Algebra Esempi

$\log_{5} (4 x^{2} - 6) - \log_{5} (4 x + 1) = 1$

Passaggio 1

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Usa la proprietà del quoziente dei logaritmi, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\log_{5} (\frac{4 x^{2} - 6}{4 x + 1}) = 1$

Passaggio 1.2

Scomponi $2$ da $4 x^{2} - 6$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Scomponi $2$ da $4 x^{2}$ .

$\log_{5} (\frac{2 (2 x^{2}) - 6}{4 x + 1}) = 1$

Passaggio 1.2.2

Scomponi $2$ da $- 6$ .

$\log_{5} (\frac{2 (2 x^{2}) + 2 (- 3)}{4 x + 1}) = 1$

Passaggio 1.2.3

Scomponi $2$ da $2 (2 x^{2}) + 2 (- 3)$ .

$\log_{5} (\frac{2 (2 x^{2} - 3)}{4 x + 1}) = 1$

Passaggio 2

Riscrivi $\log_{5} (\frac{2 (2 x^{2} - 3)}{4 x + 1}) = 1$ nella forma esponenziale usando la definizione di logaritmo. Se $x$ e $b$ sono numeri reali positivi e $b$ $\neq$ $1$ , allora $\log_{b} (x) = y$ è equivalente a $b^{y} = x$ .

$5^{1} = \frac{2 (2 x^{2} - 3)}{4 x + 1}$

Passaggio 3

Esegui la moltiplicazione incrociata per rimuovere la frazione.

$2 (2 x^{2} - 3) = 5 (4 x + 1)$

Passaggio 4

Semplifica $5 (4 x + 1)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Applica la proprietà distributiva.

$2 (2 x^{2} - 3) = 5 (4 x) + 5 \cdot 1$

Passaggio 4.2

Moltiplica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1

Moltiplica $4$ per $5$ .

$2 (2 x^{2} - 3) = 20 x + 5 \cdot 1$

Passaggio 4.2.2

Moltiplica $5$ per $1$ .

$2 (2 x^{2} - 3) = 20 x + 5$

Passaggio 5

Sposta tutti i termini contenenti $x$ sul lato sinistro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Sottrai $20 x$ da entrambi i lati dell'equazione.

$2 (2 x^{2} - 3) - 20 x = 5$

Passaggio 5.2

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1

Applica la proprietà distributiva.

$2 (2 x^{2}) + 2 \cdot - 3 - 20 x = 5$

Passaggio 5.2.2

Moltiplica $2$ per $2$ .

$4 x^{2} + 2 \cdot - 3 - 20 x = 5$

Passaggio 5.2.3

Moltiplica $2$ per $- 3$ .

$4 x^{2} - 6 - 20 x = 5$

Passaggio 6

Scomponi il primo membro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Scomponi $2$ da $4 x^{2} - 6 - 20 x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.1

Scomponi $2$ da $4 x^{2}$ .

$2 (2 x^{2}) - 6 - 20 x = 5$

Passaggio 6.1.2

Scomponi $2$ da $- 6$ .

$2 (2 x^{2}) + 2 (- 3) - 20 x = 5$

Passaggio 6.1.3

Scomponi $2$ da $- 20 x$ .

$2 (2 x^{2}) + 2 (- 3) + 2 (- 10 x) = 5$

Passaggio 6.1.4

Scomponi $2$ da $2 (2 x^{2}) + 2 (- 3)$ .

$2 (2 x^{2} - 3) + 2 (- 10 x) = 5$

Passaggio 6.1.5

Scomponi $2$ da $2 (2 x^{2} - 3) + 2 (- 10 x)$ .

$2 (2 x^{2} - 3 - 10 x) = 5$

Passaggio 6.2

Riordina i termini.

$2 (2 x^{2} - 10 x - 3) = 5$

Passaggio 7

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 (2 x^{2} - 10 x - 3) = 5$ e semplifica.

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Passaggio 7.1

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 (2 x^{2} - 10 x - 3) = 5$ .

$\frac{2 (2 x^{2} - 10 x - 3)}{2} = \frac{5}{2}$

Passaggio 7.2

Semplifica il lato sinistro.

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Passaggio 7.2.1

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 (2 x^{2} - 10 x - 3)}{2} = \frac{5}{2}$

Passaggio 7.2.1.2

Dividi $2 x^{2} - 10 x - 3$ per $1$ .

$2 x^{2} - 10 x - 3 = \frac{5}{2}$

Passaggio 8

Sposta tutti i termini sul lato sinistro dell'equazione e semplifica.

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Passaggio 8.1

Sottrai $\frac{5}{2}$ da entrambi i lati dell'equazione.

