Algebra Esempi

$\log_{2} (x^{2} - 4) - \log_{2} (2 x + 4) = 3$

Passaggio 1

Semplifica il lato sinistro.

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Passaggio 1.1

Usa la proprietà del quoziente dei logaritmi, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\log_{2} (\frac{x^{2} - 4}{2 x + 4}) = 3$

Passaggio 1.2

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 1.2.1

Riscrivi $4$ come $2^{2}$ .

$\log_{2} (\frac{x^{2} - 2^{2}}{2 x + 4}) = 3$

Passaggio 1.2.2

Poiché entrambi i termini sono dei quadrati perfetti, fattorizza usando la formula della differenza di quadrati, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ dove $a = x$ e $b = 2$ .

$\log_{2} (\frac{(x + 2) (x - 2)}{2 x + 4}) = 3$

Passaggio 1.3

Semplifica i termini.

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Passaggio 1.3.1

Scomponi $2$ da $2 x + 4$ .

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Passaggio 1.3.1.1

Scomponi $2$ da $2 x$ .

$\log_{2} (\frac{(x + 2) (x - 2)}{2 (x) + 4}) = 3$

Passaggio 1.3.1.2

Scomponi $2$ da $4$ .

$\log_{2} (\frac{(x + 2) (x - 2)}{2 x + 2 \cdot 2}) = 3$

Passaggio 1.3.1.3

Scomponi $2$ da $2 x + 2 \cdot 2$ .

$\log_{2} (\frac{(x + 2) (x - 2)}{2 (x + 2)}) = 3$

Passaggio 1.3.2

Riduci l'espressione $\frac{(x + 2) (x - 2)}{2 (x + 2)}$ eliminando i fattori comuni.

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Passaggio 1.3.2.1

Elimina il fattore comune.

$\log_{2} (\frac{(x + 2) (x - 2)}{2 (x + 2)}) = 3$

Passaggio 1.3.2.2

Riscrivi l'espressione.

$\log_{2} (\frac{x - 2}{2}) = 3$

Passaggio 1.4

Riscrivi $\frac{x - 2}{2}$ come $(x - 2) \cdot 2^{- 1}$ .

$\log_{2} ((x - 2) \cdot 2^{- 1}) = 3$

Passaggio 1.5

Riscrivi $\log_{2} ((x - 2) \cdot 2^{- 1})$ come $\log_{2} (x - 2) + \log_{2} (2^{- 1})$ .

$\log_{2} (x - 2) + \log_{2} (2^{- 1}) = 3$

Passaggio 1.6

Usa le regole del logaritmo per togliere $- 1$ dall'esponente.

$\log_{2} (x - 2) - \log_{2} (2) = 3$

Passaggio 1.7

Il logaritmo in base $2$ di $2$ è $1$ .

$\log_{2} (x - 2) - 1 \cdot 1 = 3$

Passaggio 1.8

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$\log_{2} (x - 2) - 1 = 3$

Passaggio 2

Sposta tutti i termini non contenenti $\log_{2} (x - 2)$ sul lato destro dell'equazione.

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Passaggio 2.1

Somma $1$ a entrambi i lati dell'equazione.

$\log_{2} (x - 2) = 3 + 1$

Passaggio 2.2

Somma $3$ e $1$ .

$\log_{2} (x - 2) = 4$

Passaggio 3

Riscrivi $\log_{2} (x - 2) = 4$ in forma esponenziale usando la definizione di logaritmo. Se $x$ e $b$ sono numeri reali positivi e $b \neq 1$ , allora $\log_{b} (x) = y$ è equivalente a $b^{y} = x$ .

$2^{4} = x - 2$

Passaggio 4

Risolvi per $x$ .

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Passaggio 4.1

Riscrivi l'equazione come $x - 2 = 2^{4}$ .

$x - 2 = 2^{4}$

Passaggio 4.2

Eleva $2$ alla potenza di $4$ .

$x - 2 = 16$

Passaggio 4.3

Sposta tutti i termini non contenenti $x$ sul lato destro dell'equazione.

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Passaggio 4.3.1

Somma $2$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x = 16 + 2$

Passaggio 4.3.2

Somma $16$ e $2$ .

$x = 18$