Algebra Esempi

${(\frac{3}{4})}^{x^{2} + 5 x} > {(\frac{4}{3})}^{3 x}$

Passaggio 1

Take the log of both sides of the inequality.

$\ln ({(\frac{3}{4})}^{x^{2} + 5 x}) > \ln ({(\frac{4}{3})}^{3 x})$

Passaggio 2

Espandi $\ln ({(\frac{3}{4})}^{x^{2} + 5 x})$ spostando $x^{2} + 5 x$ fuori dal logaritmo.

$(x^{2} + 5 x) \ln (\frac{3}{4}) > \ln ({(\frac{4}{3})}^{3 x})$

Passaggio 3

Riscrivi $\ln (\frac{3}{4})$ come $\ln (3) - \ln (4)$ .

$(x^{2} + 5 x) (\ln (3) - \ln (4)) > \ln ({(\frac{4}{3})}^{3 x})$

Passaggio 4

Riscrivi $\ln (4)$ come $\ln (2^{2})$ .

$(x^{2} + 5 x) (\ln (3) - \ln (2^{2})) > \ln ({(\frac{4}{3})}^{3 x})$

Passaggio 5

Espandi $\ln (2^{2})$ spostando $2$ fuori dal logaritmo.

$(x^{2} + 5 x) (\ln (3) - (2 \ln (2))) > \ln ({(\frac{4}{3})}^{3 x})$

Passaggio 6

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$(x^{2} + 5 x) (\ln (3) - 2 \ln (2)) > \ln ({(\frac{4}{3})}^{3 x})$

Passaggio 7

Espandi $\ln ({(\frac{4}{3})}^{3 x})$ spostando $3 x$ fuori dal logaritmo.

$(x^{2} + 5 x) (\ln (3) - 2 \ln (2)) > 3 x \ln (\frac{4}{3})$

Passaggio 8

Riscrivi $\ln (\frac{4}{3})$ come $\ln (4) - \ln (3)$ .

$(x^{2} + 5 x) (\ln (3) - 2 \ln (2)) > 3 x (\ln (4) - \ln (3))$

Passaggio 9

Risolvi la diseguaglianza per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1

Semplifica $(x^{2} + 5 x) (\ln (3) - 2 \ln (2))$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1.1

Riscrivi.

$0 + 0 + (x^{2} + 5 x) (\ln (3) - 2 \ln (2)) > 3 x (\ln (4) - \ln (3))$

Passaggio 9.1.2

Semplifica aggiungendo gli zeri.

$(x^{2} + 5 x) (\ln (3) - 2 \ln (2)) > 3 x (\ln (4) - \ln (3))$

Passaggio 9.1.3

Espandi $(x^{2} + 5 x) (\ln (3) - 2 \ln (2))$ usando il metodo FOIL.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1.3.1

Applica la proprietà distributiva.

$x^{2} (\ln (3) - 2 \ln (2)) + 5 x (\ln (3) - 2 \ln (2)) > 3 x (\ln (4) - \ln (3))$

Passaggio 9.1.3.2

Applica la proprietà distributiva.

$x^{2} \ln (3) + x^{2} (- 2 \ln (2)) + 5 x (\ln (3) - 2 \ln (2)) > 3 x (\ln (4) - \ln (3))$

Passaggio 9.1.3.3

Applica la proprietà distributiva.

$x^{2} \ln (3) + x^{2} (- 2 \ln (2)) + 5 x \ln (3) + 5 x (- 2 \ln (2)) > 3 x (\ln (4) - \ln (3))$

Passaggio 9.1.4

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1.4.1

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$x^{2} \ln (3) - 2 x^{2} \ln (2) + 5 x \ln (3) + 5 x (- 2 \ln (2)) > 3 x (\ln (4) - \ln (3))$

Passaggio 9.1.4.2

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$x^{2} \ln (3) - 2 x^{2} \ln (2) + 5 x \ln (3) + 5 \cdot - 2 x \ln (2) > 3 x (\ln (4) - \ln (3))$

Passaggio 9.1.4.3

Moltiplica $5$ per $- 2$ .

$x^{2} \ln (3) - 2 x^{2} \ln (2) + 5 x \ln (3) - 10 x \ln (2) > 3 x (\ln (4) - \ln (3))$

Passaggio 9.2

Semplifica $3 x (\ln (4) - \ln (3))$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.2.1

Applica la proprietà distributiva.

