Algebra Esempi

$x^{4} - 4 x^{3} - x^{2} + 16 x - 12$

Passaggio 1

Raggruppa i termini.

$x^{4} - x^{2} - 4 x^{3} + 16 x - 12$

Passaggio 2

Scomponi $x^{2}$ da $x^{4} - x^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Scomponi $x^{2}$ da $x^{4}$ .

$x^{2} x^{2} - x^{2} - 4 x^{3} + 16 x - 12$

Passaggio 2.2

Scomponi $x^{2}$ da $- x^{2}$ .

$x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot - 1 - 4 x^{3} + 16 x - 12$

Passaggio 2.3

Scomponi $x^{2}$ da $x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot - 1$ .

$x^{2} (x^{2} - 1) - 4 x^{3} + 16 x - 12$

Passaggio 3

Riscrivi $1$ come $1^{2}$ .

$x^{2} (x^{2} - 1^{2}) - 4 x^{3} + 16 x - 12$

Passaggio 4

Scomponi.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Poiché entrambi i termini sono dei quadrati perfetti, fattorizza usando la formula della differenza di quadrati, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ dove $a = x$ e $b = 1$ .

$x^{2} ((x + 1) (x - 1)) - 4 x^{3} + 16 x - 12$

Passaggio 4.2

Rimuovi le parentesi non necessarie.

$x^{2} (x + 1) (x - 1) - 4 x^{3} + 16 x - 12$

Passaggio 5

Scomponi $4$ da $- 4 x^{3} + 16 x - 12$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Scomponi $4$ da $- 4 x^{3}$ .

$x^{2} (x + 1) (x - 1) + 4 (- x^{3}) + 16 x - 12$

Passaggio 5.2

Scomponi $4$ da $16 x$ .

$x^{2} (x + 1) (x - 1) + 4 (- x^{3}) + 4 (4 x) - 12$

Passaggio 5.3

Scomponi $4$ da $- 12$ .

$x^{2} (x + 1) (x - 1) + 4 (- x^{3}) + 4 (4 x) + 4 (- 3)$

Passaggio 5.4

Scomponi $4$ da $4 (- x^{3}) + 4 (4 x)$ .

$x^{2} (x + 1) (x - 1) + 4 (- x^{3} + 4 x) + 4 (- 3)$

Passaggio 5.5

Scomponi $4$ da $4 (- x^{3} + 4 x) + 4 (- 3)$ .

$x^{2} (x + 1) (x - 1) + 4 (- x^{3} + 4 x - 3)$

Passaggio 6

Scomponi.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Scomponi $- x^{3} + 4 x - 3$ usando il teorema delle radici razionali.

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Passaggio 6.1.1

Se una funzione polinomiale ha coefficienti interi, allora ogni zero razionale avrà la forma $\frac{p}{q}$ , dove $p$ è un fattore della costante e $q$ è un fattore del coefficiente direttivo.

$p = \pm 1, \pm 3$

$q = \pm 1$

Passaggio 6.1.2

Trova ciascuna combinazione di $\pm \frac{p}{q}$ . Si tratta delle radici possibili della funzione polinomica.

$\pm 1, \pm 3$

Passaggio 6.1.3

Sostituisci $1$ e semplifica l'espressione. In questo caso, l'espressione è uguale a $0$ quindi $1$ è una radice del polinomio.

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Passaggio 6.1.3.1

Sostituisci $1$ nel polinomio.

$- 1^{3} + 4 \cdot 1 - 3$

Passaggio 6.1.3.2

Eleva $1$ alla potenza di $3$ .

$- 1 \cdot 1 + 4 \cdot 1 - 3$

Passaggio 6.1.3.3

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$- 1 + 4 \cdot 1 - 3$

Passaggio 6.1.3.4

Moltiplica $4$ per $1$ .

$- 1 + 4 - 3$

Passaggio 6.1.3.5

Somma $- 1$ e $4$ .

$3 - 3$

Passaggio 6.1.3.6

Sottrai $3$ da $3$ .

$0$

Passaggio 6.1.4

Poiché $1$ è una radice nota, dividi il polinomio per $x - 1$ per trovare il polinomio quoziente. Questo polinomio può poi essere usato per trovare le radici rimanenti.

$\frac{- x^{3} + 4 x - 3}{x - 1}$

Passaggio 6.1.5

Dividi $- x^{3} + 4 x - 3$ per $x - 1$ .

