{2} + 9 - (x + 9)}{- (- x + 3) (x + 3)} > 0$

Passaggio 2.14.4

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{x^{2} + 9 - x - 1 \cdot 9}{- (- x + 3) (x + 3)} > 0$

Passaggio 2.14.5

Moltiplica $- 1$ per $9$ .

$\frac{x^{2} + 9 - x - 9}{- (- x + 3) (x + 3)} > 0$

Passaggio 2.14.6

Sottrai $9$ da $9$ .

$\frac{x^{2} - x + 0}{- (- x + 3) (x + 3)} > 0$

Passaggio 2.14.7

Somma $x^{2} - x$ e $0$ .

$\frac{x^{2} - x}{- (- x + 3) (x + 3)} > 0$

Passaggio 2.14.8

Scomponi $x$ da $x^{2} - x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.14.8.1

Scomponi $x$ da $x^{2}$ .

$\frac{x \cdot x - x}{- (- x + 3) (x + 3)} > 0$

Passaggio 2.14.8.2

Scomponi $x$ da $- x$ .

$\frac{x \cdot x + x \cdot - 1}{- (- x + 3) (x + 3)} > 0$

Passaggio 2.14.8.3

Scomponi $x$ da $x \cdot x + x \cdot - 1$ .

$\frac{x (x - 1)}{- (- x + 3) (x + 3)} > 0$

Passaggio 2.15

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{x (x - 1)}{(- x + 3) (x + 3)} > 0$

Passaggio 2.16

Scomponi $- 1$ da $- x$ .

$- \frac{x (x - 1)}{(- (x) + 3) (x + 3)} > 0$

Passaggio 2.17

Riscrivi $3$ come $- 1 (- 3)$ .

$- \frac{x (x - 1)}{(- (x) - 1 (- 3)) (x + 3)} > 0$

Passaggio 2.18

Scomponi $- 1$ da $- (x) - 1 (- 3)$ .

$- \frac{x (x - 1)}{- (x - 3) (x + 3)} > 0$

Passaggio 2.19

Riscrivi $- (x - 3)$ come $- 1 (x - 3)$ .

$- \frac{x (x - 1)}{- 1 (x - 3) (x + 3)} > 0$

Passaggio 2.20

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- - \frac{x (x - 1)}{(x - 3) (x + 3)} > 0$

Passaggio 2.21

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$1 \frac{x (x - 1)}{(x - 3) (x + 3)} > 0$

Passaggio 2.22

Moltiplica $\frac{x (x - 1)}{(x - 3) (x + 3)}$ per $1$ .

$\frac{x (x - 1)}{(x - 3) (x + 3)} > 0$

Passaggio 3

Trova tutti i valori in cui l'espressione passa da negativa a positiva ponendo ciascun fattore uguale a $0$ e risolvendo.

$x = 0$

$x - 1 = 0$

$x - 3 = 0$

$x + 3 = 0$

Passaggio 4

Somma $1$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x = 1$

Passaggio 5

Somma $3$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x = 3$

Passaggio 6

Sottrai $3$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x = - 3$

Passaggio 7

Risolvi per ogni fattore per trovare i valori in cui l'espressione con valore assoluto passa da negativa a positiva.

$x = 0$

$x = 1$

$x = 3$

$x = - 3$

Passaggio 8

Consolida le soluzioni.

$x = 0, 1, 3, - 3$

Passaggio 9

Trova il dominio di $\frac{x (x - 1)}{(x - 3) (x + 3)}$ .

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Passaggio 9.1

Imposta il denominatore in $\frac{x (x - 1)}{(x - 3) (x + 3)}$ in modo che sia uguale a $0$ per individuare dove l'espressione è indefinita.

$(x - 3) (x + 3) = 0$

Passaggio 9.2

Risolvi per $x$ .

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Passaggio 9.2.1

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$x - 3 = 0$

$x + 3 = 0$

Passaggio 9.2.2

Imposta $x - 3$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.2.2.1

Imposta $x - 3$ uguale a $0$ .

$x - 3 = 0$

Passaggio 9.2.2.2

Somma $3$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x = 3$

Passaggio 9.2.3

Imposta $x + 3$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.2.3.1

Imposta $x + 3$ uguale a $0$ .

$x + 3 = 0$

Passaggio 9.2.3.2

Sottrai $3$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x = - 3$

Passaggio 9.2.4

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $(x - 3) (x + 3) = 0$ vera.

$x = 3, - 3$

Passaggio 9.3

Il dominio è formato da tutti i valori di $x$ che rendono definita l'espressione.

$(- \infty, - 3) \cup (- 3, 3) \cup (3, \infty)$

Passaggio 10

Usa ogni radice per creare gli intervalli di prova.