$x^{2} \ln (3) - 2 x^{2} \ln (2) + 5 x \ln (3) - 10 x \ln (2) > 3 x \ln (4) + 3 x (- \ln (3))$

Passaggio 9.2.2

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.2.2.1

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$x^{2} \ln (3) - 2 x^{2} \ln (2) + 5 x \ln (3) - 10 x \ln (2) > 3 x \ln (4) + 3 \cdot - 1 x \ln (3)$

Passaggio 9.2.2.2

Moltiplica $3$ per $- 1$ .

$x^{2} \ln (3) - 2 x^{2} \ln (2) + 5 x \ln (3) - 10 x \ln (2) > 3 x \ln (4) - 3 x \ln (3)$

Passaggio 9.3

Sposta tutti i termini contenenti $x$ sul lato sinistro della diseguaglianza.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.3.1

Sottrai $3 x \ln (4)$ da entrambi i lati della diseguaglianza.

$x^{2} \ln (3) - 2 x^{2} \ln (2) + 5 x \ln (3) - 10 x \ln (2) - 3 x \ln (4) > - 3 x \ln (3)$

Passaggio 9.3.2

Aggiungi $3 x \ln (3)$ a entrambi i lati della diseguaglianza.

$x^{2} \ln (3) - 2 x^{2} \ln (2) + 5 x \ln (3) - 10 x \ln (2) - 3 x \ln (4) + 3 x \ln (3) > 0$

Passaggio 9.3.3

Somma $5 x \ln (3)$ e $3 x \ln (3)$ .

$x^{2} \ln (3) - 2 x^{2} \ln (2) + 8 x \ln (3) - 10 x \ln (2) - 3 x \ln (4) > 0$

Passaggio 9.4

Scomponi $x$ da $x^{2} \ln (3) - 2 x^{2} \ln (2) + 8 x \ln (3) - 10 x \ln (2) - 3 x \ln (4)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.4.1

Scomponi $x$ da $x^{2} \ln (3)$ .

$x (x \ln (3)) - 2 x^{2} \ln (2) + 8 x \ln (3) - 10 x \ln (2) - 3 x \ln (4) > 0$

Passaggio 9.4.2

Scomponi $x$ da $- 2 x^{2} \ln (2)$ .

$x (x \ln (3)) + x (- 2 x \ln (2)) + 8 x \ln (3) - 10 x \ln (2) - 3 x \ln (4) > 0$

Passaggio 9.4.3

Scomponi $x$ da $8 x \ln (3)$ .

$x (x \ln (3)) + x (- 2 x \ln (2)) + x (8 \ln (3)) - 10 x \ln (2) - 3 x \ln (4) > 0$

Passaggio 9.4.4

Scomponi $x$ da $- 10 x \ln (2)$ .

$x (x \ln (3)) + x (- 2 x \ln (2)) + x (8 \ln (3)) + x (- 10 \ln (2)) - 3 x \ln (4) > 0$

Passaggio 9.4.5

Scomponi $x$ da $- 3 x \ln (4)$ .

$x (x \ln (3)) + x (- 2 x \ln (2)) + x (8 \ln (3)) + x (- 10 \ln (2)) + x (- 3 \ln (4)) > 0$

Passaggio 9.4.6

Scomponi $x$ da $x (x \ln (3)) + x (- 2 x \ln (2))$ .

$x (x \ln (3) - 2 x \ln (2)) + x (8 \ln (3)) + x (- 10 \ln (2)) + x (- 3 \ln (4)) > 0$

Passaggio 9.4.7

Scomponi $x$ da $x (x \ln (3) - 2 x \ln (2)) + x (8 \ln (3))$ .

$x (x \ln (3) - 2 x \ln (2) + 8 \ln (3)) + x (- 10 \ln (2)) + x (- 3 \ln (4)) > 0$

Passaggio 9.4.8

Scomponi $x$ da $x (x \ln (3) - 2 x \ln (2) + 8 \ln (3)) + x (- 10 \ln (2))$ .

$x (x \ln (3) - 2 x \ln (2) + 8 \ln (3) - 10 \ln (2)) + x (- 3 \ln (4)) > 0$

Passaggio 9.4.9

Scomponi $x$ da $x (x \ln (3) - 2 x \ln (2) + 8 \ln (3) - 10 \ln (2)) + x (- 3 \ln (4))$ .

$x (x \ln (3) - 2 x \ln (2) + 8 \ln (3) - 10 \ln (2) - 3 \ln (4)) > 0$

Passaggio 9.5

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$x = 0$

$x \ln (3) - 2 x \ln (2) + 8 \ln (3) - 10 \ln (2) - 3 \ln (4) = 0$

Passaggio 9.6

Imposta $x$ uguale a $0$ .

