Algebra Esempi

$f (x) = - {(x + 3)}^{2} + \frac{1}{4}$

Passaggio 1

La funzione genitore è la forma più semplice del tipo di funzione data.

$g (x) = x^{2}$

Passaggio 2

La trasformazione descritta è da $g (x) = x^{2}$ a $f (x) = - {(x + 3)}^{2} + \frac{1}{4}$ .

$g (x) = x^{2} \to f (x) = - {(x + 3)}^{2} + \frac{1}{4}$

Passaggio 3

Trova la forma del vertice di $f (x) = - {(x + 3)}^{2} + \frac{1}{4}$ .

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Passaggio 3.1

Isola $y$ sul lato sinistro dell'equazione.

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Passaggio 3.1.1

Per scrivere $- {(x + 3)}^{2}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{4}{4}$ .

$y = - {(x + 3)}^{2} \cdot \frac{4}{4} + \frac{1}{4}$

Passaggio 3.1.2

$- {(x + 3)}^{2}$ e $\frac{4}{4}$ .

$y = \frac{- {(x + 3)}^{2} \cdot 4}{4} + \frac{1}{4}$

Passaggio 3.1.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$y = \frac{- {(x + 3)}^{2} \cdot 4 + 1}{4}$

Passaggio 3.1.4

Moltiplica $4$ per $- 1$ .

$y = \frac{- 4 {(x + 3)}^{2} + 1}{4}$

Passaggio 3.1.5

Riordina i termini.

$y = \frac{1}{4} \cdot (- 4 {(x + 3)}^{2} + 1)$

Passaggio 3.2

Completa il quadrato per $\frac{1}{4} \cdot (- 4 {(x + 3)}^{2} + 1)$ .

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Passaggio 3.2.1

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 3.2.1.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 3.2.1.1.1

Riscrivi ${(x + 3)}^{2}$ come $(x + 3) (x + 3)$ .

$\frac{1}{4} \cdot (- 4 ((x + 3) (x + 3)) + 1)$

Passaggio 3.2.1.1.2

Espandi $(x + 3) (x + 3)$ usando il metodo FOIL.

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Passaggio 3.2.1.1.2.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{1}{4} \cdot (- 4 (x (x + 3) + 3 (x + 3)) + 1)$

Passaggio 3.2.1.1.2.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{1}{4} \cdot (- 4 (x \cdot x + x \cdot 3 + 3 (x + 3)) + 1)$

Passaggio 3.2.1.1.2.3

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{1}{4} \cdot (- 4 (x \cdot x + x \cdot 3 + 3 x + 3 \cdot 3) + 1)$

Passaggio 3.2.1.1.3

Semplifica e combina i termini simili.

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Passaggio 3.2.1.1.3.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 3.2.1.1.3.1.1

Moltiplica $x$ per $x$ .

$\frac{1}{4} \cdot (- 4 (x^{2} + x \cdot 3 + 3 x + 3 \cdot 3) + 1)$

Passaggio 3.2.1.1.3.1.2

Sposta $3$ alla sinistra di $x$ .

$\frac{1}{4} \cdot (- 4 (x^{2} + 3 \cdot x + 3 x + 3 \cdot 3) + 1)$

Passaggio 3.2.1.1.3.1.3

Moltiplica $3$ per $3$ .

$\frac{1}{4} \cdot (- 4 (x^{2} + 3 x + 3 x + 9) + 1)$

Passaggio 3.2.1.1.3.2

Somma $3 x$ e $3 x$ .

$\frac{1}{4} \cdot (- 4 (x^{2} + 6 x + 9) + 1)$

Passaggio 3.2.1.1.4

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{1}{4} \cdot (- 4 x^{2} - 4 (6 x) - 4 \cdot 9 + 1)$

Passaggio 3.2.1.1.5

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1.1.5.1

Moltiplica $6$ per $- 4$ .

$\frac{1}{4} \cdot (- 4 x^{2} - 24 x - 4 \cdot 9 + 1)$

Passaggio 3.2.1.1.5.2

Moltiplica $- 4$ per $9$ .

$\frac{1}{4} \cdot (- 4 x^{2} - 24 x - 36 + 1)$

Passaggio 3.2.1.2

Somma $- 36$ e $1$ .

$\frac{1}{4} \cdot (- 4 x^{2} - 24 x - 35)$

Passaggio 3.2.1.3

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{1}{4} (- 4 x^{2}) + \frac{1}{4} (- 24 x) + \frac{1}{4} \cdot - 35$

Passaggio 3.2.1.4

Semplifica.

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Passaggio 3.2.1.4.1

Elimina il fattore comune di $4$ .

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Passaggio 3.2.1.4.1.1

Scomponi $4$ da $- 4 x^{2}$ .

$\frac{1}{4} (4 (- x^{2})) + \frac{1}{4} (- 24 x) + \frac{1}{4} \cdot - 35$

Passaggio 3.2.1.4.1.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{1}{4} (4 (- x^{2})) + \frac{1}{4} (- 24 x) + \frac{1}{4} \cdot - 35$

Passaggio 3.2.1.4.1.3

Riscrivi l'espressione.

$- x^{2} + \frac{1}{4} (- 24 x) + \frac{1}{4} \cdot - 35$

Passaggio 3.2.1.4.2

Elimina il fattore comune di $4$ .

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Passaggio 3.2.1.4.2.1

Scomponi $4$ da $- 24 x$ .

$- x^{2} + \frac{1}{4} (4 (- 6 x)) + \frac{1}{4} \cdot - 35$

Passaggio 3.2.1.4.2.2

Elimina il fattore comune.

