Algebra Esempi

$5 y^{2} + 2 x - 30 y = - 49$

Passaggio 1

Sposta tutti i termini non contenenti $x$ sul lato destro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Sottrai $5 y^{2}$ da entrambi i lati dell'equazione.

$2 x - 30 y = - 49 - 5 y^{2}$

Passaggio 1.2

Somma $30 y$ a entrambi i lati dell'equazione.

$2 x = - 49 - 5 y^{2} + 30 y$

Passaggio 2

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 x = - 49 - 5 y^{2} + 30 y$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 x = - 49 - 5 y^{2} + 30 y$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 49}{2} + \frac{- 5 y^{2}}{2} + \frac{30 y}{2}$

Passaggio 2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 49}{2} + \frac{- 5 y^{2}}{2} + \frac{30 y}{2}$

Passaggio 2.2.1.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x = \frac{- 49}{2} + \frac{- 5 y^{2}}{2} + \frac{30 y}{2}$

Passaggio 2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$x = - \frac{49}{2} + \frac{- 5 y^{2}}{2} + \frac{30 y}{2}$

Passaggio 2.3.1.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$x = - \frac{49}{2} - \frac{5 y^{2}}{2} + \frac{30 y}{2}$

Passaggio 2.3.1.3

Elimina il fattore comune di $30$ e $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1.3.1

Scomponi $2$ da $30 y$ .

$x = - \frac{49}{2} - \frac{5 y^{2}}{2} + \frac{2 (15 y)}{2}$

Passaggio 2.3.1.3.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1.3.2.1

Scomponi $2$ da $2$ .

$x = - \frac{49}{2} - \frac{5 y^{2}}{2} + \frac{2 (15 y)}{2 (1)}$

Passaggio 2.3.1.3.2.2

Elimina il fattore comune.

$x = - \frac{49}{2} - \frac{5 y^{2}}{2} + \frac{2 (15 y)}{2 \cdot 1}$

Passaggio 2.3.1.3.2.3

Riscrivi l'espressione.

$x = - \frac{49}{2} - \frac{5 y^{2}}{2} + \frac{15 y}{1}$

Passaggio 2.3.1.3.2.4

Dividi $15 y$ per $1$ .

$x = - \frac{49}{2} - \frac{5 y^{2}}{2} + 15 y$

Passaggio 3

Trova le proprietà della parabola data.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Riscrivi l'equazione nella forma del vertice.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.1

Sposta $- \frac{49}{2}$ .

$x = - \frac{5 y^{2}}{2} + 15 y - \frac{49}{2}$

Passaggio 3.1.2

Completa il quadrato per $- \frac{5 y^{2}}{2} + 15 y - \frac{49}{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.2.1

usa la forma $a x^{2} + b x + c$ per trovare i valori di $a$ , $b$ e $c$ .

$a = - \frac{5}{2}$

$b = 15$

$c = - \frac{49}{2}$

Passaggio 3.1.2.2

Considera la forma del vertice di una parabola.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Passaggio 3.1.2.3

Trova il valore di $d$ usando la formula $d = \frac{b}{2 a}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.2.3.1

Sostituisci i valori di $a$ e $b$ nella formula $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{15}{2 (- \frac{5}{2})}$

Passaggio 3.1.2.3.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.2.3.2.1

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.2.3.2.1.1

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$d = \frac{15}{- 2 (\frac{5}{2})}$

Passaggio 3.1.2.3.2.1.2

$- 2$ e $\frac{5}{2}$ .

$d = \frac{15}{\frac{- 2 \cdot 5}{2}}$

Passaggio 3.1.2.3.2.2

Moltiplica $- 2$ per $5$ .

$d = \frac{15}{\frac{- 10}{2}}$

Passaggio 3.1.2.3.2.3

Dividi $- 10$ per $2$ .

$d = \frac{15}{- 5}$

Passaggio 3.1.2.3.2.4

Dividi $15$ per $- 5$ .

$d = - 3$

Passaggio 3.1.2.4

Trova il valore di $e$ usando la formula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.2.4.1

Sostituisci i valori di $c$ , $b$ e $a$ nella formula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = - \frac{49}{2} - \frac{15^{2}}{4 (- \frac{5}{2})}$

Passaggio 3.1.2.4.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.2.4.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.2.4.2.1.1

Eleva $15$ alla potenza di $2$ .