$x = 0$

Passaggio 9.7

Imposta $x \ln (3) - 2 x \ln (2) + 8 \ln (3) - 10 \ln (2) - 3 \ln (4)$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.7.1

Imposta $x \ln (3) - 2 x \ln (2) + 8 \ln (3) - 10 \ln (2) - 3 \ln (4)$ uguale a $0$ .

$x \ln (3) - 2 x \ln (2) + 8 \ln (3) - 10 \ln (2) - 3 \ln (4) = 0$

Passaggio 9.7.2

Risolvi $x \ln (3) - 2 x \ln (2) + 8 \ln (3) - 10 \ln (2) - 3 \ln (4) = 0$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.7.2.1

Sposta tutti i termini non contenenti $x$ sul lato destro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.7.2.1.1

Sottrai $8 \ln (3)$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x \ln (3) - 2 x \ln (2) - 10 \ln (2) - 3 \ln (4) = - 8 \ln (3)$

Passaggio 9.7.2.1.2

Somma $10 \ln (2)$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x \ln (3) - 2 x \ln (2) - 3 \ln (4) = - 8 \ln (3) + 10 \ln (2)$

Passaggio 9.7.2.1.3

Somma $3 \ln (4)$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x \ln (3) - 2 x \ln (2) = - 8 \ln (3) + 10 \ln (2) + 3 \ln (4)$

Passaggio 9.7.2.2

Scomponi $x$ da $x \ln (3) - 2 x \ln (2)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.7.2.2.1

Scomponi $x$ da $x \ln (3)$ .

$x (\ln (3)) - 2 x \ln (2) = - 8 \ln (3) + 10 \ln (2) + 3 \ln (4)$

Passaggio 9.7.2.2.2

Scomponi $x$ da $- 2 x \ln (2)$ .

$x (\ln (3)) + x (- 2 \ln (2)) = - 8 \ln (3) + 10 \ln (2) + 3 \ln (4)$

Passaggio 9.7.2.2.3

Scomponi $x$ da $x (\ln (3)) + x (- 2 \ln (2))$ .

$x (\ln (3) - 2 \ln (2)) = - 8 \ln (3) + 10 \ln (2) + 3 \ln (4)$

Passaggio 9.7.2.3

Dividi per $\ln (3) - 2 \ln (2)$ ciascun termine in $x (\ln (3) - 2 \ln (2)) = - 8 \ln (3) + 10 \ln (2) + 3 \ln (4)$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.7.2.3.1

Dividi per $\ln (3) - 2 \ln (2)$ ciascun termine in $x (\ln (3) - 2 \ln (2)) = - 8 \ln (3) + 10 \ln (2) + 3 \ln (4)$ .

$\frac{x (\ln (3) - 2 \ln (2))}{\ln (3) - 2 \ln (2)} = \frac{- 8 \ln (3)}{\ln (3) - 2 \ln (2)} + \frac{10 \ln (2)}{\ln (3) - 2 \ln (2)} + \frac{3 \ln (4)}{\ln (3) - 2 \ln (2)}$

Passaggio 9.7.2.3.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.7.2.3.2.1

Elimina il fattore comune di $\ln (3) - 2 \ln (2)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.7.2.3.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{x (\ln (3) - 2 \ln (2))}{\ln (3) - 2 \ln (2)} = \frac{- 8 \ln (3)}{\ln (3) - 2 \ln (2)} + \frac{10 \ln (2)}{\ln (3) - 2 \ln (2)} + \frac{3 \ln (4)}{\ln (3) - 2 \ln (2)}$

Passaggio 9.7.2.3.2.1.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x = \frac{- 8 \ln (3)}{\ln (3) - 2 \ln (2)} + \frac{10 \ln (2)}{\ln (3) - 2 \ln (2)} + \frac{3 \ln (4)}{\ln (3) - 2 \ln (2)}$

Passaggio 9.7.2.3.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.7.2.3.3.1

Semplifica i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.7.2.3.3.1.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$x = - \frac{8 \ln (3)}{\ln (3) - 2 \ln (2)} + \frac{10 \ln (2)}{\ln (3) - 2 \ln (2)} + \frac{3 \ln (4)}{\ln (3) - 2 \ln (2)}$

Passaggio 9.7.2.3.3.1.2

Semplifica i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.7.2.3.3.1.2.1

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$x = \frac{- 8 \ln (3) + 10 \ln (2)}{\ln (3) - 2 \ln (2)} + \frac{3 \ln (4)}{\ln (3) - 2 \ln (2)}$

Passaggio 9.7.2.3.3.1.2.2

Scomponi $2$ da $- 8 \ln (3) + 10 \ln (2)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.7.2.3.3.1.2.2.1

Scomponi $2$ da $- 8 \ln (3)$ .

