Algebra Esempi

$f (x) < {(x - 1)}^{2} - 1$

Passaggio 1

Risolvi per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Semplifica ${(x - 1)}^{2} - 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.1

Riscrivi ${(x - 1)}^{2}$ come $(x - 1) (x - 1)$ .

$f (x) < (x - 1) (x - 1) - 1$

Passaggio 1.1.1.2

Espandi $(x - 1) (x - 1)$ usando il metodo FOIL.

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Passaggio 1.1.1.2.1

Applica la proprietà distributiva.

$f (x) < x (x - 1) - 1 (x - 1) - 1$

Passaggio 1.1.1.2.2

Applica la proprietà distributiva.

$f (x) < x \cdot x + x \cdot - 1 - 1 (x - 1) - 1$

Passaggio 1.1.1.2.3

Applica la proprietà distributiva.

$f (x) < x \cdot x + x \cdot - 1 - 1 x - 1 \cdot - 1 - 1$

Passaggio 1.1.1.3

Semplifica e combina i termini simili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.3.1.1

Moltiplica $x$ per $x$ .

$f (x) < x^{2} + x \cdot - 1 - 1 x - 1 \cdot - 1 - 1$

Passaggio 1.1.1.3.1.2

Sposta $- 1$ alla sinistra di $x$ .

$f (x) < x^{2} - 1 \cdot x - 1 x - 1 \cdot - 1 - 1$

Passaggio 1.1.1.3.1.3

Riscrivi $- 1 x$ come $- x$ .

$f (x) < x^{2} - x - 1 x - 1 \cdot - 1 - 1$

Passaggio 1.1.1.3.1.4

Riscrivi $- 1 x$ come $- x$ .

$f (x) < x^{2} - x - x - 1 \cdot - 1 - 1$

Passaggio 1.1.1.3.1.5

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$f (x) < x^{2} - x - x + 1 - 1$

Passaggio 1.1.1.3.2

Sottrai $x$ da $- x$ .

$f (x) < x^{2} - 2 x + 1 - 1$

Passaggio 1.1.2

Combina i termini opposti in $x^{2} - 2 x + 1 - 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.1

Sottrai $1$ da $1$ .

$f (x) < x^{2} - 2 x + 0$

Passaggio 1.1.2.2

Somma $x^{2} - 2 x$ e $0$ .

$f (x) < x^{2} - 2 x$

Passaggio 1.2

Sottrai $f (x)$ da entrambi i lati della diseguaglianza.

$0 < x^{2} - 2 x - f (x)$

Passaggio 2

Trova il coefficiente angolare e l'intercetta di y della linea di confine.

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Passaggio 2.1

Riscrivi in forma esplicita.

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Passaggio 2.1.1

L'equazione in forma esplicita di una retta è $y = m x + b$ , dove $m$ è il coefficiente angolare e $b$ è l'intercetta di y.

$y = m x + b$

Passaggio 2.1.2

Riscrivi in modo che $x$ sia sul lato sinistro della diseguaglianza.

$x^{2} - 2 x - f (x) > 0$

Passaggio 2.1.3

Converti la diseguaglianza in un'equazione.

$x^{2} - 2 x - f (x) = 0$

Passaggio 2.1.4

Utilizza la formula quadratica per trovare le soluzioni.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Passaggio 2.1.5

Sostituisci i valori $a = 1$ , $b = - 2$ e $c = - f (x)$ nella formula quadratica e risolvi per $x$ .

$\frac{2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot (- f (x)))}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 2.1.6

Semplifica.

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Passaggio 2.1.6.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.6.1.1

Eleva $- 2$ alla potenza di $2$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot (- 1 f x)}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 2.1.6.1.2

Moltiplica $- 4 \cdot 1 \cdot - 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.6.1.2.1

Moltiplica $- 4$ per $1$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot (- 1 f x)}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 2.1.6.1.2.2

Moltiplica $- 4$ per $- 1$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 4 f (x)}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 2.1.6.1.3

Riscrivi $4 + 4 f (x)$ come $2^{2} (1 + f (x))$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.6.1.3.1

Scomponi $4$ da $4$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 (1) + 4 f (x)}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 2.1.6.1.3.2

Scomponi $4$ da $4 f (x)$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 (1) + 4 (f (x))}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 2.1.6.1.3.3

Scomponi $4$ da $4 (1) + 4 (f (x))$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 (1 + f (x))}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 2.1.6.1.3.4

Riscrivi $4$ come $2^{2}$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{2^{2} (1 + f (x))}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 2.1.6.1.4

Estrai i termini dal radicale.

