Algebra Esempi

$4 x^{4} - 25 x^{2} + 36 \leq 0$

Passaggio 1

Sostituisci $u = x^{2}$ nell'equazione. In questo modo la formula quadratica sarà più facile da usare.

$4 u^{2} - 25 u + 36 = 0$

$u = x^{2}$

Passaggio 2

Scomponi mediante raccoglimento.

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Passaggio 2.1

Per un polinomio della forma $a x^{2} + b x + c$ , riscrivi il termine centrale come somma di due termini il cui prodotto è $a \cdot c = 4 \cdot 36 = 144$ e la cui somma è $b = - 25$ .

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Passaggio 2.1.1

Scomponi $- 25$ da $- 25 u$ .

$4 u^{2} - 25 u + 36 = 0$

Passaggio 2.1.2

Riscrivi $- 25$ come $- 9$ più $- 16$ .

$4 u^{2} + (- 9 - 16) u + 36 = 0$

Passaggio 2.1.3

Applica la proprietà distributiva.

$4 u^{2} - 9 u - 16 u + 36 = 0$

Passaggio 2.2

Metti in evidenza il massimo comune divisore da ciascun gruppo.

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Passaggio 2.2.1

Raggruppa i primi due termini e gli ultimi due termini.

$(4 u^{2} - 9 u) - 16 u + 36 = 0$

Passaggio 2.2.2

Metti in evidenza il massimo comune divisore (M.C.D.) da ciascun gruppo.

$u (4 u - 9) - 4 (4 u - 9) = 0$

Passaggio 2.3

Scomponi il polinomio mettendo in evidenza il massimo comune divisore, $4 u - 9$ .

$(4 u - 9) (u - 4) = 0$

Passaggio 3

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$4 u - 9 = 0$

$u - 4 = 0$

Passaggio 4

Imposta $4 u - 9$ uguale a $0$ e risolvi per $u$ .

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Passaggio 4.1

Imposta $4 u - 9$ uguale a $0$ .

$4 u - 9 = 0$

Passaggio 4.2

Risolvi $4 u - 9 = 0$ per $u$ .

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Passaggio 4.2.1

Somma $9$ a entrambi i lati dell'equazione.

$4 u = 9$

Passaggio 4.2.2

Dividi per $4$ ciascun termine in $4 u = 9$ e semplifica.

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Passaggio 4.2.2.1

Dividi per $4$ ciascun termine in $4 u = 9$ .

$\frac{4 u}{4} = \frac{9}{4}$

Passaggio 4.2.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.2.2.1

Elimina il fattore comune di $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{4 u}{4} = \frac{9}{4}$

Passaggio 4.2.2.2.1.2

Dividi $u$ per $1$ .

$u = \frac{9}{4}$

Passaggio 5

Imposta $u - 4$ uguale a $0$ e risolvi per $u$ .

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Passaggio 5.1

Imposta $u - 4$ uguale a $0$ .

$u - 4 = 0$

Passaggio 5.2

Somma $4$ a entrambi i lati dell'equazione.

$u = 4$

Passaggio 6

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $(4 u - 9) (u - 4) = 0$ vera.

$u = \frac{9}{4}, 4$

Passaggio 7

Sostituisci nuovamente il valore reale di $u = x^{2}$ nell'equazione risolta.

$x^{2} = \frac{9}{4}$

${(x^{2})}^{1} = 4$

Passaggio 8

Risolvi la prima equazione per $x$ .

$x^{2} = \frac{9}{4}$

Passaggio 9

Risolvi l'equazione per $x$ .

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Passaggio 9.1

Trova la radice quadrata specificata di entrambi i lati dell'equazione per eliminare l'esponente sul lato sinistro.

$x = \pm \sqrt{\frac{9}{4}}$

Passaggio 9.2

Semplifica $\pm \sqrt{\frac{9}{4}}$ .

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Passaggio 9.2.1

Riscrivi $\sqrt{\frac{9}{4}}$ come $\frac{\sqrt{9}}{\sqrt{4}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{9}}{\sqrt{4}}$

Passaggio 9.2.2

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 9.2.2.1

Riscrivi $9$ come $3^{2}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{3^{2}}}{\sqrt{4}}$

Passaggio 9.2.2.2

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$x = \pm \frac{3}{\sqrt{4}}$

Passaggio 9.2.3

Semplifica il denominatore.

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Passaggio 9.2.3.1

Riscrivi $4$ come $2^{2}$ .

$x = \pm \frac{3}{\sqrt{2^{2}}}$

Passaggio 9.2.3.2

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$x = \pm \frac{3}{2}$

Passaggio 9.3

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

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Passaggio 9.3.1

Per prima cosa, usa il valore positivo di $\pm$ per trovare la prima soluzione.

$x = \frac{3}{2}$

Passaggio 9.3.2

Ora, usa il valore negativo del $\pm$ per trovare la seconda soluzione.

$x = - \frac{3}{2}$

Passaggio 9.3.3

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

$x = \frac{3}{2}, - \frac{3}{2}$

Passaggio 10

Risolvi la seconda equazione per $x$ .

${(x^{2})}^{1} = 4$

Passaggio 11

Risolvi l'equazione per $x$ .

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Passaggio 11.1

Rimuovi le parentesi.

$x^{2} = 4$

Passaggio 11.2

Trova la radice quadrata specificata di entrambi i lati dell'equazione per eliminare l'esponente sul lato sinistro.

$x = \pm \sqrt{4}$

Passaggio 11.3

Semplifica $\pm \sqrt{4}$ .

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Passaggio 11.3.1

Riscrivi $4$ come $2^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{2^{2}}$

Passaggio 11.3.2

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$x = \pm 2$

Passaggio 11.4

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

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Passaggio 11.4.1

Per prima cosa, usa il valore positivo di $\pm$ per trovare la prima soluzione.

