Algebra Esempi

$x + \frac{1}{x} \geq 2$

Passaggio 1

Trova il minimo comune denominatore dei termini nell'equazione.

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Passaggio 1.1

Trovare il minimo comune denominatore di una lista di valori è uguale a trovare il minimo comune multiplo dei denominatori di quei valori.

$1, x, 1$

Passaggio 1.2

Il minimo comune multiplo di uno e qualsiasi espressione è l'espressione.

$x$

Passaggio 2

Moltiplica per $x$ ciascun termine in $x + \frac{1}{x} \geq 2$ per eliminare le frazioni.

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Passaggio 2.1

Moltiplica ogni termine in $x + \frac{1}{x} \geq 2$ per $x$ .

$x \cdot x + \frac{1}{x} x \geq 2 x$

Passaggio 2.2

Semplifica il lato sinistro.

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Passaggio 2.2.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 2.2.1.1

Moltiplica $x$ per $x$ .

$x^{2} + \frac{1}{x} x \geq 2 x$

Passaggio 2.2.1.2

Elimina il fattore comune di $x$ .

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Passaggio 2.2.1.2.1

Elimina il fattore comune.

$x^{2} + \frac{1}{x} x \geq 2 x$

Passaggio 2.2.1.2.2

Riscrivi l'espressione.

$x^{2} + 1 \geq 2 x$

Passaggio 3

Risolvi la diseguaglianza.

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Passaggio 3.1

Sottrai $2 x$ da entrambi i lati della diseguaglianza.

$x^{2} + 1 - 2 x \geq 0$

Passaggio 3.2

Converti la diseguaglianza in un'equazione.

$x^{2} + 1 - 2 x = 0$

Passaggio 3.3

Scomponi usando la regola del quadrato perfetto.

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Passaggio 3.3.1

Rimetti in ordine i termini.

$x^{2} - 2 x + 1 = 0$

Passaggio 3.3.2

Riscrivi $1$ come $1^{2}$ .

$x^{2} - 2 x + 1^{2} = 0$

Passaggio 3.3.3

Verifica che il termine centrale sia il doppio del prodotto dei numeri elevati alla seconda potenza nel primo e nel terzo termine.

$2 x = 2 \cdot x \cdot 1$

Passaggio 3.3.4

Riscrivi il polinomio.

$x^{2} - 2 \cdot x \cdot 1 + 1^{2} = 0$

Passaggio 3.3.5

Scomponi usando la regola del trinomio perfetto al quadrato $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , dove $a = x$ e $b = 1$ .

${(x - 1)}^{2} = 0$

Passaggio 3.4

Poni $x - 1$ uguale a $0$ .

$x - 1 = 0$

Passaggio 3.5

Somma $1$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x = 1$

Passaggio 4

Trova il dominio di $x + \frac{1}{x} - 2$ .

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Passaggio 4.1

Imposta il denominatore in $\frac{1}{x}$ in modo che sia uguale a $0$ per individuare dove l'espressione è indefinita.

$x = 0$

Passaggio 4.2

Il dominio è formato da tutti i valori di $x$ che rendono definita l'espressione.

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Passaggio 5

Usa ogni radice per creare gli intervalli di prova.

$x < 0$

$0 < x < 1$

$x > 1$

Passaggio 6

Scegli un valore di test da ciascun intervallo e sostituiscilo nella diseguaglianza originale per determinare quali intervalli sono soddisfatti dalla diseguaglianza.

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Passaggio 6.1

Testa un valore sull'intervallo $x < 0$ per verificare se rende vera la diseguaglianza.

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Passaggio 6.1.1

Scegli un valore sull'intervallo $x < 0$ e verifica se soddisfa la diseguaglianza originale.

$x = - 2$

Passaggio 6.1.2

Sostituisci $x$ con $- 2$ nella diseguaglianza originale.

$(- 2) + \frac{1}{- 2} \geq 2$

Passaggio 6.1.3

Il lato sinistro di $- 2.5$ è minore del lato destro di $2$ ; ciò significa che l'affermazione data è falsa.

Falso

Passaggio 6.2

Testa un valore sull'intervallo $0 < x < 1$ per verificare se rende vera la diseguaglianza.

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Passaggio 6.2.1

Scegli un valore sull'intervallo $0 < x < 1$ e verifica se soddisfa la diseguaglianza originale.

$x = 0.5$

Passaggio 6.2.2

Sostituisci $x$ con $0.5$ nella diseguaglianza originale.

$(0.5) + \frac{1}{0.5} \geq 2$

Passaggio 6.2.3

Il lato sinistro di $2.5$ è maggiore del lato destro di $2$ ; ciò significa che l'affermazione data è sempre vera.

Vero

Passaggio 6.3

Testa un valore sull'intervallo $x > 1$ per verificare se rende vera la diseguaglianza.

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Passaggio 6.3.1

Scegli un valore sull'intervallo $x > 1$ e verifica se soddisfa la diseguaglianza originale.

$x = 4$

Passaggio 6.3.2

Sostituisci $x$ con $4$ nella diseguaglianza originale.

$(4) + \frac{1}{4} \geq 2$

Passaggio 6.3.3

Il lato sinistro di $4.25$ è maggiore del lato destro di $2$ ; ciò significa che l'affermazione data è sempre vera.

Vero

Passaggio 6.4

Confronta gli intervalli per determinare quali soddisfano la diseguaglianza originale.

$x < 0$ Falso

$0 < x < 1$ Vero

$x > 1$ Vero

$x < 0$ Falso

$0 < x < 1$ Vero

$x > 1$ Vero

Passaggio 7

La soluzione è costituita da tutti gli intervalli veri.

$0 < x \leq 1$ o $x \geq 1$

Passaggio 8

Combina gli intervalli.

$x > 0$

Passaggio 9

Il risultato può essere mostrato in più forme.

Forma della diseguaglianza:

$x > 0$

Notazione degli intervalli:

$(0, \infty)$

Passaggio 10