Algebra Esempi

$\sqrt{x^{2} - 4} \leq 3 - x$

Passaggio 1

Per rimuovere il radicale del lato sinistro della diseguaglianza, eleva al quadrato entrambi i lati della diseguaglianza.

${\sqrt{x^{2} - 4}}^{2} \leq {(3 - x)}^{2}$

Passaggio 2

Semplifica ogni lato della diseguaglianza.

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Passaggio 2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{x^{2} - 4}$ come ${(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}})}^{2} \leq {(3 - x)}^{2}$

Passaggio 2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Semplifica ${({(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1.1

Moltiplica gli esponenti in ${({(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Passaggio 2.2.1.1.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} \leq {(3 - x)}^{2}$

Passaggio 2.2.1.1.2

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1.1.2.1

Elimina il fattore comune.

${(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} \leq {(3 - x)}^{2}$

Passaggio 2.2.1.1.2.2

Riscrivi l'espressione.

${(x^{2} - 4)}^{1} \leq {(3 - x)}^{2}$

Passaggio 2.2.1.2

Semplifica.

$x^{2} - 4 \leq {(3 - x)}^{2}$

Passaggio 2.3

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 2.3.1

Semplifica ${(3 - x)}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1.1

Riscrivi ${(3 - x)}^{2}$ come $(3 - x) (3 - x)$ .

$x^{2} - 4 \leq (3 - x) (3 - x)$

Passaggio 2.3.1.2

Espandi $(3 - x) (3 - x)$ usando il metodo FOIL.

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Passaggio 2.3.1.2.1

Applica la proprietà distributiva.

$x^{2} - 4 \leq 3 (3 - x) - x (3 - x)$

Passaggio 2.3.1.2.2

Applica la proprietà distributiva.

$x^{2} - 4 \leq 3 \cdot 3 + 3 (- x) - x (3 - x)$

Passaggio 2.3.1.2.3

Applica la proprietà distributiva.

$x^{2} - 4 \leq 3 \cdot 3 + 3 (- x) - x \cdot 3 - x (- x)$

Passaggio 2.3.1.3

Semplifica e combina i termini simili.

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Passaggio 2.3.1.3.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 2.3.1.3.1.1

Moltiplica $3$ per $3$ .

$x^{2} - 4 \leq 9 + 3 (- x) - x \cdot 3 - x (- x)$

Passaggio 2.3.1.3.1.2

Moltiplica $- 1$ per $3$ .

$x^{2} - 4 \leq 9 - 3 x - x \cdot 3 - x (- x)$

Passaggio 2.3.1.3.1.3

Moltiplica $3$ per $- 1$ .

$x^{2} - 4 \leq 9 - 3 x - 3 x - x (- x)$

Passaggio 2.3.1.3.1.4

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$x^{2} - 4 \leq 9 - 3 x - 3 x - 1 \cdot - 1 x \cdot x$

Passaggio 2.3.1.3.1.5

Moltiplica $x$ per $x$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 2.3.1.3.1.5.1

Sposta $x$ .

$x^{2} - 4 \leq 9 - 3 x - 3 x - 1 \cdot - 1 (x \cdot x)$

Passaggio 2.3.1.3.1.5.2

Moltiplica $x$ per $x$ .

$x^{2} - 4 \leq 9 - 3 x - 3 x - 1 \cdot - 1 x^{2}$

Passaggio 2.3.1.3.1.6

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$x^{2} - 4 \leq 9 - 3 x - 3 x + 1 x^{2}$

Passaggio 2.3.1.3.1.7

Moltiplica $x^{2}$ per $1$ .

$x^{2} - 4 \leq 9 - 3 x - 3 x + x^{2}$

Passaggio 2.3.1.3.2

Sottrai $3 x$ da $- 3 x$ .

$x^{2} - 4 \leq 9 - 6 x + x^{2}$

Passaggio 3

Risolvi per $x$ .

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Passaggio 3.1

Riscrivi in modo che $x$ sia sul lato sinistro della diseguaglianza.

$9 - 6 x + x^{2} \geq x^{2} - 4$

Passaggio 3.2

Sposta tutti i termini contenenti $x$ sul lato sinistro della diseguaglianza.

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Passaggio 3.2.1

Sottrai $x^{2}$ da entrambi i lati della diseguaglianza.

$9 - 6 x + x^{2} - x^{2} \geq - 4$

Passaggio 3.2.2

Combina i termini opposti in $9 - 6 x + x^{2} - x^{2}$ .

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Passaggio 3.2.2.1

Sottrai $x^{2}$ da $x^{2}$ .

$9 - 6 x + 0 \geq - 4$

Passaggio 3.2.2.2

Somma $9 - 6 x$ e $0$ .