$x < - 3$

$- 3 < x < 0$

$0 < x < 1$

$1 < x < 3$

$x > 3$

Passaggio 11

Scegli un valore di test da ciascun intervallo e sostituiscilo nella diseguaglianza originale per determinare quali intervalli sono soddisfatti dalla diseguaglianza.

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Passaggio 11.1

Testa un valore sull'intervallo $x < - 3$ per verificare se rende vera la diseguaglianza.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.1.1

Scegli un valore sull'intervallo $x < - 3$ e verifica se soddisfa la diseguaglianza originale.

$x = - 6$

Passaggio 11.1.2

Sostituisci $x$ con $- 6$ nella diseguaglianza originale.

$\frac{- 6}{(- 6) + 3} - \frac{3}{3 - (- 6)} > \frac{(- 6) + 9}{{(- 6)}^{2} - 9}$

Passaggio 11.1.3

Il lato sinistro di $1.\overline{6}$ è maggiore del lato destro di $0.\overline{1}$ ; ciò significa che l'affermazione data è sempre vera.

Vero

Passaggio 11.2

Testa un valore sull'intervallo $- 3 < x < 0$ per verificare se rende vera la diseguaglianza.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.1

Scegli un valore sull'intervallo $- 3 < x < 0$ e verifica se soddisfa la diseguaglianza originale.

$x = - 2$

Passaggio 11.2.2

Sostituisci $x$ con $- 2$ nella diseguaglianza originale.

$\frac{- 2}{(- 2) + 3} - \frac{3}{3 - (- 2)} > \frac{(- 2) + 9}{{(- 2)}^{2} - 9}$

Passaggio 11.2.3

Il lato sinistro di $- 2.6$ non è maggiore del lato destro di $- 1.4$ ; ciò significa che l'affermazione data è falsa.

Falso

Passaggio 11.3

Testa un valore sull'intervallo $0 < x < 1$ per verificare se rende vera la diseguaglianza.

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Passaggio 11.3.1

Scegli un valore sull'intervallo $0 < x < 1$ e verifica se soddisfa la diseguaglianza originale.

$x = 0.5$

Passaggio 11.3.2

Sostituisci $x$ con $0.5$ nella diseguaglianza originale.

$\frac{0.5}{(0.5) + 3} - \frac{3}{3 - (0.5)} > \frac{(0.5) + 9}{{(0.5)}^{2} - 9}$

Passaggio 11.3.3

Il lato sinistro di $- 1.0\overline{571428}$ è maggiore del lato destro di $- 1.0\overline{857142}$ ; ciò significa che l'affermazione data è sempre vera.

Vero

Passaggio 11.4

Testa un valore sull'intervallo $1 < x < 3$ per verificare se rende vera la diseguaglianza.

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Passaggio 11.4.1

Scegli un valore sull'intervallo $1 < x < 3$ e verifica se soddisfa la diseguaglianza originale.

$x = 2$

Passaggio 11.4.2

Sostituisci $x$ con $2$ nella diseguaglianza originale.

$\frac{2}{(2) + 3} - \frac{3}{3 - (2)} > \frac{(2) + 9}{{(2)}^{2} - 9}$

Passaggio 11.4.3

Il lato sinistro di $- 2.6$ non è maggiore del lato destro di $- 2.2$ ; ciò significa che l'affermazione data è falsa.

Falso

Passaggio 11.5

Testa un valore sull'intervallo $x > 3$ per verificare se rende vera la diseguaglianza.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.5.1

Scegli un valore sull'intervallo $x > 3$ e verifica se soddisfa la diseguaglianza originale.

$x = 6$

Passaggio 11.5.2

Sostituisci $x$ con $6$ nella diseguaglianza originale.

$\frac{6}{(6) + 3} - \frac{3}{3 - (6)} > \frac{(6) + 9}{{(6)}^{2} - 9}$

Passaggio 11.5.3

Il lato sinistro di $1.\overline{6}$ è maggiore del lato destro di $0.\overline{5}$ ; ciò significa che l'affermazione data è sempre vera.

Vero

Passaggio 11.6

Confronta gli intervalli per determinare quali soddisfano la diseguaglianza originale.

$x < - 3$ Vero

$- 3 < x < 0$ Falso

$0 < x < 1$ Vero

$1 < x < 3$ Falso

$x > 3$ Vero

$x < - 3$ Vero

$- 3 < x < 0$ Falso

$0 < x < 1$ Vero

$1 < x < 3$ Falso

$x > 3$ Vero

Passaggio 12

La soluzione è costituita da tutti gli intervalli veri.

$x < - 3$ o $0 < x < 1$ o $x > 3$

Passaggio 13

Il risultato può essere mostrato in più forme.

Forma della diseguaglianza:

$x < - 3 or 0 < x < 1 or x > 3$

Notazione degli intervalli:

$(- \infty, - 3) \cup (0, 1) \cup (3, \infty)$

Passaggio 14