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Passaggio 6.1.5.1

Imposta i polinomi da dividere. Se non c'è un termine per ogni esponente, inseriscine uno con un valore di $0$ .

$x$

$1$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$4 x$

$3$

Passaggio 6.1.5.2

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $- x^{3}$ per il termine di ordine più alto nel divisore $x$ .

				-	$x^{2}$
	$x$	-	$1$	-	$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$4 x$	-	$3$

Passaggio 6.1.5.3

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

			-	$x^{2}$
$x$	-	$1$	-	$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$4 x$	-	$3$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$

Passaggio 6.1.5.4

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $- x^{3} + x^{2}$

			-	$x^{2}$
$x$	-	$1$	-	$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$4 x$	-	$3$
			+	$x^{3}$	-	$x^{2}$

Passaggio 6.1.5.5

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

			-	$x^{2}$
$x$	-	$1$	-	$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$4 x$	-	$3$
			+	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$x^{2}$

Passaggio 6.1.5.6

Abbassa i termini successivi dal dividendo originale nel dividendo attuale.

			-	$x^{2}$
$x$	-	$1$	-	$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$4 x$	-	$3$
			+	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$x^{2}$	+	$4 x$

Passaggio 6.1.5.7

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $- x^{2}$ per il termine di ordine più alto nel divisore $x$ .

			-	$x^{2}$	-	$x$
$x$	-	$1$	-	$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$4 x$	-	$3$
			+	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$x^{2}$	+	$4 x$

Passaggio 6.1.5.8

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

			-	$x^{2}$	-	$x$
$x$	-	$1$	-	$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$4 x$	-	$3$
			+	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$x^{2}$	+	$4 x$
					-	$x^{2}$	+	$x$

Passaggio 6.1.5.9

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $- x^{2} + x$

			-	$x^{2}$	-	$x$
$x$	-	$1$	-	$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$4 x$	-	$3$
			+	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$x^{2}$	+	$4 x$
					+	$x^{2}$	-	$x$

Passaggio 6.1.5.10

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

			-	$x^{2}$	-	$x$
$x$	-	$1$	-	$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$4 x$	-	$3$
			+	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$x^{2}$	+	$4 x$
					+	$x^{2}$	-	$x$
							+	$3 x$

Passaggio 6.1.5.11

Abbassa i termini successivi dal dividendo originale nel dividendo attuale.

			-	$x^{2}$	-	$x$
$x$	-	$1$	-	$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$4 x$	-	$3$
			+	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$x^{2}$	+	$4 x$
					+	$x^{2}$	-	$x$
							+	$3 x$	-	$3$

Passaggio 6.1.5.12

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $3 x$ per il termine di ordine più alto nel divisore $x$ .

			-	$x^{2}$	-	$x$	+	$3$
$x$	-	$1$	-	$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$4 x$	-	$3$
			+	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$x^{2}$	+	$4 x$
					+	$x^{2}$	-	$x$
							+	$3 x$	-	$3$

Passaggio 6.1.5.13

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

			-	$x^{2}$	-	$x$	+	$3$
$x$	-	$1$	-	$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$4 x$	-	$3$
			+	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$x^{2}$	+	$4 x$
					+	$x^{2}$	-	$x$
							+	$3 x$	-	$3$
							+	$3 x$	-	$3$

Passaggio 6.1.5.14

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $3 x - 3$

			-	$x^{2}$	-	$x$	+	$3$
$x$	-	$1$	-	$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$4 x$	-	$3$
			+	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$x^{2}$	+	$4 x$
					+	$x^{2}$	-	$x$
							+	$3 x$	-	$3$
							-	$3 x$	+	$3$

Passaggio 6.1.5.15

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

			-	$x^{2}$	-	$x$	+	$3$
$x$	-	$1$	-	$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$4 x$	-	$3$
			+	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$x^{2}$	+	$4 x$
					+	$x^{2}$	-	$x$
							+	$3 x$	-	$3$
							-	$3 x$	+	$3$
										$0$

Passaggio 6.1.5.16

Poiché il resto è $0$ , la risposta finale è il quoziente.

$- x^{2} - x + 3$

Passaggio 6.1.6

Scrivi $- x^{3} + 4 x - 3$ come insieme di fattori.

$x^{2} (x + 1) (x - 1) + 4 ((x - 1) (- x^{2} - x + 3))$

Passaggio 6.2

Rimuovi le parentesi non necessarie.