$e = - \frac{49}{2} - \frac{225}{4 (- \frac{5}{2})}$

Passaggio 3.1.2.4.2.1.2

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.2.4.2.1.2.1

Moltiplica $- 1$ per $4$ .

$e = - \frac{49}{2} - \frac{225}{- 4 (\frac{5}{2})}$

Passaggio 3.1.2.4.2.1.2.2

$- 4$ e $\frac{5}{2}$ .

$e = - \frac{49}{2} - \frac{225}{\frac{- 4 \cdot 5}{2}}$

Passaggio 3.1.2.4.2.1.3

Moltiplica $- 4$ per $5$ .

$e = - \frac{49}{2} - \frac{225}{\frac{- 20}{2}}$

Passaggio 3.1.2.4.2.1.4

Dividi $- 20$ per $2$ .

$e = - \frac{49}{2} - \frac{225}{- 10}$

Passaggio 3.1.2.4.2.1.5

Elimina il fattore comune di $225$ e $- 10$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.2.4.2.1.5.1

Scomponi $5$ da $225$ .

$e = - \frac{49}{2} - \frac{5 (45)}{- 10}$

Passaggio 3.1.2.4.2.1.5.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.2.4.2.1.5.2.1

Scomponi $5$ da $- 10$ .

$e = - \frac{49}{2} - \frac{5 \cdot 45}{5 \cdot - 2}$

Passaggio 3.1.2.4.2.1.5.2.2

Elimina il fattore comune.

$e = - \frac{49}{2} - \frac{5 \cdot 45}{5 \cdot - 2}$

Passaggio 3.1.2.4.2.1.5.2.3

Riscrivi l'espressione.

$e = - \frac{49}{2} - \frac{45}{- 2}$

Passaggio 3.1.2.4.2.1.6

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$e = - \frac{49}{2} - - \frac{45}{2}$

Passaggio 3.1.2.4.2.1.7

Moltiplica $- - \frac{45}{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.2.4.2.1.7.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$e = - \frac{49}{2} + 1 (\frac{45}{2})$

Passaggio 3.1.2.4.2.1.7.2

Moltiplica $\frac{45}{2}$ per $1$ .

$e = - \frac{49}{2} + \frac{45}{2}$

Passaggio 3.1.2.4.2.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$e = \frac{- 49 + 45}{2}$

Passaggio 3.1.2.4.2.3

Somma $- 49$ e $45$ .

$e = \frac{- 4}{2}$

Passaggio 3.1.2.4.2.4

Dividi $- 4$ per $2$ .

$e = - 2$

Passaggio 3.1.2.5

Sostituisci i valori di $a$ , $d$ e $e$ nella formula del vertice di $- \frac{5}{2} {(y - 3)}^{2} - 2$ .

$- \frac{5}{2} {(y - 3)}^{2} - 2$

Passaggio 3.1.3

Imposta $x$ uguale al nuovo lato destro.

$x = - \frac{5}{2} \cdot {(y - 3)}^{2} - 2$

Passaggio 3.2

Usa la forma di vertice, $x = a {(y - k)}^{2} + h$ , per determinare i valori di $a$ , $h$ e $k$ .

$a = - \frac{5}{2}$

$h = - 2$

$k = 3$

Passaggio 3.3

Poiché il valore di $a$ è negativo, la parabola è rivolta a sinistra.

Rivolta a sinistra

Passaggio 3.4

Trova il vertice $(h, k)$ .

$(- 2, 3)$

Passaggio 3.5

Trova $p$ , la distanza dal vertice al fuoco.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.1

Trova la distanza dal vertice a un fuoco della parabola usando la seguente formula.

$\frac{1}{4 a}$

Passaggio 3.5.2

Sostituisci il valore di $a$ nella formula.

$\frac{1}{4 \cdot (- \frac{5}{2})}$

Passaggio 3.5.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.3.1

Elimina il fattore comune di $1$ e $- 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.3.1.1

Riscrivi $1$ come $- 1 (- 1)$ .

$\frac{- 1 (- 1)}{4 \cdot (- \frac{5}{2})}$

Passaggio 3.5.3.1.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{1}{4 (\frac{5}{2})}$

Passaggio 3.5.3.2

$4$ e $\frac{5}{2}$ .

$- \frac{1}{\frac{4 \cdot 5}{2}}$

Passaggio 3.5.3.3

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.3.3.1

Moltiplica $4$ per $5$ .

$- \frac{1}{\frac{20}{2}}$

Passaggio 3.5.3.3.2

Dividi $20$ per $2$ .

