Algebra Esempi

$\log_{16} (9 x + 5) - \log_{16} (x^{2} - 1) = \frac{1}{2}$

Passaggio 1

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Usa la proprietà del quoziente dei logaritmi, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\log_{16} (\frac{9 x + 5}{x^{2} - 1}) = \frac{1}{2}$

Passaggio 1.2

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Riscrivi $1$ come $1^{2}$ .

$\log_{16} (\frac{9 x + 5}{x^{2} - 1^{2}}) = \frac{1}{2}$

Passaggio 1.2.2

Poiché entrambi i termini sono dei quadrati perfetti, fattorizza usando la formula della differenza di quadrati, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ dove $a = x$ e $b = 1$ .

$\log_{16} (\frac{9 x + 5}{(x + 1) (x - 1)}) = \frac{1}{2}$

Passaggio 2

Riscrivi $\log_{16} (\frac{9 x + 5}{(x + 1) (x - 1)}) = \frac{1}{2}$ nella forma esponenziale usando la definizione di logaritmo. Se $x$ e $b$ sono numeri reali positivi e $b$ $\neq$ $1$ , allora $\log_{b} (x) = y$ è equivalente a $b^{y} = x$ .

$16^{\frac{1}{2}} = \frac{9 x + 5}{(x + 1) (x - 1)}$

Passaggio 3

Esegui la moltiplicazione incrociata per rimuovere la frazione.

$9 x + 5 = 16^{\frac{1}{2}} ((x + 1) (x - 1))$

Passaggio 4

Semplifica $16^{\frac{1}{2}} ((x + 1) (x - 1))$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Riduci l'espressione eliminando i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.1

Riscrivi $16$ come $4^{2}$ .

$9 x + 5 = {(4^{2})}^{\frac{1}{2}} ((x + 1) (x - 1))$

Passaggio 4.1.2

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$9 x + 5 = 4^{2 (\frac{1}{2})} ((x + 1) (x - 1))$

Passaggio 4.1.3

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.3.1

Elimina il fattore comune.

$9 x + 5 = 4^{2 (\frac{1}{2})} ((x + 1) (x - 1))$

Passaggio 4.1.3.2

Riscrivi l'espressione.

$9 x + 5 = 4^{1} ((x + 1) (x - 1))$

Passaggio 4.1.4

Calcola l'esponente.

$9 x + 5 = 4 ((x + 1) (x - 1))$

Passaggio 4.2

Espandi $(x + 1) (x - 1)$ usando il metodo FOIL.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1

Applica la proprietà distributiva.

$9 x + 5 = 4 (x (x - 1) + 1 (x - 1))$

Passaggio 4.2.2

Applica la proprietà distributiva.

$9 x + 5 = 4 (x \cdot x + x \cdot - 1 + 1 (x - 1))$

Passaggio 4.2.3

Applica la proprietà distributiva.

$9 x + 5 = 4 (x \cdot x + x \cdot - 1 + 1 x + 1 \cdot - 1)$

Passaggio 4.3

Semplifica e combina i termini simili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.1.1

Moltiplica $x$ per $x$ .

$9 x + 5 = 4 (x^{2} + x \cdot - 1 + 1 x + 1 \cdot - 1)$

Passaggio 4.3.1.2

Sposta $- 1$ alla sinistra di $x$ .

$9 x + 5 = 4 (x^{2} - 1 \cdot x + 1 x + 1 \cdot - 1)$

Passaggio 4.3.1.3

Riscrivi $- 1 x$ come $- x$ .

$9 x + 5 = 4 (x^{2} - x + 1 x + 1 \cdot - 1)$

Passaggio 4.3.1.4

Moltiplica $x$ per $1$ .

$9 x + 5 = 4 (x^{2} - x + x + 1 \cdot - 1)$

Passaggio 4.3.1.5

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$9 x + 5 = 4 (x^{2} - x + x - 1)$

Passaggio 4.3.2

Somma $- x$ e $x$ .

$9 x + 5 = 4 (x^{2} + 0 - 1)$

Passaggio 4.3.3

Somma $x^{2}$ e $0$ .

$9 x + 5 = 4 (x^{2} - 1)$

Passaggio 4.4

Applica la proprietà distributiva.

$9 x + 5 = 4 x^{2} + 4 \cdot - 1$

Passaggio 4.5

Moltiplica $4$ per $- 1$ .

$9 x + 5 = 4 x^{2} - 4$

Passaggio 5

Sottrai $4 x^{2}$ da entrambi i lati dell'equazione.

$9 x + 5 - 4 x^{2} = - 4$

Passaggio 6

Sposta tutti i termini non contenenti $x$ sul lato destro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Sottrai $5$ da entrambi i lati dell'equazione.

