Algebra Esempi

$\frac{1 + \frac{1}{x - 1}}{1 + \frac{1}{x^{2} - 1}}$

Passaggio 1

Moltiplica il numeratore e il denominatore della frazione per $(x - 1) (x^{2} - 1)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Moltiplica $\frac{1 + \frac{1}{x - 1}}{1 + \frac{1}{x^{2} - 1}}$ per $\frac{(x - 1) (x^{2} - 1)}{(x - 1) (x^{2} - 1)}$ .

$\frac{(x - 1) (x^{2} - 1)}{(x - 1) (x^{2} - 1)} \cdot \frac{1 + \frac{1}{x - 1}}{1 + \frac{1}{x^{2} - 1}}$

Passaggio 1.2

Combina.

$\frac{(x - 1) (x^{2} - 1) (1 + \frac{1}{x - 1})}{(x - 1) (x^{2} - 1) (1 + \frac{1}{x^{2} - 1})}$

Passaggio 2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{(x - 1) (x^{2} - 1) \cdot 1 + (x - 1) (x^{2} - 1) \frac{1}{x - 1}}{(x - 1) (x^{2} - 1) \cdot 1 + (x - 1) (x^{2} - 1) \frac{1}{x^{2} - 1}}$

Passaggio 3

Semplifica cancellando.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Elimina il fattore comune di $x - 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{(x - 1) (x^{2} - 1) \cdot 1 + (x - 1) (x^{2} - 1) \frac{1}{x - 1}}{(x - 1) (x^{2} - 1) \cdot 1 + (x - 1) (x^{2} - 1) \frac{1}{x^{2} - 1}}$

Passaggio 3.1.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{(x - 1) (x^{2} - 1) \cdot 1 + x^{2} - 1}{(x - 1) (x^{2} - 1) \cdot 1 + (x - 1) (x^{2} - 1) \frac{1}{x^{2} - 1}}$

Passaggio 3.2

Elimina il fattore comune di $x^{2} - 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Scomponi $x^{2} - 1$ da $(x - 1) (x^{2} - 1)$ .

$\frac{(x - 1) (x^{2} - 1) \cdot 1 + x^{2} - 1}{(x - 1) (x^{2} - 1) \cdot 1 + (x^{2} - 1) (x - 1) \frac{1}{x^{2} - 1}}$

Passaggio 3.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{(x - 1) (x^{2} - 1) \cdot 1 + x^{2} - 1}{(x - 1) (x^{2} - 1) \cdot 1 + (x^{2} - 1) (x - 1) \frac{1}{x^{2} - 1}}$

Passaggio 3.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{(x - 1) (x^{2} - 1) \cdot 1 + x^{2} - 1}{(x - 1) (x^{2} - 1) \cdot 1 + x - 1}$

Passaggio 4

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Espandi $(x - 1) (x^{2} - 1)$ usando il metodo FOIL.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{(x (x^{2} - 1) - 1 (x^{2} - 1)) \cdot 1 + x^{2} - 1}{(x - 1) (x^{2} - 1) \cdot 1 + x - 1}$

Passaggio 4.1.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{(x \cdot x^{2} + x \cdot - 1 - 1 (x^{2} - 1)) \cdot 1 + x^{2} - 1}{(x - 1) (x^{2} - 1) \cdot 1 + x - 1}$

Passaggio 4.1.3

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{(x \cdot x^{2} + x \cdot - 1 - 1 x^{2} - 1 \cdot - 1) \cdot 1 + x^{2} - 1}{(x - 1) (x^{2} - 1) \cdot 1 + x - 1}$

Passaggio 4.2

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1

Moltiplica $x$ per $x^{2}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1.1

Moltiplica $x$ per $x^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1.1.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$\frac{(x^{1} x^{2} + x \cdot - 1 - 1 x^{2} - 1 \cdot - 1) \cdot 1 + x^{2} - 1}{(x - 1) (x^{2} - 1) \cdot 1 + x - 1}$

Passaggio 4.2.1.1.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{(x^{1 + 2} + x \cdot - 1 - 1 x^{2} - 1 \cdot - 1) \cdot 1 + x^{2} - 1}{(x - 1) (x^{2} - 1) \cdot 1 + x - 1}$

Passaggio 4.2.1.2

Somma $1$ e $2$ .

