Algebra Esempi

$\log_{3} (x^{2} - 4) - \log_{3} (3 x + 2) = 1$

Passaggio 1

Semplifica il lato sinistro.

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Passaggio 1.1

Usa la proprietà del quoziente dei logaritmi, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\log_{3} (\frac{x^{2} - 4}{3 x + 2}) = 1$

Passaggio 1.2

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 1.2.1

Riscrivi $4$ come $2^{2}$ .

$\log_{3} (\frac{x^{2} - 2^{2}}{3 x + 2}) = 1$

Passaggio 1.2.2

Poiché entrambi i termini sono dei quadrati perfetti, fattorizza usando la formula della differenza di quadrati, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ dove $a = x$ e $b = 2$ .

$\log_{3} (\frac{(x + 2) (x - 2)}{3 x + 2}) = 1$

Passaggio 2

Riscrivi $\log_{3} (\frac{(x + 2) (x - 2)}{3 x + 2}) = 1$ nella forma esponenziale usando la definizione di logaritmo. Se $x$ e $b$ sono numeri reali positivi e $b$ $\neq$ $1$ , allora $\log_{b} (x) = y$ è equivalente a $b^{y} = x$ .

$3^{1} = \frac{(x + 2) (x - 2)}{3 x + 2}$

Passaggio 3

Esegui la moltiplicazione incrociata per rimuovere la frazione.

$(x + 2) (x - 2) = 3 (3 x + 2)$

Passaggio 4

Semplifica $3 (3 x + 2)$ .

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Passaggio 4.1

Applica la proprietà distributiva.

$(x + 2) (x - 2) = 3 (3 x) + 3 \cdot 2$

Passaggio 4.2

Moltiplica.

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Passaggio 4.2.1

Moltiplica $3$ per $3$ .

$(x + 2) (x - 2) = 9 x + 3 \cdot 2$

Passaggio 4.2.2

Moltiplica $3$ per $2$ .

$(x + 2) (x - 2) = 9 x + 6$

Passaggio 5

Sposta tutti i termini contenenti $x$ sul lato sinistro dell'equazione.

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Passaggio 5.1

Sottrai $9 x$ da entrambi i lati dell'equazione.

$(x + 2) (x - 2) - 9 x = 6$

Passaggio 5.2

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 5.2.1

Espandi $(x + 2) (x - 2)$ usando il metodo FOIL.

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Passaggio 5.2.1.1

Applica la proprietà distributiva.

$x (x - 2) + 2 (x - 2) - 9 x = 6$

Passaggio 5.2.1.2

Applica la proprietà distributiva.

$x \cdot x + x \cdot - 2 + 2 (x - 2) - 9 x = 6$

Passaggio 5.2.1.3

Applica la proprietà distributiva.

$x \cdot x + x \cdot - 2 + 2 x + 2 \cdot - 2 - 9 x = 6$

Passaggio 5.2.2

Combina i termini opposti in $x \cdot x + x \cdot - 2 + 2 x + 2 \cdot - 2$ .

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Passaggio 5.2.2.1

Riordina i fattori nei termini di $x \cdot - 2$ e $2 x$ .

$x \cdot x - 2 x + 2 x + 2 \cdot - 2 - 9 x = 6$

Passaggio 5.2.2.2

Somma $- 2 x$ e $2 x$ .

$x \cdot x + 0 + 2 \cdot - 2 - 9 x = 6$

Passaggio 5.2.2.3

Somma $x \cdot x$ e $0$ .

$x \cdot x + 2 \cdot - 2 - 9 x = 6$

Passaggio 5.2.3

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 5.2.3.1

Moltiplica $x$ per $x$ .

$x^{2} + 2 \cdot - 2 - 9 x = 6$

Passaggio 5.2.3.2

Moltiplica $2$ per $- 2$ .

$x^{2} - 4 - 9 x = 6$

Passaggio 6

Sposta tutti i termini non contenenti $x$ sul lato destro dell'equazione.

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Passaggio 6.1

Somma $4$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x^{2} - 9 x = 6 + 4$

Passaggio 6.2

Somma $6$ e $4$ .

$x^{2} - 9 x = 10$

Passaggio 7

Sottrai $10$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x^{2} - 9 x - 10 = 0$

Passaggio 8

Scomponi $x^{2} - 9 x - 10$ usando il metodo AC.

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Passaggio 8.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Trova una coppia di interi il cui prodotto è $c$ e la cui formula è $b$ . In questo caso, il cui prodotto è $- 10$ e la cui somma è $- 9$ .

$- 10, 1$

Passaggio 8.2

Scrivi la forma fattorizzata usando questi interi.

$(x - 10) (x + 1) = 0$

Passaggio 9

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$x - 10 = 0$

$x + 1 = 0$

Passaggio 10

Imposta $x - 10$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

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Passaggio 10.1

Imposta $x - 10$ uguale a $0$ .

$x - 10 = 0$

Passaggio 10.2

Somma $10$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x = 10$

Passaggio 11

Imposta $x + 1$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

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Passaggio 11.1

Imposta $x + 1$ uguale a $0$ .

$x + 1 = 0$

Passaggio 11.2

Sottrai $1$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x = - 1$

Passaggio 12

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $(x - 10) (x + 1) = 0$ vera.

$x = 10, - 1$

Passaggio 13

Escludi le soluzioni che non rendono $\log_{3} (x^{2} - 4) - \log_{3} (3 x + 2) = 1$ vera.

$x = 10$