$x = \frac{2 \pm 2 \sqrt{1 + f (x)}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 2.1.6.2

Moltiplica $2$ per $1$ .

$x = \frac{2 \pm 2 \sqrt{1 + f (x)}}{2}$

Passaggio 2.1.6.3

Semplifica $\frac{2 \pm 2 \sqrt{1 + f (x)}}{2}$ .

$x = 1 \pm \sqrt{1 + f (x)}$

Passaggio 2.1.7

Semplifica l'espressione per risolvere per la porzione $+$ di $\pm$ .

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Passaggio 2.1.7.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.7.1.1

Eleva $- 2$ alla potenza di $2$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot (- 1 f x)}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 2.1.7.1.2

Moltiplica $- 4 \cdot 1 \cdot - 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.7.1.2.1

Moltiplica $- 4$ per $1$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot (- 1 f x)}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 2.1.7.1.2.2

Moltiplica $- 4$ per $- 1$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 4 f (x)}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 2.1.7.1.3

Riscrivi $4 + 4 f (x)$ come $2^{2} (1 + f (x))$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.7.1.3.1

Scomponi $4$ da $4$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 (1) + 4 f (x)}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 2.1.7.1.3.2

Scomponi $4$ da $4 f (x)$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 (1) + 4 (f (x))}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 2.1.7.1.3.3

Scomponi $4$ da $4 (1) + 4 (f (x))$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 (1 + f (x))}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 2.1.7.1.3.4

Riscrivi $4$ come $2^{2}$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{2^{2} (1 + f (x))}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 2.1.7.1.4

Estrai i termini dal radicale.

$x = \frac{2 \pm 2 \sqrt{1 + f (x)}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 2.1.7.2

Moltiplica $2$ per $1$ .

$x = \frac{2 \pm 2 \sqrt{1 + f (x)}}{2}$

Passaggio 2.1.7.3

Semplifica $\frac{2 \pm 2 \sqrt{1 + f (x)}}{2}$ .

$x = 1 \pm \sqrt{1 + f (x)}$

Passaggio 2.1.7.4

Cambia da $\pm$ a $+$ .

$x = 1 + \sqrt{1 + f (x)}$

Passaggio 2.1.8

Semplifica l'espressione per risolvere per la porzione $-$ di $\pm$ .

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Passaggio 2.1.8.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.8.1.1

Eleva $- 2$ alla potenza di $2$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot (- 1 f x)}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 2.1.8.1.2

Moltiplica $- 4 \cdot 1 \cdot - 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.8.1.2.1

Moltiplica $- 4$ per $1$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot (- 1 f x)}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 2.1.8.1.2.2

Moltiplica $- 4$ per $- 1$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 4 f (x)}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 2.1.8.1.3

Riscrivi $4 + 4 f (x)$ come $2^{2} (1 + f (x))$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.8.1.3.1

Scomponi $4$ da $4$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 (1) + 4 f (x)}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 2.1.8.1.3.2

Scomponi $4$ da $4 f (x)$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 (1) + 4 (f (x))}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 2.1.8.1.3.3

Scomponi $4$ da $4 (1) + 4 (f (x))$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 (1 + f (x))}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 2.1.8.1.3.4

Riscrivi $4$ come $2^{2}$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{2^{2} (1 + f (x))}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 2.1.8.1.4

Estrai i termini dal radicale.

$x = \frac{2 \pm 2 \sqrt{1 + f (x)}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 2.1.8.2

Moltiplica $2$ per $1$ .

$x = \frac{2 \pm 2 \sqrt{1 + f (x)}}{2}$

Passaggio 2.1.8.3

Semplifica $\frac{2 \pm 2 \sqrt{1 + f (x)}}{2}$ .

$x = 1 \pm \sqrt{1 + f (x)}$

Passaggio 2.1.8.4

Cambia da $\pm$ a $-$ .

$x = 1 - \sqrt{1 + f (x)}$

Passaggio 2.1.9

Consolida le soluzioni.

$x = 1 + \sqrt{1 + f (x)}, 1 - \sqrt{1 + f (x)}$

Passaggio 2.2

L'equazione non è lineare, quindi non esiste un coefficiente angolare costante.

Non è lineare

Passaggio 3

Rappresenta graficamente una retta tratteggiata, poi ombreggia l'area sotto la retta di confine poiché $y$ è inferiore a $x^{2} - 2 x - f (x)$ .

$0 < x^{2} - 2 x - f (x)$

Passaggio 4