$x = \frac{2 (- 4 \ln (3)) + 10 \ln (2)}{\ln (3) - 2 \ln (2)} + \frac{3 \ln (4)}{\ln (3) - 2 \ln (2)}$

Passaggio 9.7.2.3.3.1.2.2.2

Scomponi $2$ da $10 \ln (2)$ .

$x = \frac{2 (- 4 \ln (3)) + 2 (5 \ln (2))}{\ln (3) - 2 \ln (2)} + \frac{3 \ln (4)}{\ln (3) - 2 \ln (2)}$

Passaggio 9.7.2.3.3.1.2.2.3

Scomponi $2$ da $2 (- 4 \ln (3)) + 2 (5 \ln (2))$ .

$x = \frac{2 (- 4 \ln (3) + 5 \ln (2))}{\ln (3) - 2 \ln (2)} + \frac{3 \ln (4)}{\ln (3) - 2 \ln (2)}$

Passaggio 9.7.2.3.3.1.2.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$x = \frac{2 (- 4 \ln (3) + 5 \ln (2)) + 3 \ln (4)}{\ln (3) - 2 \ln (2)}$

Passaggio 9.7.2.3.3.2

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.7.2.3.3.2.1

Applica la proprietà distributiva.

$x = \frac{2 (- 4 \ln (3)) + 2 (5 \ln (2)) + 3 \ln (4)}{\ln (3) - 2 \ln (2)}$

Passaggio 9.7.2.3.3.2.2

Moltiplica $- 4$ per $2$ .

$x = \frac{- 8 \ln (3) + 2 (5 \ln (2)) + 3 \ln (4)}{\ln (3) - 2 \ln (2)}$

Passaggio 9.7.2.3.3.2.3

Moltiplica $5$ per $2$ .

$x = \frac{- 8 \ln (3) + 10 \ln (2) + 3 \ln (4)}{\ln (3) - 2 \ln (2)}$

Passaggio 9.7.2.3.3.3

Semplifica tramite esclusione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.7.2.3.3.3.1

Scomponi $- 1$ da $- 8 \ln (3)$ .

$x = \frac{- (8 \ln (3)) + 10 \ln (2) + 3 \ln (4)}{\ln (3) - 2 \ln (2)}$

Passaggio 9.7.2.3.3.3.2

Scomponi $- 1$ da $10 \ln (2)$ .

$x = \frac{- (8 \ln (3)) - (- 10 \ln (2)) + 3 \ln (4)}{\ln (3) - 2 \ln (2)}$

Passaggio 9.7.2.3.3.3.3

Scomponi $- 1$ da $- (8 \ln (3)) - (- 10 \ln (2))$ .

$x = \frac{- (8 \ln (3) - 10 \ln (2)) + 3 \ln (4)}{\ln (3) - 2 \ln (2)}$

Passaggio 9.7.2.3.3.3.4

Scomponi $- 1$ da $3 \ln (4)$ .

$x = \frac{- (8 \ln (3) - 10 \ln (2)) - (- 3 \ln (4))}{\ln (3) - 2 \ln (2)}$

Passaggio 9.7.2.3.3.3.5

Scomponi $- 1$ da $- (8 \ln (3) - 10 \ln (2)) - (- 3 \ln (4))$ .

$x = \frac{- (8 \ln (3) - 10 \ln (2) - 3 \ln (4))}{\ln (3) - 2 \ln (2)}$

Passaggio 9.7.2.3.3.3.6

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.7.2.3.3.3.6.1

Riscrivi $- (8 \ln (3) - 10 \ln (2) - 3 \ln (4))$ come $- 1 (8 \ln (3) - 10 \ln (2) - 3 \ln (4))$ .

$x = \frac{- 1 (8 \ln (3) - 10 \ln (2) - 3 \ln (4))}{\ln (3) - 2 \ln (2)}$

Passaggio 9.7.2.3.3.3.6.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$x = - \frac{8 \ln (3) - 10 \ln (2) - 3 \ln (4)}{\ln (3) - 2 \ln (2)}$

Passaggio 9.8

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $x (x \ln (3) - 2 x \ln (2) + 8 \ln (3) - 10 \ln (2) - 3 \ln (4)) > 0$ vera.

$x = 0, - \frac{8 \ln (3) - 10 \ln (2) - 3 \ln (4)}{\ln (3) - 2 \ln (2)}$

Passaggio 10

Utilizza ogni radice per creare gli intervalli di prova.