$x^{2} (x + 1) (x - 1) + 4 (x - 1) (- x^{2} - x + 3)$

Passaggio 7

Scomponi $x - 1$ da $x^{2} (x + 1) (x - 1) + 4 (x - 1) (- x^{2} - x + 3)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Scomponi $x - 1$ da $x^{2} (x + 1) (x - 1)$ .

$(x - 1) (x^{2} (x + 1)) + 4 (x - 1) (- x^{2} - x + 3)$

Passaggio 7.2

Scomponi $x - 1$ da $4 (x - 1) (- x^{2} - x + 3)$ .

$(x - 1) (x^{2} (x + 1)) + (x - 1) (4 (- x^{2} - x + 3))$

Passaggio 7.3

Scomponi $x - 1$ da $(x - 1) (x^{2} (x + 1)) + (x - 1) (4 (- x^{2} - x + 3))$ .

$(x - 1) (x^{2} (x + 1) + 4 (- x^{2} - x + 3))$

Passaggio 8

Applica la proprietà distributiva.

$(x - 1) (x^{2} x + x^{2} \cdot 1 + 4 (- x^{2} - x + 3))$

Passaggio 9

Moltiplica $x^{2}$ per $x$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 9.1

Moltiplica $x^{2}$ per $x$ .

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Passaggio 9.1.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$(x - 1) (x^{2} x^{1} + x^{2} \cdot 1 + 4 (- x^{2} - x + 3))$

Passaggio 9.1.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$(x - 1) (x^{2 + 1} + x^{2} \cdot 1 + 4 (- x^{2} - x + 3))$

Passaggio 9.2

Somma $2$ e $1$ .

$(x - 1) (x^{3} + x^{2} \cdot 1 + 4 (- x^{2} - x + 3))$

Passaggio 10

Moltiplica $x^{2}$ per $1$ .

$(x - 1) (x^{3} + x^{2} + 4 (- x^{2} - x + 3))$

Passaggio 11

Applica la proprietà distributiva.

$(x - 1) (x^{3} + x^{2} + 4 (- x^{2}) + 4 (- x) + 4 \cdot 3)$

Passaggio 12

Semplifica.

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Passaggio 12.1

Moltiplica $- 1$ per $4$ .

$(x - 1) (x^{3} + x^{2} - 4 x^{2} + 4 (- x) + 4 \cdot 3)$

Passaggio 12.2

Moltiplica $- 1$ per $4$ .

$(x - 1) (x^{3} + x^{2} - 4 x^{2} - 4 x + 4 \cdot 3)$

Passaggio 12.3

Moltiplica $4$ per $3$ .

$(x - 1) (x^{3} + x^{2} - 4 x^{2} - 4 x + 12)$

Passaggio 13

Sottrai $4 x^{2}$ da $x^{2}$ .

$(x - 1) (x^{3} - 3 x^{2} - 4 x + 12)$

Passaggio 14

Scomponi.

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Passaggio 14.1

Riscrivi $x^{3} - 3 x^{2} - 4 x + 12$ in una forma fattorizzata.

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Passaggio 14.1.1

Metti in evidenza il massimo comune divisore da ciascun gruppo.

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Passaggio 14.1.1.1

Raggruppa i primi due termini e gli ultimi due termini.

$(x - 1) ((x^{3} - 3 x^{2}) - 4 x + 12)$

Passaggio 14.1.1.2

Metti in evidenza il massimo comune divisore (M.C.D.) da ciascun gruppo.

$(x - 1) (x^{2} (x - 3) - 4 (x - 3))$

Passaggio 14.1.2

Scomponi il polinomio mettendo in evidenza il massimo comune divisore, $x - 3$ .

$(x - 1) ((x - 3) (x^{2} - 4))$

Passaggio 14.1.3

Riscrivi $4$ come $2^{2}$ .

$(x - 1) ((x - 3) (x^{2} - 2^{2}))$

Passaggio 14.1.4

Scomponi.

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Passaggio 14.1.4.1

Poiché entrambi i termini sono dei quadrati perfetti, fattorizza usando la formula della differenza di quadrati, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ dove $a = x$ e $b = 2$ .

$(x - 1) ((x - 3) ((x + 2) (x - 2)))$

Passaggio 14.1.4.2

Rimuovi le parentesi non necessarie.

$(x - 1) ((x - 3) (x + 2) (x - 2))$

Passaggio 14.2

Rimuovi le parentesi non necessarie.

$(x - 1) (x - 3) (x + 2) (x - 2)$