$x = 2$

Passaggio 11.4.2

Ora, usa il valore negativo del $\pm$ per trovare la seconda soluzione.

$x = - 2$

Passaggio 11.4.3

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

$x = 2, - 2$

Passaggio 12

La soluzione di $4 x^{4} - 25 x^{2} + 36 = 0$ è $x = \frac{3}{2}, - \frac{3}{2}, 2, - 2$ .

$x = \frac{3}{2}, - \frac{3}{2}, 2, - 2$

Passaggio 13

Usa ogni radice per creare gli intervalli di prova.

$x < - 2$

$- 2 < x < - \frac{3}{2}$

$- \frac{3}{2} < x < \frac{3}{2}$

$\frac{3}{2} < x < 2$

$x > 2$

Passaggio 14

Scegli un valore di test da ciascun intervallo e sostituiscilo nella diseguaglianza originale per determinare quali intervalli sono soddisfatti dalla diseguaglianza.

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Passaggio 14.1

Testa un valore sull'intervallo $x < - 2$ per verificare se rende vera la diseguaglianza.

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Passaggio 14.1.1

Scegli un valore sull'intervallo $x < - 2$ e verifica se soddisfa la diseguaglianza originale.

$x = - 4$

Passaggio 14.1.2

Sostituisci $x$ con $- 4$ nella diseguaglianza originale.

$4 {(- 4)}^{4} - 25 {(- 4)}^{2} + 36 \leq 0$

Passaggio 14.1.3

Il lato sinistro di $660$ è maggiore del lato destro di $0$ ; ciò significa che l'affermazione data è falsa.

Falso

Passaggio 14.2

Testa un valore sull'intervallo $- 2 < x < - \frac{3}{2}$ per verificare se rende vera la diseguaglianza.

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Passaggio 14.2.1

Scegli un valore sull'intervallo $- 2 < x < - \frac{3}{2}$ e verifica se soddisfa la diseguaglianza originale.

$x = - 1.75$

Passaggio 14.2.2

Sostituisci $x$ con $- 1.75$ nella diseguaglianza originale.

$4 {(- 1.75)}^{4} - 25 {(- 1.75)}^{2} + 36 \leq 0$

Passaggio 14.2.3

Il lato sinistro di $- 3.046875$ è minore del lato destro di $0$ ; ciò significa che l'affermazione data è sempre vera.

Vero

Passaggio 14.3

Testa un valore sull'intervallo $- \frac{3}{2} < x < \frac{3}{2}$ per verificare se rende vera la diseguaglianza.

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Passaggio 14.3.1

Scegli un valore sull'intervallo $- \frac{3}{2} < x < \frac{3}{2}$ e verifica se soddisfa la diseguaglianza originale.

$x = 0$

Passaggio 14.3.2

Sostituisci $x$ con $0$ nella diseguaglianza originale.

$4 {(0)}^{4} - 25 {(0)}^{2} + 36 \leq 0$

Passaggio 14.3.3

Il lato sinistro di $36$ è maggiore del lato destro di $0$ ; ciò significa che l'affermazione data è falsa.

Falso

Passaggio 14.4

Testa un valore sull'intervallo $\frac{3}{2} < x < 2$ per verificare se rende vera la diseguaglianza.

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Passaggio 14.4.1

Scegli un valore sull'intervallo $\frac{3}{2} < x < 2$ e verifica se soddisfa la diseguaglianza originale.

$x = 1.75$

Passaggio 14.4.2

Sostituisci $x$ con $1.75$ nella diseguaglianza originale.

$4 {(1.75)}^{4} - 25 {(1.75)}^{2} + 36 \leq 0$

Passaggio 14.4.3

Il lato sinistro di $- 3.046875$ è minore del lato destro di $0$ ; ciò significa che l'affermazione data è sempre vera.

Vero

Passaggio 14.5

Testa un valore sull'intervallo $x > 2$ per verificare se rende vera la diseguaglianza.

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Passaggio 14.5.1

Scegli un valore sull'intervallo $x > 2$ e verifica se soddisfa la diseguaglianza originale.

$x = 4$

Passaggio 14.5.2

Sostituisci $x$ con $4$ nella diseguaglianza originale.

$4 {(4)}^{4} - 25 {(4)}^{2} + 36 \leq 0$

Passaggio 14.5.3

Il lato sinistro di $660$ è maggiore del lato destro di $0$ ; ciò significa che l'affermazione data è falsa.

Falso

Passaggio 14.6

Confronta gli intervalli per determinare quali soddisfano la diseguaglianza originale.

$x < - 2$ Falso

$- 2 < x < - \frac{3}{2}$ Vero

$- \frac{3}{2} < x < \frac{3}{2}$ Falso

$\frac{3}{2} < x < 2$ Vero

$x > 2$ Falso

$x < - 2$ Falso

$- 2 < x < - \frac{3}{2}$ Vero

$- \frac{3}{2} < x < \frac{3}{2}$ Falso

$\frac{3}{2} < x < 2$ Vero

$x > 2$ Falso

Passaggio 15

La soluzione è costituita da tutti gli intervalli veri.

$- 2 \leq x \leq - \frac{3}{2}$ o $\frac{3}{2} \leq x \leq 2$

Passaggio 16

Il risultato può essere mostrato in più forme.

Forma della diseguaglianza:

$- 2 \leq x \leq - \frac{3}{2} or \frac{3}{2} \leq x \leq 2$

Notazione degli intervalli:

$[- 2, - \frac{3}{2}] \cup [\frac{3}{2}, 2]$

Passaggio 17