$9 - 6 x \geq - 4$

Passaggio 3.3

Sposta tutti i termini non contenenti $x$ sul lato destro della diseguaglianza.

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Passaggio 3.3.1

Sottrai $9$ da entrambi i lati della diseguaglianza.

$- 6 x \geq - 4 - 9$

Passaggio 3.3.2

Sottrai $9$ da $- 4$ .

$- 6 x \geq - 13$

Passaggio 3.4

Dividi per $- 6$ ciascun termine in $- 6 x \geq - 13$ e semplifica.

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Passaggio 3.4.1

Dividi per $- 6$ ciascun termine in $- 6 x \geq - 13$ . Quando moltiplichi o dividi entrambi i lati di una diseguaglianza per un valore negativo, inverti il verso della diseguaglianza.

$\frac{- 6 x}{- 6} \leq \frac{- 13}{- 6}$

Passaggio 3.4.2

Semplifica il lato sinistro.

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Passaggio 3.4.2.1

Elimina il fattore comune di $- 6$ .

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Passaggio 3.4.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{- 6 x}{- 6} \leq \frac{- 13}{- 6}$

Passaggio 3.4.2.1.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x \leq \frac{- 13}{- 6}$

Passaggio 3.4.3

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 3.4.3.1

Dividendo due valori negativi si ottiene un valore positivo.

$x \leq \frac{13}{6}$

Passaggio 4

Trova il dominio di $\sqrt{(x + 2) (x - 2)} - 3 + x$ .

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Passaggio 4.1

Imposta il radicando in $\sqrt{(x + 2) (x - 2)}$ in modo che sia maggiore o uguale a $0$ per individuare dove l'espressione è definita.

$(x + 2) (x - 2) \geq 0$

Passaggio 4.2

Risolvi per $x$ .

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Passaggio 4.2.1

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$x + 2 = 0$

$x - 2 = 0$

Passaggio 4.2.2

Imposta $x + 2$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

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Passaggio 4.2.2.1

Imposta $x + 2$ uguale a $0$ .

$x + 2 = 0$

Passaggio 4.2.2.2

Sottrai $2$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x = - 2$

Passaggio 4.2.3

Imposta $x - 2$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

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Passaggio 4.2.3.1

Imposta $x - 2$ uguale a $0$ .

$x - 2 = 0$

Passaggio 4.2.3.2

Somma $2$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x = 2$

Passaggio 4.2.4

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $(x + 2) (x - 2) \geq 0$ vera.

$x = - 2, 2$

Passaggio 4.2.5

Usa ogni radice per creare gli intervalli di prova.

$x < - 2$

$- 2 < x < 2$

$x > 2$

Passaggio 4.2.6

Scegli un valore di test da ciascun intervallo e sostituiscilo nella diseguaglianza originale per determinare quali intervalli sono soddisfatti dalla diseguaglianza.

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Passaggio 4.2.6.1

Testa un valore sull'intervallo $x < - 2$ per verificare se rende vera la diseguaglianza.

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Passaggio 4.2.6.1.1

Scegli un valore sull'intervallo $x < - 2$ e verifica se soddisfa la diseguaglianza originale.

$x = - 4$

Passaggio 4.2.6.1.2

Sostituisci $x$ con $- 4$ nella diseguaglianza originale.

$((- 4) + 2) ((- 4) - 2) \geq 0$

Passaggio 4.2.6.1.3

Il lato sinistro di $12$ è maggiore del lato destro di $0$ ; ciò significa che l'affermazione data è sempre vera.

Vero

Passaggio 4.2.6.2

Testa un valore sull'intervallo $- 2 < x < 2$ per verificare se rende vera la diseguaglianza.

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Passaggio 4.2.6.2.1

Scegli un valore sull'intervallo $- 2 < x < 2$ e verifica se soddisfa la diseguaglianza originale.

$x = 0$

Passaggio 4.2.6.2.2

Sostituisci $x$ con $0$ nella diseguaglianza originale.

$((0) + 2) ((0) - 2) \geq 0$

Passaggio 4.2.6.2.3

Il lato sinistro di $- 4$ è minore del lato destro di $0$ ; ciò significa che l'affermazione data è falsa.

Falso

Passaggio 4.2.6.3

Testa un valore sull'intervallo $x > 2$ per verificare se rende vera la diseguaglianza.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.6.3.1

Scegli un valore sull'intervallo $x > 2$ e verifica se soddisfa la diseguaglianza originale.

$x = 4$

Passaggio 4.2.6.3.2

Sostituisci $x$ con $4$ nella diseguaglianza originale.