$9 x - 4 x^{2} = - 4 - 5$

Passaggio 6.2

Sottrai $5$ da $- 4$ .

$9 x - 4 x^{2} = - 9$

Passaggio 7

Somma $9$ a entrambi i lati dell'equazione.

$9 x - 4 x^{2} + 9 = 0$

Passaggio 8

Scomponi il primo membro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1

Scomponi $- 1$ da $9 x - 4 x^{2} + 9$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1.1

Riordina $9 x$ e $- 4 x^{2}$ .

$- 4 x^{2} + 9 x + 9 = 0$

Passaggio 8.1.2

Scomponi $- 1$ da $- 4 x^{2}$ .

$- (4 x^{2}) + 9 x + 9 = 0$

Passaggio 8.1.3

Scomponi $- 1$ da $9 x$ .

$- (4 x^{2}) - (- 9 x) + 9 = 0$

Passaggio 8.1.4

Riscrivi $9$ come $- 1 (- 9)$ .

$- (4 x^{2}) - (- 9 x) - 1 \cdot - 9 = 0$

Passaggio 8.1.5

Scomponi $- 1$ da $- (4 x^{2}) - (- 9 x)$ .

$- (4 x^{2} - 9 x) - 1 \cdot - 9 = 0$

Passaggio 8.1.6

Scomponi $- 1$ da $- (4 x^{2} - 9 x) - 1 (- 9)$ .

$- (4 x^{2} - 9 x - 9) = 0$

Passaggio 8.2

Scomponi.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.1

Scomponi mediante raccoglimento.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.1.1

Per un polinomio della forma $a x^{2} + b x + c$ , riscrivi il termine centrale come somma di due termini il cui prodotto è $a \cdot c = 4 \cdot - 9 = - 36$ e la cui somma è $b = - 9$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.1.1.1

Scomponi $- 9$ da $- 9 x$ .

$- (4 x^{2} - 9 x - 9) = 0$

Passaggio 8.2.1.1.2

Riscrivi $- 9$ come $3$ più $- 12$ .

$- (4 x^{2} + (3 - 12) x - 9) = 0$

Passaggio 8.2.1.1.3

Applica la proprietà distributiva.

$- (4 x^{2} + 3 x - 12 x - 9) = 0$

Passaggio 8.2.1.2

Metti in evidenza il massimo comune divisore da ciascun gruppo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.1.2.1

Raggruppa i primi due termini e gli ultimi due termini.

$- ((4 x^{2} + 3 x) - 12 x - 9) = 0$

Passaggio 8.2.1.2.2

Metti in evidenza il massimo comune divisore (M.C.D.) da ciascun gruppo.

$- (x (4 x + 3) - 3 (4 x + 3)) = 0$

Passaggio 8.2.1.3

Scomponi il polinomio mettendo in evidenza il massimo comune divisore, $4 x + 3$ .

$- ((4 x + 3) (x - 3)) = 0$

Passaggio 8.2.2

Rimuovi le parentesi non necessarie.

$- (4 x + 3) (x - 3) = 0$

Passaggio 9

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$4 x + 3 = 0$

$x - 3 = 0$

Passaggio 10

Imposta $4 x + 3$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.1

Imposta $4 x + 3$ uguale a $0$ .

$4 x + 3 = 0$

Passaggio 10.2

Risolvi $4 x + 3 = 0$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.2.1

Sottrai $3$ da entrambi i lati dell'equazione.

$4 x = - 3$

Passaggio 10.2.2

Dividi per $4$ ciascun termine in $4 x = - 3$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.2.2.1

Dividi per $4$ ciascun termine in $4 x = - 3$ .

$\frac{4 x}{4} = \frac{- 3}{4}$

Passaggio 10.2.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.2.2.2.1

Elimina il fattore comune di $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.2.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{4 x}{4} = \frac{- 3}{4}$

Passaggio 10.2.2.2.1.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x = \frac{- 3}{4}$

Passaggio 10.2.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.2.2.3.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$x = - \frac{3}{4}$

Passaggio 11

Imposta $x - 3$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.1

Imposta $x - 3$ uguale a $0$ .

$x - 3 = 0$

Passaggio 11.2

Somma $3$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x = 3$

Passaggio 12

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $- (4 x + 3) (x - 3) = 0$ vera.

$x = - \frac{3}{4}, 3$

Passaggio 13

Escludi le soluzioni che non rendono $\log_{16} (9 x + 5) - \log_{16} (x^{2} - 1) = \frac{1}{2}$ vera.

$x = 3$