Algebra Esempi

$f (x) < 3 {(x - 2)}^{2} - 5$

Passaggio 1

Risolvi per $y$ .

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Passaggio 1.1

Semplifica $3 {(x - 2)}^{2} - 5$ .

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Passaggio 1.1.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 1.1.1.1

Riscrivi ${(x - 2)}^{2}$ come $(x - 2) (x - 2)$ .

$f (x) < 3 ((x - 2) (x - 2)) - 5$

Passaggio 1.1.1.2

Espandi $(x - 2) (x - 2)$ usando il metodo FOIL.

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Passaggio 1.1.1.2.1

Applica la proprietà distributiva.

$f (x) < 3 (x (x - 2) - 2 (x - 2)) - 5$

Passaggio 1.1.1.2.2

Applica la proprietà distributiva.

$f (x) < 3 (x \cdot x + x \cdot - 2 - 2 (x - 2)) - 5$

Passaggio 1.1.1.2.3

Applica la proprietà distributiva.

$f (x) < 3 (x \cdot x + x \cdot - 2 - 2 x - 2 \cdot - 2) - 5$

Passaggio 1.1.1.3

Semplifica e combina i termini simili.

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Passaggio 1.1.1.3.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 1.1.1.3.1.1

Moltiplica $x$ per $x$ .

$f (x) < 3 (x^{2} + x \cdot - 2 - 2 x - 2 \cdot - 2) - 5$

Passaggio 1.1.1.3.1.2

Sposta $- 2$ alla sinistra di $x$ .

$f (x) < 3 (x^{2} - 2 \cdot x - 2 x - 2 \cdot - 2) - 5$

Passaggio 1.1.1.3.1.3

Moltiplica $- 2$ per $- 2$ .

$f (x) < 3 (x^{2} - 2 x - 2 x + 4) - 5$

Passaggio 1.1.1.3.2

Sottrai $2 x$ da $- 2 x$ .

$f (x) < 3 (x^{2} - 4 x + 4) - 5$

Passaggio 1.1.1.4

Applica la proprietà distributiva.

$f (x) < 3 x^{2} + 3 (- 4 x) + 3 \cdot 4 - 5$

Passaggio 1.1.1.5

Semplifica.

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Passaggio 1.1.1.5.1

Moltiplica $- 4$ per $3$ .

$f (x) < 3 x^{2} - 12 x + 3 \cdot 4 - 5$

Passaggio 1.1.1.5.2

Moltiplica $3$ per $4$ .

$f (x) < 3 x^{2} - 12 x + 12 - 5$

Passaggio 1.1.2

Sottrai $5$ da $12$ .

$f (x) < 3 x^{2} - 12 x + 7$

Passaggio 1.2

Sottrai $f (x)$ da entrambi i lati della diseguaglianza.

$0 < 3 x^{2} - 12 x + 7 - f (x)$

Passaggio 2

Trova il coefficiente angolare e l'intercetta di y della linea di confine.

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Passaggio 2.1

Riscrivi in forma esplicita.

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Passaggio 2.1.1

L'equazione in forma esplicita di una retta è $y = m x + b$ , dove $m$ è il coefficiente angolare e $b$ è l'intercetta di y.

$y = m x + b$

Passaggio 2.1.2

Riscrivi in modo che $x$ sia sul lato sinistro della diseguaglianza.

$3 x^{2} - 12 x + 7 - f (x) > 0$

Passaggio 2.1.3

Converti la diseguaglianza in un'equazione.

$3 x^{2} - 12 x + 7 - f (x) = 0$

Passaggio 2.1.4

Utilizza la formula quadratica per trovare le soluzioni.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Passaggio 2.1.5

Sostituisci i valori $a = 3$ , $b = - 12$ e $c = 7 - f (x)$ nella formula quadratica e risolvi per $x$ .

$\frac{12 \pm \sqrt{{(- 12)}^{2} - 4 \cdot (3 \cdot (7 - f (x)))}}{2 \cdot 3}$

Passaggio 2.1.6

Semplifica.

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Passaggio 2.1.6.1

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 2.1.6.1.1

Eleva $- 12$ alla potenza di $2$ .

$x = \frac{12 \pm \sqrt{144 - 4 \cdot 3 \cdot (7 - f (x))}}{2 \cdot 3}$

Passaggio 2.1.6.1.2

Moltiplica $- 4$ per $3$ .

$x = \frac{12 \pm \sqrt{144 - 12 \cdot (7 - f (x))}}{2 \cdot 3}$

Passaggio 2.1.6.1.3

Applica la proprietà distributiva.

$x = \frac{12 \pm \sqrt{144 - 12 \cdot 7 - 12 (- f (x))}}{2 \cdot 3}$

Passaggio 2.1.6.1.4

Moltiplica $- 12$ per $7$ .