$((4) + 2) ((4) - 2) \geq 0$

Passaggio 4.2.6.3.3

Il lato sinistro di $12$ è maggiore del lato destro di $0$ ; ciò significa che l'affermazione data è sempre vera.

Vero

Passaggio 4.2.6.4

Confronta gli intervalli per determinare quali soddisfano la diseguaglianza originale.

$x < - 2$ Vero

$- 2 < x < 2$ Falso

$x > 2$ Vero

$x < - 2$ Vero

$- 2 < x < 2$ Falso

$x > 2$ Vero

Passaggio 4.2.7

La soluzione è costituita da tutti gli intervalli veri.

$x \leq - 2$ o $x \geq 2$

Passaggio 4.3

Il dominio è formato da tutti i valori di $x$ che rendono definita l'espressione.

$(- \infty, - 2] \cup [2, \infty)$

Passaggio 5

Usa ogni radice per creare gli intervalli di prova.

$x < - 2$

$- 2 < x < 2$

$2 < x < \frac{13}{6}$

$x > \frac{13}{6}$

Passaggio 6

Scegli un valore di test da ciascun intervallo e sostituiscilo nella diseguaglianza originale per determinare quali intervalli sono soddisfatti dalla diseguaglianza.

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Passaggio 6.1

Testa un valore sull'intervallo $x < - 2$ per verificare se rende vera la diseguaglianza.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.1

Scegli un valore sull'intervallo $x < - 2$ e verifica se soddisfa la diseguaglianza originale.

$x = - 4$

Passaggio 6.1.2

Sostituisci $x$ con $- 4$ nella diseguaglianza originale.

$\sqrt{{(- 4)}^{2} - 4} \leq 3 - (- 4)$

Passaggio 6.1.3

Il lato sinistro di $3.46410161$ è minore del lato destro di $7$ ; ciò significa che l'affermazione data è sempre vera.

Vero

Passaggio 6.2

Testa un valore sull'intervallo $- 2 < x < 2$ per verificare se rende vera la diseguaglianza.

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Passaggio 6.2.1

Scegli un valore sull'intervallo $- 2 < x < 2$ e verifica se soddisfa la diseguaglianza originale.

$x = 0$

Passaggio 6.2.2

Sostituisci $x$ con $0$ nella diseguaglianza originale.

$\sqrt{{(0)}^{2} - 4} \leq 3 - (0)$

Passaggio 6.2.3

Il lato sinistro non è uguale al lato destro, il che significa che l'affermazione è falsa.

Falso

Passaggio 6.3

Testa un valore sull'intervallo $2 < x < \frac{13}{6}$ per verificare se rende vera la diseguaglianza.

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Passaggio 6.3.1

Scegli un valore sull'intervallo $2 < x < \frac{13}{6}$ e verifica se soddisfa la diseguaglianza originale.

$x = 2.08$

Passaggio 6.3.2

Sostituisci $x$ con $2.08$ nella diseguaglianza originale.

$\sqrt{{(2.08)}^{2} - 4} \leq 3 - (2.08)$

Passaggio 6.3.3

Il lato sinistro di $0.57131427$ è minore del lato destro di $0.92$ ; ciò significa che l'affermazione data è sempre vera.

Vero

Passaggio 6.4

Testa un valore sull'intervallo $x > \frac{13}{6}$ per verificare se rende vera la diseguaglianza.

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Passaggio 6.4.1

Scegli un valore sull'intervallo $x > \frac{13}{6}$ e verifica se soddisfa la diseguaglianza originale.

$x = 5$

Passaggio 6.4.2

Sostituisci $x$ con $5$ nella diseguaglianza originale.

$\sqrt{{(5)}^{2} - 4} \leq 3 - (5)$

Passaggio 6.4.3

Il lato sinistro di $4.58257569$ è maggiore del lato destro di $- 2$ ; ciò significa che l'affermazione data è falsa.

Falso

Passaggio 6.5

Confronta gli intervalli per determinare quali soddisfano la diseguaglianza originale.

$x < - 2$ Vero

$- 2 < x < 2$ Falso

$2 < x < \frac{13}{6}$ Vero

$x > \frac{13}{6}$ Falso

$x < - 2$ Vero

$- 2 < x < 2$ Falso

$2 < x < \frac{13}{6}$ Vero

$x > \frac{13}{6}$ Falso

Passaggio 7

La soluzione è costituita da tutti gli intervalli veri.

$x \leq - 2$ o $2 \leq x \leq \frac{13}{6}$

Passaggio 8

Il risultato può essere mostrato in più forme.

Forma della diseguaglianza:

$x \leq - 2 or 2 \leq x \leq \frac{13}{6}$

Notazione degli intervalli:

$(- \infty, - 2] \cup [2, \frac{13}{6}]$

Passaggio 9