$- \frac{1}{10}$

Passaggio 3.6

Trova il fuoco.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.6.1

È possibile trovare il fuoco di una parabola sommando $p$ alla coordinata x $h$ se la parabola è rivolta verso sinistra o destra.

$(h + p, k)$

Passaggio 3.6.2

Sostituisci i valori noti di $h$ , $p$ e $k$ nella formula e semplifica.

$(- \frac{21}{10}, 3)$

Passaggio 3.7

Individua l'asse di simmetria trovando la retta che passa per il vertice e il fuoco.

$y = 3$

Passaggio 3.8

Trova la direttrice.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.8.1

La direttrice di una parabola è la retta verticale trovata sottraendo $p$ dalla coordinata x $h$ del vertice se la parabola è rivolta verso sinistra o destra.

$x = h - p$

Passaggio 3.8.2

Sostituisci i valori noti di $p$ e $h$ nella formula e semplifica.

$x = - \frac{19}{10}$

Passaggio 3.9

Usa le proprietà della parabola per analizzare e rappresentare graficamente la parabola.

Direzione: si apre a sinistra

Vertice: $(- 2, 3)$

Fuoco: $(- \frac{21}{10}, 3)$

Asse di simmetria: $y = 3$

Direttrice: $x = - \frac{19}{10}$

Direzione: si apre a sinistra

Vertice: $(- 2, 3)$

Fuoco: $(- \frac{21}{10}, 3)$

Asse di simmetria: $y = 3$

Direttrice: $x = - \frac{19}{10}$

Passaggio 4

Seleziona alcuni valori di $x$ e inseriscili nell'equazione per trovare i corrispondenti valori di $y$ . I valori di $x$ devono essere selezionati attorno al vertice.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Sostituisci il valore $- 4$ di $x$ in $f (x) = \frac{15 + \sqrt{10 (- x - 2)}}{5}$ . In questo caso, il punto è $(- 4, 3.89442719)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.1

Sostituisci la variabile $x$ con $- 4$ nell'espressione.

$f (- 4) = \frac{15 + \sqrt{10 (- (- 4) - 2)}}{5}$

Passaggio 4.1.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.1.1

Moltiplica $- 1$ per $- 4$ .

$f (- 4) = \frac{15 + \sqrt{10 (4 - 2)}}{5}$

Passaggio 4.1.2.1.2

Sottrai $2$ da $4$ .

$f (- 4) = \frac{15 + \sqrt{10 \cdot 2}}{5}$

Passaggio 4.1.2.1.3

Moltiplica $10$ per $2$ .

$f (- 4) = \frac{15 + \sqrt{20}}{5}$

Passaggio 4.1.2.1.4

Riscrivi $20$ come $2^{2} \cdot 5$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.1.4.1

Scomponi $4$ da $20$ .

$f (- 4) = \frac{15 + \sqrt{4 (5)}}{5}$

Passaggio 4.1.2.1.4.2

Riscrivi $4$ come $2^{2}$ .

$f (- 4) = \frac{15 + \sqrt{2^{2} \cdot 5}}{5}$

Passaggio 4.1.2.1.5

Estrai i termini dal radicale.

$f (- 4) = \frac{15 + 2 \sqrt{5}}{5}$

Passaggio 4.1.2.2

La risposta finale è $\frac{15 + 2 \sqrt{5}}{5}$ .

$y = \frac{15 + 2 \sqrt{5}}{5}$

Passaggio 4.1.3

Converti $\frac{15 + 2 \sqrt{5}}{5}$ in decimale.

$= 3.89442719$

Passaggio 4.2

Sostituisci il valore $- 4$ di $x$ in $f (x) = \frac{15 - \sqrt{10 (- x - 2)}}{5}$ . In questo caso, il punto è $(- 4, 2.1055728)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1

Sostituisci la variabile $x$ con $- 4$ nell'espressione.

$f (- 4) = \frac{15 - \sqrt{10 (- (- 4) - 2)}}{5}$

Passaggio 4.2.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.2.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.2.1.1

Moltiplica $- 1$ per $- 4$ .

$f (- 4) = \frac{15 - \sqrt{10 (4 - 2)}}{5}$

Passaggio 4.2.2.1.2

Sottrai $2$ da $4$ .

$f (- 4) = \frac{15 - \sqrt{10 \cdot 2}}{5}$

Passaggio 4.2.2.1.3

Moltiplica $10$ per $2$ .