$x = \frac{12 \pm \sqrt{144 - 84 - 12 (- f (x))}}{2 \cdot 3}$

Passaggio 2.1.6.1.5

Moltiplica $- 1$ per $- 12$ .

$x = \frac{12 \pm \sqrt{144 - 84 + 12 f (x)}}{2 \cdot 3}$

Passaggio 2.1.6.1.6

Sottrai $84$ da $144$ .

$x = \frac{12 \pm \sqrt{60 + 12 f (x)}}{2 \cdot 3}$

Passaggio 2.1.6.2

Moltiplica $2$ per $3$ .

$x = \frac{12 \pm \sqrt{60 + 12 f (x)}}{6}$

Passaggio 2.1.7

Semplifica l'espressione per risolvere per la porzione $+$ di $\pm$ .

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Passaggio 2.1.7.1

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 2.1.7.1.1

Eleva $- 12$ alla potenza di $2$ .

$x = \frac{12 \pm \sqrt{144 - 4 \cdot 3 \cdot (7 - f (x))}}{2 \cdot 3}$

Passaggio 2.1.7.1.2

Moltiplica $- 4$ per $3$ .

$x = \frac{12 \pm \sqrt{144 - 12 \cdot (7 - f (x))}}{2 \cdot 3}$

Passaggio 2.1.7.1.3

Applica la proprietà distributiva.

$x = \frac{12 \pm \sqrt{144 - 12 \cdot 7 - 12 (- f (x))}}{2 \cdot 3}$

Passaggio 2.1.7.1.4

Moltiplica $- 12$ per $7$ .

$x = \frac{12 \pm \sqrt{144 - 84 - 12 (- f (x))}}{2 \cdot 3}$

Passaggio 2.1.7.1.5

Moltiplica $- 1$ per $- 12$ .

$x = \frac{12 \pm \sqrt{144 - 84 + 12 f (x)}}{2 \cdot 3}$

Passaggio 2.1.7.1.6

Sottrai $84$ da $144$ .

$x = \frac{12 \pm \sqrt{60 + 12 f (x)}}{2 \cdot 3}$

Passaggio 2.1.7.2

Moltiplica $2$ per $3$ .

$x = \frac{12 \pm \sqrt{60 + 12 f (x)}}{6}$

Passaggio 2.1.7.3

Cambia da $\pm$ a $+$ .

$x = \frac{12 + \sqrt{60 + 12 f (x)}}{6}$

Passaggio 2.1.8

Semplifica l'espressione per risolvere per la porzione $-$ di $\pm$ .

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Passaggio 2.1.8.1

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 2.1.8.1.1

Eleva $- 12$ alla potenza di $2$ .

$x = \frac{12 \pm \sqrt{144 - 4 \cdot 3 \cdot (7 - f (x))}}{2 \cdot 3}$

Passaggio 2.1.8.1.2

Moltiplica $- 4$ per $3$ .

$x = \frac{12 \pm \sqrt{144 - 12 \cdot (7 - f (x))}}{2 \cdot 3}$

Passaggio 2.1.8.1.3

Applica la proprietà distributiva.

$x = \frac{12 \pm \sqrt{144 - 12 \cdot 7 - 12 (- f (x))}}{2 \cdot 3}$

Passaggio 2.1.8.1.4

Moltiplica $- 12$ per $7$ .

$x = \frac{12 \pm \sqrt{144 - 84 - 12 (- f (x))}}{2 \cdot 3}$

Passaggio 2.1.8.1.5

Moltiplica $- 1$ per $- 12$ .

$x = \frac{12 \pm \sqrt{144 - 84 + 12 f (x)}}{2 \cdot 3}$

Passaggio 2.1.8.1.6

Sottrai $84$ da $144$ .

$x = \frac{12 \pm \sqrt{60 + 12 f (x)}}{2 \cdot 3}$

Passaggio 2.1.8.2

Moltiplica $2$ per $3$ .

$x = \frac{12 \pm \sqrt{60 + 12 f (x)}}{6}$

Passaggio 2.1.8.3

Cambia da $\pm$ a $-$ .

$x = \frac{12 - \sqrt{60 + 12 f (x)}}{6}$

Passaggio 2.1.9

Consolida le soluzioni.

$x = \frac{12 + \sqrt{60 + 12 f (x)}}{6}, \frac{12 - \sqrt{60 + 12 f (x)}}{6}$

Passaggio 2.1.10

Disponi il polinomio affinché segua la forma $y = m x + b$ per il coefficiente angolare e l'intercetta di y.

$3 x^{2} - 12 x = f (x) - 7$

Passaggio 2.2

L'equazione non è lineare, quindi non esiste un coefficiente angolare costante.

Non è lineare

Passaggio 3

Rappresenta graficamente una retta tratteggiata, poi ombreggia l'area sotto la retta di confine poiché $y$ è inferiore a $3 x^{2} - 12 x + 7 - f (x)$ .

$0 < 3 x^{2} - 12 x + 7 - f (x)$

Passaggio 4