$\frac{(x^{3} + x \cdot - 1 - 1 x^{2} - 1 \cdot - 1) \cdot 1 + x^{2} - 1}{(x - 1) (x^{2} - 1) \cdot 1 + x - 1}$

Passaggio 4.2.2

Sposta $- 1$ alla sinistra di $x$ .

$\frac{(x^{3} - 1 \cdot x - 1 x^{2} - 1 \cdot - 1) \cdot 1 + x^{2} - 1}{(x - 1) (x^{2} - 1) \cdot 1 + x - 1}$

Passaggio 4.2.3

Riscrivi $- 1 x$ come $- x$ .

$\frac{(x^{3} - x - 1 x^{2} - 1 \cdot - 1) \cdot 1 + x^{2} - 1}{(x - 1) (x^{2} - 1) \cdot 1 + x - 1}$

Passaggio 4.2.4

Riscrivi $- 1 x^{2}$ come $- x^{2}$ .

$\frac{(x^{3} - x - x^{2} - 1 \cdot - 1) \cdot 1 + x^{2} - 1}{(x - 1) (x^{2} - 1) \cdot 1 + x - 1}$

Passaggio 4.2.5

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$\frac{(x^{3} - x - x^{2} + 1) \cdot 1 + x^{2} - 1}{(x - 1) (x^{2} - 1) \cdot 1 + x - 1}$

Passaggio 4.3

Moltiplica $x^{3} - x - x^{2} + 1$ per $1$ .

$\frac{x^{3} - x - x^{2} + 1 + x^{2} - 1}{(x - 1) (x^{2} - 1) \cdot 1 + x - 1}$

Passaggio 4.4

Somma $- x^{2}$ e $x^{2}$ .

$\frac{x^{3} - x + 0 + 1 - 1}{(x - 1) (x^{2} - 1) \cdot 1 + x - 1}$

Passaggio 4.5

Somma $x^{3}$ e $0$ .

$\frac{x^{3} - x + 1 - 1}{(x - 1) (x^{2} - 1) \cdot 1 + x - 1}$

Passaggio 4.6

Sottrai $1$ da $1$ .

$\frac{x^{3} - x + 0}{(x - 1) (x^{2} - 1) \cdot 1 + x - 1}$

Passaggio 4.7

Somma $x^{3} - x$ e $0$ .

$\frac{x^{3} - x}{(x - 1) (x^{2} - 1) \cdot 1 + x - 1}$

Passaggio 4.8

Riscrivi $x^{3} - x$ in una forma fattorizzata.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.8.1

Scomponi $x$ da $x^{3} - x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.8.1.1

Scomponi $x$ da $x^{3}$ .

$\frac{x \cdot x^{2} - x}{(x - 1) (x^{2} - 1) \cdot 1 + x - 1}$

Passaggio 4.8.1.2

Scomponi $x$ da $- x$ .

$\frac{x \cdot x^{2} + x \cdot - 1}{(x - 1) (x^{2} - 1) \cdot 1 + x - 1}$

Passaggio 4.8.1.3

Scomponi $x$ da $x \cdot x^{2} + x \cdot - 1$ .

$\frac{x (x^{2} - 1)}{(x - 1) (x^{2} - 1) \cdot 1 + x - 1}$

Passaggio 4.8.2

Riscrivi $1$ come $1^{2}$ .

$\frac{x (x^{2} - 1^{2})}{(x - 1) (x^{2} - 1) \cdot 1 + x - 1}$

Passaggio 4.8.3

Poiché entrambi i termini sono dei quadrati perfetti, fattorizza usando la formula della differenza di quadrati, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ dove $a = x$ e $b = 1$ .

