Algebra Esempi

$4^{x + 1} + 2^{x + 3} = 320$

Passaggio 1

Sottrai $320$ da entrambi i lati dell'equazione.

$4^{x + 1} + 2^{x + 3} - 320 = 0$

Passaggio 2

Scomponi il primo membro dell'equazione.

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Passaggio 2.1

Riscrivi $4^{x + 1}$ come $4^{x} \cdot 4^{1}$ .

$4^{x} \cdot 4 + 2^{x + 3} - 320 = 0$

Passaggio 2.2

Riscrivi $2^{x + 3}$ come $2^{x} \cdot 2^{3}$ .

$4^{x} \cdot 4 + 2^{x} \cdot 2^{3} - 320 = 0$

Passaggio 2.3

Riscrivi $4^{x}$ come ${(2^{2})}^{x}$ .

${(2^{2})}^{x} \cdot 4 + 2^{x} \cdot 2^{3} - 320 = 0$

Passaggio 2.4

Riscrivi ${(2^{2})}^{x}$ come ${(2^{x})}^{2}$ .

${(2^{x})}^{2} \cdot 4 + 2^{x} \cdot 2^{3} - 320 = 0$

Passaggio 2.5

Sia $u = 2^{x}$ . Sostituisci tutte le occorrenze di $2^{x}$ con $u$ .

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Passaggio 2.5.1

Calcola l'esponente.

$u^{2} \cdot 4 + u \cdot 2^{3} - 320 = 0$

Passaggio 2.5.2

Sposta $4$ alla sinistra di $u^{2}$ .

$4 \cdot u^{2} + u \cdot 2^{3} - 320 = 0$

Passaggio 2.5.3

Eleva $2$ alla potenza di $3$ .

$4 u^{2} + u \cdot 8 - 320 = 0$

Passaggio 2.5.4

Sposta $8$ alla sinistra di $u$ .

$4 u^{2} + 8 u - 320 = 0$

Passaggio 2.6

Scomponi $4$ da $4 u^{2} + 8 u - 320$ .

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Passaggio 2.6.1

Scomponi $4$ da $4 u^{2}$ .

$4 (u^{2}) + 8 u - 320 = 0$

Passaggio 2.6.2

Scomponi $4$ da $8 u$ .

$4 (u^{2}) + 4 (2 u) - 320 = 0$

Passaggio 2.6.3

Scomponi $4$ da $- 320$ .

$4 u^{2} + 4 (2 u) + 4 \cdot - 80 = 0$

Passaggio 2.6.4

Scomponi $4$ da $4 u^{2} + 4 (2 u)$ .

$4 (u^{2} + 2 u) + 4 \cdot - 80 = 0$

Passaggio 2.6.5

Scomponi $4$ da $4 (u^{2} + 2 u) + 4 \cdot - 80$ .

$4 (u^{2} + 2 u - 80) = 0$

Passaggio 2.7

Scomponi.

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Passaggio 2.7.1

Scomponi $u^{2} + 2 u - 80$ usando il metodo AC.

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Passaggio 2.7.1.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Trova una coppia di interi il cui prodotto è $c$ e la cui formula è $b$ . In questo caso, il cui prodotto è $- 80$ e la cui somma è $2$ .

$- 8, 10$

Passaggio 2.7.1.2

Scrivi la forma fattorizzata usando questi interi.

$4 ((u - 8) (u + 10)) = 0$

Passaggio 2.7.2

Rimuovi le parentesi non necessarie.

$4 (u - 8) (u + 10) = 0$

Passaggio 2.8

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $2^{x}$ .

$4 (2^{x} - 8) (2^{x} + 10) = 0$

Passaggio 2.9

Semplifica.

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Passaggio 2.9.1

Applica la proprietà distributiva.

$(4 \cdot 2^{x} + 4 \cdot - 8) (2^{x} + 10) = 0$

Passaggio 2.9.2

Moltiplica $4 \cdot 2^{x}$ .

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Passaggio 2.9.2.1

Riscrivi $4$ come $2^{2}$ .

$(2^{2} \cdot 2^{x} + 4 \cdot - 8) (2^{x} + 10) = 0$

Passaggio 2.9.2.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$(2^{2 + x} + 4 \cdot - 8) (2^{x} + 10) = 0$

Passaggio 2.9.3

Moltiplica $4$ per $- 8$ .

$(2^{2 + x} - 32) (2^{x} + 10) = 0$

Passaggio 3

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$2^{2 + x} - 32 = 0$

$2^{x} + 10 = 0$

Passaggio 4

Imposta $2^{2 + x} - 32$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

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Passaggio 4.1

Imposta $2^{2 + x} - 32$ uguale a $0$ .

$2^{2 + x} - 32 = 0$

Passaggio 4.2

Risolvi $2^{2 + x} - 32 = 0$ per $x$ .

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Passaggio 4.2.1

Somma $32$ a entrambi i lati dell'equazione.

$2^{2 + x} = 32$

Passaggio 4.2.2

Crea nell'equazione espressioni equivalenti che hanno tutte basi uguali.

$2^{2 + x} = 2^{5}$

Passaggio 4.2.3

Poiché le basi sono uguali, allora due espressioni sono uguali solo se anche gli esponenti sono uguali.

$2 + x = 5$

Passaggio 4.2.4

Sposta tutti i termini non contenenti $x$ sul lato destro dell'equazione.

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Passaggio 4.2.4.1

Sottrai $2$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x = 5 - 2$

Passaggio 4.2.4.2

Sottrai $2$ da $5$ .

$x = 3$

Passaggio 5

Imposta $2^{x} + 10$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

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Passaggio 5.1

Imposta $2^{x} + 10$ uguale a $0$ .

$2^{x} + 10 = 0$

Passaggio 5.2

Risolvi $2^{x} + 10 = 0$ per $x$ .

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Passaggio 5.2.1

Sottrai $10$ da entrambi i lati dell'equazione.

$2^{x} = - 10$

Passaggio 5.2.2

Trova il logaritmo naturale dell'equazione assegnata per rimuovere la variabile dall'esponente.

$\ln (2^{x}) = \ln (- 10)$

Passaggio 5.2.3

Non è possibile risolvere l'equazione perché $\ln (- 10)$ è indefinita.

Indefinito

Passaggio 5.2.4

Non c'è soluzione per $2^{x} = - 10$

Nessuna soluzione

Passaggio 6

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $(2^{2 + x} - 32) (2^{x} + 10) = 0$ vera.

$x = 3$