Algebra Esempi

$y = {(\frac{1}{4})}^{x}$

Passaggio 1

Scambia le variabili.

$x = {(\frac{1}{4})}^{y}$

Passaggio 2

Risolvi per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Riscrivi l'equazione come ${(\frac{1}{4})}^{y} = x$ .

${(\frac{1}{4})}^{y} = x$

Passaggio 2.2

Trova il logaritmo naturale dell'equazione assegnata per rimuovere la variabile dall'esponente.

$\ln ({(\frac{1}{4})}^{y}) = \ln (x)$

Passaggio 2.3

Espandi il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Espandi $\ln ({(\frac{1}{4})}^{y})$ spostando $y$ fuori dal logaritmo.

$y \ln (\frac{1}{4}) = \ln (x)$

Passaggio 2.3.2

Riscrivi $\ln (\frac{1}{4})$ come $\ln (1) - \ln (4)$ .

$y (\ln (1) - \ln (4)) = \ln (x)$

Passaggio 2.3.3

Il logaritmo naturale di $1$ è $0$ .

$y (0 - \ln (4)) = \ln (x)$

Passaggio 2.3.4

Riscrivi $\ln (4)$ come $\ln (2^{2})$ .

$y (0 - \ln (2^{2})) = \ln (x)$

Passaggio 2.3.5

Espandi $\ln (2^{2})$ spostando $2$ fuori dal logaritmo.

$y (0 - (2 \ln (2))) = \ln (x)$

Passaggio 2.3.6

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$y (0 - 2 \ln (2)) = \ln (x)$

Passaggio 2.3.7

Sottrai $2 \ln (2)$ da $0$ .

$y (- 2 \ln (2)) = \ln (x)$

Passaggio 2.4

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.1

Riordina i fattori in $y (- 2 \ln (2))$ .

$- 2 y \ln (2) = \ln (x)$

Passaggio 2.5

Dividi per $- 2 \ln (2)$ ciascun termine in $- 2 y \ln (2) = \ln (x)$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.1

Dividi per $- 2 \ln (2)$ ciascun termine in $- 2 y \ln (2) = \ln (x)$ .

$\frac{- 2 y \ln (2)}{- 2 \ln (2)} = \frac{\ln (x)}{- 2 \ln (2)}$

Passaggio 2.5.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.2.1

Elimina il fattore comune di $- 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{- 2 y \ln (2)}{- 2 \ln (2)} = \frac{\ln (x)}{- 2 \ln (2)}$

Passaggio 2.5.2.1.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{y \ln (2)}{\ln (2)} = \frac{\ln (x)}{- 2 \ln (2)}$

Passaggio 2.5.2.2

Elimina il fattore comune di $\ln (2)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.2.2.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{y \ln (2)}{\ln (2)} = \frac{\ln (x)}{- 2 \ln (2)}$

Passaggio 2.5.2.2.2

Dividi $y$ per $1$ .

$y = \frac{\ln (x)}{- 2 \ln (2)}$

Passaggio 2.5.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.3.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$y = - \frac{\ln (x)}{2 \ln (2)}$

Passaggio 3

Sostituisci $y$ con $f^{- 1} (x)$ per mostrare la risposta finale.

$f^{- 1} (x) = - \frac{\ln (x)}{2 \ln (2)}$

Passaggio 4

Verifica se $f^{- 1} (x) = - \frac{\ln (x)}{2 \ln (2)}$ è l'inverso di $f (x) = {(\frac{1}{4})}^{x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Per verificare l'inverso, controlla se $f^{- 1} (f (x)) = x$ e $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Passaggio 4.2

Calcola $f^{- 1} (f (x))$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1

Imposta la funzione composita per il risultato.

$f^{- 1} (f (x))$

Passaggio 4.2.2

Calcola $f^{- 1} ({(\frac{1}{4})}^{x})$ sostituendo il valore di $f$ in $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} ({(\frac{1}{4})}^{x}) = - \frac{\ln ({(\frac{1}{4})}^{x})}{2 \ln (2)}$

Passaggio 4.2.3

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.3.1

Applica la regola del prodotto a $\frac{1}{4}$ .