$\frac{x (x + 1) (x - 1)}{(x - 1) (x^{2} - 1) \cdot 1 + x - 1}$

Passaggio 5

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Espandi $(x - 1) (x^{2} - 1)$ usando il metodo FOIL.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{x (x + 1) (x - 1)}{(x (x^{2} - 1) - 1 (x^{2} - 1)) \cdot 1 + x - 1}$

Passaggio 5.1.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{x (x + 1) (x - 1)}{(x \cdot x^{2} + x \cdot - 1 - 1 (x^{2} - 1)) \cdot 1 + x - 1}$

Passaggio 5.1.3

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{x (x + 1) (x - 1)}{(x \cdot x^{2} + x \cdot - 1 - 1 x^{2} - 1 \cdot - 1) \cdot 1 + x - 1}$

Passaggio 5.2

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1

Moltiplica $x$ per $x^{2}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1.1

Moltiplica $x$ per $x^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1.1.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$\frac{x (x + 1) (x - 1)}{(x^{1} x^{2} + x \cdot - 1 - 1 x^{2} - 1 \cdot - 1) \cdot 1 + x - 1}$

Passaggio 5.2.1.1.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{x (x + 1) (x - 1)}{(x^{1 + 2} + x \cdot - 1 - 1 x^{2} - 1 \cdot - 1) \cdot 1 + x - 1}$

Passaggio 5.2.1.2

Somma $1$ e $2$ .

$\frac{x (x + 1) (x - 1)}{(x^{3} + x \cdot - 1 - 1 x^{2} - 1 \cdot - 1) \cdot 1 + x - 1}$

Passaggio 5.2.2

Sposta $- 1$ alla sinistra di $x$ .

$\frac{x (x + 1) (x - 1)}{(x^{3} - 1 \cdot x - 1 x^{2} - 1 \cdot - 1) \cdot 1 + x - 1}$

Passaggio 5.2.3

Riscrivi $- 1 x$ come $- x$ .

$\frac{x (x + 1) (x - 1)}{(x^{3} - x - 1 x^{2} - 1 \cdot - 1) \cdot 1 + x - 1}$

Passaggio 5.2.4

Riscrivi $- 1 x^{2}$ come $- x^{2}$ .

$\frac{x (x + 1) (x - 1)}{(x^{3} - x - x^{2} - 1 \cdot - 1) \cdot 1 + x - 1}$

Passaggio 5.2.5

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$\frac{x (x + 1) (x - 1)}{(x^{3} - x - x^{2} + 1) \cdot 1 + x - 1}$

Passaggio 5.3

Moltiplica $x^{3} - x - x^{2} + 1$ per $1$ .

$\frac{x (x + 1) (x - 1)}{x^{3} - x - x^{2} + 1 + x - 1}$

Passaggio 5.4

Somma $- x$ e $x$ .

$\frac{x (x + 1) (x - 1)}{x^{3} - x^{2} + 1 + 0 - 1}$

Passaggio 5.5

Somma $x^{3}$ e $0$ .

$\frac{x (x + 1) (x - 1)}{x^{3} - x^{2} + 1 - 1}$

Passaggio 5.6

Sottrai $1$ da $1$ .

$\frac{x (x + 1) (x - 1)}{x^{3} - x^{2} + 0}$

Passaggio 5.7

Somma $x^{3} - x^{2}$ e $0$ .

$\frac{x (x + 1) (x - 1)}{x^{3} - x^{2}}$

Passaggio 5.8

Scomponi $x^{2}$ da $x^{3} - x^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.8.1

Scomponi $x^{2}$ da $x^{3}$ .

$\frac{x (x + 1) (x - 1)}{x^{2} x - x^{2}}$

Passaggio 5.8.2

Scomponi $x^{2}$ da $- x^{2}$ .

$\frac{x (x + 1) (x - 1)}{x^{2} x + x^{2} \cdot - 1}$

Passaggio 5.8.3

Scomponi $x^{2}$ da $x^{2} x + x^{2} \cdot - 1$ .

$\frac{x (x + 1) (x - 1)}{x^{2} (x - 1)}$

Passaggio 6

Riduci l'espressione eliminando i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Elimina il fattore comune di $x$ e $x^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.1

Scomponi $x$ da $x (x + 1) (x - 1)$ .

$\frac{x ((x + 1) (x - 1))}{x^{2} (x - 1)}$

Passaggio 6.1.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.2.1

Scomponi $x$ da $x^{2} (x - 1)$ .

$\frac{x ((x + 1) (x - 1))}{x (x (x - 1))}$

Passaggio 6.1.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{x ((x + 1) (x - 1))}{x (x (x - 1))}$

Passaggio 6.1.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{(x + 1) (x - 1)}{x (x - 1)}$

Passaggio 6.2

Elimina il fattore comune di $x - 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{(x + 1) (x - 1)}{x (x - 1)}$

Passaggio 6.2.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{x + 1}{x}$