$- x^{2} + \frac{1}{4} (4 (- 6 x)) + \frac{1}{4} \cdot - 35$

Passaggio 3.2.1.4.2.3

Riscrivi l'espressione.

$- x^{2} - 6 x + \frac{1}{4} \cdot - 35$

Passaggio 3.2.1.4.3

$\frac{1}{4}$ e $- 35$ .

$- x^{2} - 6 x + \frac{- 35}{4}$

Passaggio 3.2.1.5

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- x^{2} - 6 x - \frac{35}{4}$

Passaggio 3.2.2

Utilizza la forma $a x^{2} + b x + c$ per trovare i valori di $a$ , $b$ e $c$ .

$a = - 1$

$b = - 6$

$c = - \frac{35}{4}$

Passaggio 3.2.3

Considera la forma del vertice di una parabola.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Passaggio 3.2.4

Trova il valore di $d$ usando la formula $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Passaggio 3.2.4.1

Sostituisci i valori di $a$ e $b$ nella formula $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{- 6}{2 \cdot - 1}$

Passaggio 3.2.4.2

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 3.2.4.2.1

Elimina il fattore comune di $- 6$ e $2$ .

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Passaggio 3.2.4.2.1.1

Scomponi $2$ da $- 6$ .

$d = \frac{2 \cdot - 3}{2 \cdot - 1}$

Passaggio 3.2.4.2.1.2

Sposta quello negativo dal denominatore di $\frac{- 3}{- 1}$ .

$d = - 1 \cdot - 3$

Passaggio 3.2.4.2.2

Riscrivi $- 1 \cdot - 3$ come $- - 3$ .

$d = - - 3$

Passaggio 3.2.4.2.3

Moltiplica $- 1$ per $- 3$ .

$d = 3$

Passaggio 3.2.5

Trova il valore di $e$ usando la formula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Passaggio 3.2.5.1

Sostituisci i valori di $c$ , $b$ e $a$ nella formula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = - \frac{35}{4} - \frac{{(- 6)}^{2}}{4 \cdot - 1}$

Passaggio 3.2.5.2

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 3.2.5.2.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 3.2.5.2.1.1

Eleva $- 6$ alla potenza di $2$ .

$e = - \frac{35}{4} - \frac{36}{4 \cdot - 1}$

Passaggio 3.2.5.2.1.2

Moltiplica $4$ per $- 1$ .

$e = - \frac{35}{4} - \frac{36}{- 4}$

Passaggio 3.2.5.2.1.3

Dividi $36$ per $- 4$ .

$e = - \frac{35}{4} - - 9$

Passaggio 3.2.5.2.1.4

Moltiplica $- 1$ per $- 9$ .

$e = - \frac{35}{4} + 9$

Passaggio 3.2.5.2.2

Per scrivere $9$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{4}{4}$ .

$e = - \frac{35}{4} + 9 \cdot \frac{4}{4}$

Passaggio 3.2.5.2.3

$9$ e $\frac{4}{4}$ .

$e = - \frac{35}{4} + \frac{9 \cdot 4}{4}$

Passaggio 3.2.5.2.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$e = \frac{- 35 + 9 \cdot 4}{4}$

Passaggio 3.2.5.2.5

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 3.2.5.2.5.1

Moltiplica $9$ per $4$ .

$e = \frac{- 35 + 36}{4}$

Passaggio 3.2.5.2.5.2

Somma $- 35$ e $36$ .

$e = \frac{1}{4}$

Passaggio 3.2.6

Sostituisci i valori di $a$ , $d$ e $e$ nella forma del vertice di $- {(x + 3)}^{2} + \frac{1}{4}$ .

$- {(x + 3)}^{2} + \frac{1}{4}$

Passaggio 3.3

Imposta $y$ uguale al nuovo lato destro.

$y = - {(x + 3)}^{2} + \frac{1}{4}$

Passaggio 4

La traslazione orizzontale dipende dal valore di $h$ . La traslazione orizzontale è descritta come:

$f (x) = f (x + h)$ - Il grafico è traslato a sinistra di $h$ unità.

$f (x) = f (x - h)$ - Il grafico è traslato a destra di $h$ unità.

Traslazione orizzontale: $3$ unità a sinistra

Passaggio 5

La traslazione verticale dipende dal valore di $k$ . La traslazione verticale è descritta come:

$f (x) = f (x) + k$ - Il grafico è traslato verso l'alto di $k$ unità.

$f (x) = f (x) - k$ - The graph is shifted down $k$ units.

Traslazione verticale: verso l'alto di $0.25$ unità

Passaggio 6

Il grafico è riflesso sull'asse x quando $f (x) = - f (x)$ .

Riflessione sull'asse x: riflessa

Passaggio 7

Il grafico è riflesso sull'asse y quando $f (x) = f (- x)$ .

Riflessione sull'asse y: nessuna

Passaggio 8

Compressione e allungamento dipendono dal valore di $a$ .

Quando $a$ è maggiore di $1$ : in dilatazione verticale

Quando $a$ rientra nell'intervallo $0$ - $1$ : in compressione verticale

Compressione o dilatazione verticale: no

Passaggio 9

Confronta ed elenca le trasformazioni.

Funzione base: $g (x) = x^{2}$

Traslazione orizzontale: $3$ unità a sinistra

Traslazione verticale: verso l'alto di $0.25$ unità

Riflessione sull'asse x: riflessa

Riflessione sull'asse y: nessuna

Compressione o dilatazione verticale: no

Passaggio 10