Algebra Esempi

$\log_{3} ({(x - 1)}^{2}) > 2$

Passaggio 1

Converti la diseguaglianza in un'uguaglianza.

$\log_{3} ({(x - 1)}^{2}) = 2$

Passaggio 2

Risolvi l'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Scrivi in forma esponenziale.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1

Per le equazioni logaritmiche, $\log_{b} (x) = y$ è equivalente a $b^{y} = x$ tale che $x > 0$ , $b > 0$ e $b \neq 1$ . In questo caso, $b = 3$ , $x = {(x - 1)}^{2}$ e $y = 2$ .

$b = 3$

$x = {(x - 1)}^{2}$

$y = 2$

Passaggio 2.1.2

Sostituisci i valori di $b$ , $x$ e $y$ nell'equazione $b^{y} = x$ .

$3^{2} = {(x - 1)}^{2}$

Passaggio 2.2

Risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Riscrivi l'equazione come ${(x - 1)}^{2} = 3^{2}$ .

${(x - 1)}^{2} = 3^{2}$

Passaggio 2.2.2

Poiché gli esponenti sono uguali, le basi degli esponenti su entrambi i lati dell'equazione devono essere uguali.

$| x - 1 | = | 3 |$

Passaggio 2.2.3

Risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.3.1

Rimuovi il valore assoluto. Ciò crea un $\pm$ sul lato destro dell'equazione perché $| x | = \pm x$ .

$x - 1 = \pm | 3 |$

Passaggio 2.2.3.2

Il valore assoluto è la distanza tra un numero e zero. La distanza tra $0$ e $3$ è $3$ .

$x - 1 = \pm 3$

Passaggio 2.2.3.3

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.3.3.1

Per prima cosa, usa il valore positivo di $\pm$ per trovare la prima soluzione.

$x - 1 = 3$

Passaggio 2.2.3.3.2

Sposta tutti i termini non contenenti $x$ sul lato destro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.3.3.2.1

Somma $1$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x = 3 + 1$

Passaggio 2.2.3.3.2.2

Somma $3$ e $1$ .

$x = 4$

Passaggio 2.2.3.3.3

Ora, usa il valore negativo del $\pm$ per trovare la seconda soluzione.

$x - 1 = - 3$

Passaggio 2.2.3.3.4

Sposta tutti i termini non contenenti $x$ sul lato destro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.3.3.4.1

Somma $1$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x = - 3 + 1$

Passaggio 2.2.3.3.4.2

Somma $- 3$ e $1$ .

$x = - 2$

Passaggio 2.2.3.3.5

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

$x = 4, - 2$

Passaggio 3

Trova il dominio di $\log_{3} ({(x - 1)}^{2}) - 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Imposta l'argomento in $\log_{3} ({(x - 1)}^{2})$ in modo che sia maggiore di $0$ per individuare dove l'espressione è definita.

${(x - 1)}^{2} > 0$

Passaggio 3.2

Risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Trova la radice quadrata specificata di entrambi i lati della diseguaglianza per eliminare l'esponente sul lato sinistro.

$\sqrt{{(x - 1)}^{2}} > \sqrt{0}$

Passaggio 3.2.2

Semplifica l'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.2.1

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.2.1.1

Estrai i termini dal radicale.

$| x - 1 | > \sqrt{0}$

Passaggio 3.2.2.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.2.2.1

Semplifica $\sqrt{0}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.2.2.1.1

Riscrivi $0$ come $0^{2}$ .

$| x - 1 | > \sqrt{0^{2}}$

Passaggio 3.2.2.2.1.2

Estrai i termini dal radicale.

$| x - 1 | > | 0 |$

Passaggio 3.2.2.2.1.3

Il valore assoluto è la distanza tra un numero e zero. La distanza tra $0$ e $0$ è $0$ .

$| x - 1 | > 0$

Passaggio 3.2.3

Scrivi $| x - 1 | > 0$ a tratti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.3.1

Per individuare l'intervallo per la prima parte, trova dove l'interno del valore assoluto è non negativo.

$x - 1 \geq 0$

Passaggio 3.2.3.2

Aggiungi $1$ a entrambi i lati della diseguaglianza.

$x \geq 1$

Passaggio 3.2.3.3

Nella parte in cui $x - 1$ è non negativo, rimuovi il valore assoluto.

$x - 1 > 0$

Passaggio 3.2.3.4

Per individuare l'intervallo per la seconda parte, trova dove l'interno del valore assoluto è negativo.

$x - 1 < 0$

Passaggio 3.2.3.5

Aggiungi $1$ a entrambi i lati della diseguaglianza.

$x < 1$

Passaggio 3.2.3.6

Nella parte in cui $x - 1$ è negativo, rimuovi il valore assoluto e moltiplica per $- 1$ .

$- (x - 1) > 0$

Passaggio 3.2.3.7

Scrivi a tratti.

${\begin{cases} x - 1 > 0 & x \geq 1 \\ - (x - 1) > 0 & x < 1 \end{cases}$

Passaggio 3.2.3.8

Semplifica $- (x - 1) > 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.3.8.1

Applica la proprietà distributiva.