$2 x^{2} - 10 x - 3 - \frac{5}{2} = 0$

Passaggio 8.2

Semplifica $2 x^{2} - 10 x - 3 - \frac{5}{2}$ .

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Passaggio 8.2.1

Per scrivere $- 3$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$2 x^{2} - 10 x - 3 \cdot \frac{2}{2} - \frac{5}{2} = 0$

Passaggio 8.2.2

$- 3$ e $\frac{2}{2}$ .

$2 x^{2} - 10 x + \frac{- 3 \cdot 2}{2} - \frac{5}{2} = 0$

Passaggio 8.2.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$2 x^{2} - 10 x + \frac{- 3 \cdot 2 - 5}{2} = 0$

Passaggio 8.2.4

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 8.2.4.1

Moltiplica $- 3$ per $2$ .

$2 x^{2} - 10 x + \frac{- 6 - 5}{2} = 0$

Passaggio 8.2.4.2

Sottrai $5$ da $- 6$ .

$2 x^{2} - 10 x + \frac{- 11}{2} = 0$

Passaggio 8.2.5

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$2 x^{2} - 10 x - \frac{11}{2} = 0$

Passaggio 9

Moltiplica per il minimo comune denominatore $2$ , quindi semplifica.

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Passaggio 9.1

Applica la proprietà distributiva.

$2 (2 x^{2}) + 2 (- 10 x) + 2 (- \frac{11}{2}) = 0$

Passaggio 9.2

Semplifica.

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Passaggio 9.2.1

Moltiplica $2$ per $2$ .

$4 x^{2} + 2 (- 10 x) + 2 (- \frac{11}{2}) = 0$

Passaggio 9.2.2

Moltiplica $- 10$ per $2$ .

$4 x^{2} - 20 x + 2 (- \frac{11}{2}) = 0$

Passaggio 9.2.3

Elimina il fattore comune di $2$ .

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Passaggio 9.2.3.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{11}{2}$ nel numeratore.

$4 x^{2} - 20 x + 2 (\frac{- 11}{2}) = 0$

Passaggio 9.2.3.2

Elimina il fattore comune.

$4 x^{2} - 20 x + 2 (\frac{- 11}{2}) = 0$

Passaggio 9.2.3.3

Riscrivi l'espressione.

$4 x^{2} - 20 x - 11 = 0$

Passaggio 10

Usa la formula quadratica per trovare le soluzioni.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Passaggio 11

Sostituisci i valori $a = 4$ , $b = - 20$ e $c = - 11$ nella formula quadratica e risolvi per $x$ .

$\frac{20 \pm \sqrt{{(- 20)}^{2} - 4 \cdot (4 \cdot - 11)}}{2 \cdot 4}$

Passaggio 12

Semplifica.

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Passaggio 12.1

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 12.1.1

Eleva $- 20$ alla potenza di $2$ .

$x = \frac{20 \pm \sqrt{400 - 4 \cdot 4 \cdot - 11}}{2 \cdot 4}$

Passaggio 12.1.2

Moltiplica $- 4 \cdot 4 \cdot - 11$ .

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Passaggio 12.1.2.1

Moltiplica $- 4$ per $4$ .

$x = \frac{20 \pm \sqrt{400 - 16 \cdot - 11}}{2 \cdot 4}$

Passaggio 12.1.2.2

Moltiplica $- 16$ per $- 11$ .

$x = \frac{20 \pm \sqrt{400 + 176}}{2 \cdot 4}$

Passaggio 12.1.3

Somma $400$ e $176$ .

$x = \frac{20 \pm \sqrt{576}}{2 \cdot 4}$

Passaggio 12.1.4

Riscrivi $576$ come $24^{2}$ .

$x = \frac{20 \pm \sqrt{24^{2}}}{2 \cdot 4}$

Passaggio 12.1.5

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$x = \frac{20 \pm 24}{2 \cdot 4}$

Passaggio 12.2

Moltiplica $2$ per $4$ .

$x = \frac{20 \pm 24}{8}$

Passaggio 12.3

Semplifica $\frac{20 \pm 24}{8}$ .

$x = \frac{5 \pm 6}{2}$

Passaggio 13

La risposta finale è la combinazione di entrambe le soluzioni.

$x = \frac{11}{2}, - \frac{1}{2}$

Passaggio 14

Escludi le soluzioni che non rendono $\log_{5} (4 x^{2} - 6) - \log_{5} (4 x + 1) = 1$ vera.

$x = \frac{11}{2}$

Passaggio 15

Il risultato può essere mostrato in più forme.

Forma esatta:

$x = \frac{11}{2}$

Forma decimale:

$x = 5.5$

Forma numero misto:

$x = 5 \frac{1}{2}$