$f^{- 1} ({(\frac{1}{4})}^{x}) = - \frac{\ln (\frac{1^{x}}{4^{x}})}{2 \ln (2)}$

Passaggio 4.2.3.2

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$f^{- 1} ({(\frac{1}{4})}^{x}) = - \frac{\ln (\frac{1}{4^{x}})}{2 \ln (2)}$

Passaggio 4.2.4

Semplifica $2 \ln (2)$ spostando $2$ all'interno del logaritmo.

$f^{- 1} ({(\frac{1}{4})}^{x}) = - \frac{\ln (\frac{1}{4^{x}})}{\ln (2^{2})}$

Passaggio 4.2.5

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$f^{- 1} ({(\frac{1}{4})}^{x}) = - \frac{\ln (\frac{1}{4^{x}})}{\ln (4)}$

Passaggio 4.3

Calcola $f (f^{- 1} (x))$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.1

Imposta la funzione composita per il risultato.

$f (f^{- 1} (x))$

Passaggio 4.3.2

Calcola $f (- \frac{\ln (x)}{2 \ln (2)})$ sostituendo il valore di $f^{- 1}$ in $f$ .

$f (- \frac{\ln (x)}{2 \ln (2)}) = {(\frac{1}{4})}^{- \frac{\ln (x)}{2 \ln (2)}}$

Passaggio 4.3.3

Semplifica $2 \ln (2)$ spostando $2$ all'interno del logaritmo.

$f (- \frac{\ln (x)}{2 \ln (2)}) = {(\frac{1}{4})}^{- \frac{\ln (x)}{\ln (2^{2})}}$

Passaggio 4.3.4

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.4.1

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$f (- \frac{\ln (x)}{2 \ln (2)}) = {(\frac{1}{4})}^{- \frac{\ln (x)}{\ln (4)}}$

Passaggio 4.3.4.2

Applica la regola del prodotto a $\frac{1}{4}$ .

$f (- \frac{\ln (x)}{2 \ln (2)}) = \frac{1^{- \frac{\ln (x)}{\ln (4)}}}{4^{- \frac{\ln (x)}{\ln (4)}}}$

Passaggio 4.3.4.3

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$f (- \frac{\ln (x)}{2 \ln (2)}) = \frac{1}{4^{- \frac{\ln (x)}{\ln (4)}}}$

Passaggio 4.3.5

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.5.1

Usa la variazione della regola base $\frac{\log_{b} (x)}{\log_{b} (a)} = \log_{a} (x)$ .

$f (- \frac{\ln (x)}{2 \ln (2)}) = \frac{1}{4^{- \log_{4} (x)}}$

Passaggio 4.3.5.2

Semplifica $- \log_{4} (x)$ spostando $- 1$ all'interno del logaritmo.

$f (- \frac{\ln (x)}{2 \ln (2)}) = \frac{1}{4^{\log_{4} (x^{- 1})}}$

Passaggio 4.3.5.3

L'esponenziazione e il logaritmo sono funzioni inverse.

$f (- \frac{\ln (x)}{2 \ln (2)}) = \frac{1}{x^{- 1}}$

Passaggio 4.3.5.4

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f (- \frac{\ln (x)}{2 \ln (2)}) = \frac{1}{\frac{1}{x}}$

Passaggio 4.3.6

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$f (- \frac{\ln (x)}{2 \ln (2)}) = 1 x$

Passaggio 4.3.7

Moltiplica $x$ per $1$ .

$f (- \frac{\ln (x)}{2 \ln (2)}) = x$

Passaggio 4.4

Poiché $f^{- 1} (f (x)) = x$ e $f (f^{- 1} (x)) = x$ , allora $f^{- 1} (x) = - \frac{\ln (x)}{2 \ln (2)}$ è l'inverso di $f (x) = {(\frac{1}{4})}^{x}$ .

$f^{- 1} (x) = - \frac{\ln (x)}{2 \ln (2)}$