${\begin{cases} x - 1 > 0 & x \geq 1 \\ - x - - 1 > 0 & x < 1 \end{cases}$

Passaggio 3.2.3.8.2

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

${\begin{cases} x - 1 > 0 & x \geq 1 \\ - x + 1 > 0 & x < 1 \end{cases}$

Passaggio 3.2.4

Aggiungi $1$ a entrambi i lati della diseguaglianza.

$x > 1$

Passaggio 3.2.5

Risolvi $- x + 1 > 0$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.5.1

Sottrai $1$ da entrambi i lati della diseguaglianza.

$- x > - 1$

Passaggio 3.2.5.2

Dividi per $- 1$ ciascun termine in $- x > - 1$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.5.2.1

Dividi per $- 1$ ciascun termine in $- x > - 1$ . Quando moltiplichi o dividi entrambi i lati di una diseguaglianza per un valore negativo, inverti il verso della diseguaglianza.

$\frac{- x}{- 1} < \frac{- 1}{- 1}$

Passaggio 3.2.5.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.5.2.2.1

Dividendo due valori negativi si ottiene un valore positivo.

$\frac{x}{1} < \frac{- 1}{- 1}$

Passaggio 3.2.5.2.2.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x < \frac{- 1}{- 1}$

Passaggio 3.2.5.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.5.2.3.1

Dividi $- 1$ per $- 1$ .

$x < 1$

Passaggio 3.2.6

Trova l'unione delle soluzioni.

$x < 1$ o $x > 1$

Passaggio 3.3

Il dominio è formato da tutti i valori di $x$ che rendono definita l'espressione.

$(- \infty, 1) \cup (1, \infty)$

Passaggio 4

Usa ogni radice per creare gli intervalli di prova.

$x < - 2$

$- 2 < x < 1$

$1 < x < 4$

$x > 4$

Passaggio 5

Scegli un valore di test da ciascun intervallo e sostituiscilo nella diseguaglianza originale per determinare quali intervalli sono soddisfatti dalla diseguaglianza.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Testa un valore sull'intervallo $x < - 2$ per verificare se rende vera la diseguaglianza.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.1

Scegli un valore sull'intervallo $x < - 2$ e verifica se soddisfa la diseguaglianza originale.

$x = - 4$

Passaggio 5.1.2

Sostituisci $x$ con $- 4$ nella diseguaglianza originale.

$\log_{3} ({((- 4) - 1)}^{2}) > 2$

Passaggio 5.1.3

Il lato sinistro di $2.92994704$ è maggiore del lato destro di $2$ ; ciò significa che l'affermazione data è sempre vera.

Vero

Passaggio 5.2

Testa un valore sull'intervallo $- 2 < x < 1$ per verificare se rende vera la diseguaglianza.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1

Scegli un valore sull'intervallo $- 2 < x < 1$ e verifica se soddisfa la diseguaglianza originale.

$x = 0$

Passaggio 5.2.2

Sostituisci $x$ con $0$ nella diseguaglianza originale.

$\log_{3} ({((0) - 1)}^{2}) > 2$

Passaggio 5.2.3

Il lato sinistro di $0$ non è maggiore del lato destro di $2$ ; ciò significa che l'affermazione data è falsa.

Falso

Passaggio 5.3

Testa un valore sull'intervallo $1 < x < 4$ per verificare se rende vera la diseguaglianza.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1

Scegli un valore sull'intervallo $1 < x < 4$ e verifica se soddisfa la diseguaglianza originale.

$x = 2$

Passaggio 5.3.2

Sostituisci $x$ con $2$ nella diseguaglianza originale.

$\log_{3} ({((2) - 1)}^{2}) > 2$

Passaggio 5.3.3

Il lato sinistro di $0$ non è maggiore del lato destro di $2$ ; ciò significa che l'affermazione data è falsa.

Falso

Passaggio 5.4

Testa un valore sull'intervallo $x > 4$ per verificare se rende vera la diseguaglianza.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.1

Scegli un valore sull'intervallo $x > 4$ e verifica se soddisfa la diseguaglianza originale.

$x = 6$

Passaggio 5.4.2

Sostituisci $x$ con $6$ nella diseguaglianza originale.

$\log_{3} ({((6) - 1)}^{2}) > 2$

Passaggio 5.4.3

Il lato sinistro di $2.92994704$ è maggiore del lato destro di $2$ ; ciò significa che l'affermazione data è sempre vera.

Vero

Passaggio 5.5

Confronta gli intervalli per determinare quali soddisfano la diseguaglianza originale.

$x < - 2$ Vero

$- 2 < x < 1$ Falso

$1 < x < 4$ Falso

$x > 4$ Vero

$x < - 2$ Vero

$- 2 < x < 1$ Falso

$1 < x < 4$ Falso

$x > 4$ Vero

Passaggio 6

La soluzione è costituita da tutti gli intervalli veri.

$x < - 2$ o $x > 4$

Passaggio 7

Il risultato può essere mostrato in più forme.

Forma della diseguaglianza:

$x < - 2 or x > 4$

Notazione degli intervalli:

$(- \infty, - 2) \cup (4, \infty)$

Passaggio 8