$f (- 4) = \frac{15 - \sqrt{20}}{5}$

Passaggio 4.2.2.1.4

Riscrivi $20$ come $2^{2} \cdot 5$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.2.1.4.1

Scomponi $4$ da $20$ .

$f (- 4) = \frac{15 - \sqrt{4 (5)}}{5}$

Passaggio 4.2.2.1.4.2

Riscrivi $4$ come $2^{2}$ .

$f (- 4) = \frac{15 - \sqrt{2^{2} \cdot 5}}{5}$

Passaggio 4.2.2.1.5

Estrai i termini dal radicale.

$f (- 4) = \frac{15 - (2 \sqrt{5})}{5}$

Passaggio 4.2.2.1.6

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$f (- 4) = \frac{15 - 2 \sqrt{5}}{5}$

Passaggio 4.2.2.2

La risposta finale è $\frac{15 - 2 \sqrt{5}}{5}$ .

$y = \frac{15 - 2 \sqrt{5}}{5}$

Passaggio 4.2.3

Converti $\frac{15 - 2 \sqrt{5}}{5}$ in decimale.

$= 2.1055728$

Passaggio 4.3

Sostituisci il valore $- 3$ di $x$ in $f (x) = \frac{15 + \sqrt{10 (- x - 2)}}{5}$ . In questo caso, il punto è $(- 3, 3.63245553)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.1

Sostituisci la variabile $x$ con $- 3$ nell'espressione.

$f (- 3) = \frac{15 + \sqrt{10 (- (- 3) - 2)}}{5}$

Passaggio 4.3.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.1.1

Moltiplica $- 1$ per $- 3$ .

$f (- 3) = \frac{15 + \sqrt{10 (3 - 2)}}{5}$

Passaggio 4.3.2.1.2

Sottrai $2$ da $3$ .

$f (- 3) = \frac{15 + \sqrt{10 \cdot 1}}{5}$

Passaggio 4.3.2.1.3

Moltiplica $10$ per $1$ .

$f (- 3) = \frac{15 + \sqrt{10}}{5}$

Passaggio 4.3.2.2

La risposta finale è $\frac{15 + \sqrt{10}}{5}$ .

$y = \frac{15 + \sqrt{10}}{5}$

Passaggio 4.3.3

Converti $\frac{15 + \sqrt{10}}{5}$ in decimale.

$= 3.63245553$

Passaggio 4.4

Sostituisci il valore $- 3$ di $x$ in $f (x) = \frac{15 - \sqrt{10 (- x - 2)}}{5}$ . In questo caso, il punto è $(- 3, 2.36754446)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.4.1

Sostituisci la variabile $x$ con $- 3$ nell'espressione.

$f (- 3) = \frac{15 - \sqrt{10 (- (- 3) - 2)}}{5}$

Passaggio 4.4.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.4.2.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.4.2.1.1

Moltiplica $- 1$ per $- 3$ .

$f (- 3) = \frac{15 - \sqrt{10 (3 - 2)}}{5}$

Passaggio 4.4.2.1.2

Sottrai $2$ da $3$ .

$f (- 3) = \frac{15 - \sqrt{10 \cdot 1}}{5}$

Passaggio 4.4.2.1.3

Moltiplica $10$ per $1$ .

$f (- 3) = \frac{15 - \sqrt{10}}{5}$

Passaggio 4.4.2.2

La risposta finale è $\frac{15 - \sqrt{10}}{5}$ .

$y = \frac{15 - \sqrt{10}}{5}$

Passaggio 4.4.3

Converti $\frac{15 - \sqrt{10}}{5}$ in decimale.

$= 2.36754446$

Passaggio 4.5

Rappresenta graficamente la parabola usando le sue proprietà e i punti selezionati.

$\begin{array}{c} x & y \\ - 4 & 3.89 \\ - 4 & 2.11 \\ - 3 & 3.63 \\ - 3 & 2.37 \\ - 2 & 3 \end{array}$

Passaggio 5

Rappresenta graficamente la parabola usando le sue proprietà e i punti selezionati.

Direzione: si apre a sinistra

Vertice: $(- 2, 3)$

Fuoco: $(- \frac{21}{10}, 3)$

Asse di simmetria: $y = 3$

Direttrice: $x = - \frac{19}{10}$

$\begin{array}{c} x & y \\ - 4 & 3.89 \\ - 4 & 2.11 \\ - 3 & 3.63 \\ - 3 & 2.37 \\ - 2 & 3 \end{array}$

Passaggio 6