$x < - \frac{8 \ln (3) - 10 \ln (2) - 3 \ln (4)}{\ln (3) - 2 \ln (2)}$

$- \frac{8 \ln (3) - 10 \ln (2) - 3 \ln (4)}{\ln (3) - 2 \ln (2)} < x < 0$

$x > 0$

Passaggio 11

Scegli un valore di test da ciascun intervallo e sostituiscilo nella diseguaglianza originale per determinare quali intervalli sono soddisfatti dalla diseguaglianza.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.1

Testa un valore sull'intervallo $x < - \frac{8 \ln (3) - 10 \ln (2) - 3 \ln (4)}{\ln (3) - 2 \ln (2)}$ per verificare se rende vera la diseguaglianza.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.1.1

Scegli un valore sull'intervallo $x < - \frac{8 \ln (3) - 10 \ln (2) - 3 \ln (4)}{\ln (3) - 2 \ln (2)}$ e verifica se soddisfa la diseguaglianza originale.

$x = - 10$

Passaggio 11.1.2

Sostituisci $x$ con $- 10$ nella diseguaglianza originale.

${(\frac{3}{4})}^{{(- 10)}^{2} + 5 (- 10)} > {(\frac{4}{3})}^{3 (- 10)}$

Passaggio 11.1.3

Il lato sinistro di $5.66321656 E - 7$ non è maggiore del lato destro di $0.00017858$ ; ciò significa che l'affermazione data è falsa.

False

Passaggio 11.2

Testa un valore sull'intervallo $- \frac{8 \ln (3) - 10 \ln (2) - 3 \ln (4)}{\ln (3) - 2 \ln (2)} < x < 0$ per verificare se rende vera la diseguaglianza.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.1

Scegli un valore sull'intervallo $- \frac{8 \ln (3) - 10 \ln (2) - 3 \ln (4)}{\ln (3) - 2 \ln (2)} < x < 0$ e verifica se soddisfa la diseguaglianza originale.

$x = - 4$

Passaggio 11.2.2

Sostituisci $x$ con $- 4$ nella diseguaglianza originale.

${(\frac{3}{4})}^{{(- 4)}^{2} + 5 (- 4)} > {(\frac{4}{3})}^{3 (- 4)}$

Passaggio 11.2.3

Il lato sinistro di $3.16049382$ è maggiore del lato destro di $0.03167635$ ; ciò significa che l'affermazione data è sempre vera.

True

Passaggio 11.3

Testa un valore sull'intervallo $x > 0$ per verificare se rende vera la diseguaglianza.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.3.1

Scegli un valore sull'intervallo $x > 0$ e verifica se soddisfa la diseguaglianza originale.

$x = 2$

Passaggio 11.3.2

Sostituisci $x$ con $2$ nella diseguaglianza originale.

${(\frac{3}{4})}^{{(2)}^{2} + 5 (2)} > {(\frac{4}{3})}^{3 (2)}$

Passaggio 11.3.3

Il lato sinistro di $0.01781794$ non è maggiore del lato destro di $5.61865569$ ; ciò significa che l'affermazione data è falsa.

False

Passaggio 11.4

Confronta gli intervalli per determinare quali soddisfano la diseguaglianza originale.

$x < - \frac{8 \ln (3) - 10 \ln (2) - 3 \ln (4)}{\ln (3) - 2 \ln (2)}$ Falso

$- \frac{8 \ln (3) - 10 \ln (2) - 3 \ln (4)}{\ln (3) - 2 \ln (2)} < x < 0$ Vero

$x > 0$ Falso

$x < - \frac{8 \ln (3) - 10 \ln (2) - 3 \ln (4)}{\ln (3) - 2 \ln (2)}$ Falso

$- \frac{8 \ln (3) - 10 \ln (2) - 3 \ln (4)}{\ln (3) - 2 \ln (2)} < x < 0$ Vero

$x > 0$ Falso

Passaggio 12

La soluzione è costituita da tutti gli intervalli veri.

$- \frac{8 \ln (3) - 10 \ln (2) - 3 \ln (4)}{\ln (3) - 2 \ln (2)} < x < 0$

Passaggio 13

Il risultato può essere mostrato in più forme.

Forma della diseguaglianza:

$- \frac{8 \ln (3) - 10 \ln (2) - 3 \ln (4)}{\ln (3) - 2 \ln (2)} < x < 0$

Notazione degli intervalli:

$(- \frac{\ln (\frac{6561}{65536})}{\ln (\frac{3}{4})}, 0)$

Passaggio 14