Algebra Esempi

$\tan^{2} (θ) = \frac{3}{2} \sec (θ)$

Passaggio 1

Sostituisci $\tan^{2} (θ)$ con $\sec^{2} (θ) - 1$ in base all'identità $\tan^{2} (x) + 1 = \sec^{2} (x)$ .

$\sec^{2} (θ) - 1 = \frac{3}{2} \cdot \sec (θ)$

Passaggio 2

Sostituisci $u$ a $\sec (θ)$ .

${(u)}^{2} - 1 = \frac{3}{2} (u)$

Passaggio 3

Semplifica $\frac{3}{2} u$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Riscrivi.

$u^{2} - 1 = 0 + 0 + \frac{3}{2} u$

Passaggio 3.2

Semplifica aggiungendo gli zeri.

$u^{2} - 1 = \frac{3}{2} u$

Passaggio 3.3

$\frac{3}{2}$ e $u$ .

$u^{2} - 1 = \frac{3 u}{2}$

Passaggio 4

Sottrai $\frac{3 u}{2}$ da entrambi i lati dell'equazione.

$u^{2} - 1 - \frac{3 u}{2} = 0$

Passaggio 5

Moltiplica per il minimo comune denominatore $2$ , quindi semplifica.

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Passaggio 5.1

Applica la proprietà distributiva.

$2 u^{2} + 2 \cdot - 1 + 2 (- \frac{3 u}{2}) = 0$

Passaggio 5.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$2 u^{2} - 2 + 2 (- \frac{3 u}{2}) = 0$

Passaggio 5.2.2

Elimina il fattore comune di $2$ .

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Passaggio 5.2.2.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{3 u}{2}$ nel numeratore.

$2 u^{2} - 2 + 2 \frac{- 3 u}{2} = 0$

Passaggio 5.2.2.2

Elimina il fattore comune.

$2 u^{2} - 2 + 2 \frac{- 3 u}{2} = 0$

Passaggio 5.2.2.3

Riscrivi l'espressione.

$2 u^{2} - 2 - 3 u = 0$

Passaggio 5.3

Sposta $- 2$ .

$2 u^{2} - 3 u - 2 = 0$

Passaggio 6

Usa la formula quadratica per trovare le soluzioni.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Passaggio 7

Sostituisci i valori $a = 2$ , $b = - 3$ e $c = - 2$ nella formula quadratica e risolvi per $u$ .

$\frac{3 \pm \sqrt{{(- 3)}^{2} - 4 \cdot (2 \cdot - 2)}}{2 \cdot 2}$

Passaggio 8

Semplifica.

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Passaggio 8.1

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 8.1.1

Eleva $- 3$ alla potenza di $2$ .

$u = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 2 \cdot - 2}}{2 \cdot 2}$

Passaggio 8.1.2

Moltiplica $- 4 \cdot 2 \cdot - 2$ .

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Passaggio 8.1.2.1

Moltiplica $- 4$ per $2$ .

$u = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 8 \cdot - 2}}{2 \cdot 2}$

Passaggio 8.1.2.2

Moltiplica $- 8$ per $- 2$ .

$u = \frac{3 \pm \sqrt{9 + 16}}{2 \cdot 2}$

Passaggio 8.1.3

Somma $9$ e $16$ .

$u = \frac{3 \pm \sqrt{25}}{2 \cdot 2}$

Passaggio 8.1.4

Riscrivi $25$ come $5^{2}$ .

$u = \frac{3 \pm \sqrt{5^{2}}}{2 \cdot 2}$

Passaggio 8.1.5

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$u = \frac{3 \pm 5}{2 \cdot 2}$

Passaggio 8.2

Moltiplica $2$ per $2$ .

$u = \frac{3 \pm 5}{4}$

Passaggio 9

La risposta finale è la combinazione di entrambe le soluzioni.

$u = 2, - \frac{1}{2}$

Passaggio 10

Sostituisci $\sec (θ)$ a $u$ .

$\sec (θ) = 2, - \frac{1}{2}$

Passaggio 11

Imposta ognuna delle soluzioni per risolvere per $θ$ .

$\sec (θ) = 2$

$\sec (θ) = - \frac{1}{2}$

Passaggio 12

Risolvi per $θ$ in $\sec (θ) = 2$ .

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Passaggio 12.1

Calcola la secante inversa di entrambi i lati dell'equazione per estrarre $θ$ dall'interno della secante.

$θ = arcsec (2)$

Passaggio 12.2

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 12.2.1

Il valore esatto di $arcsec (2)$ è $\frac{π}{3}$ .

$θ = \frac{π}{3}$

Passaggio 12.3

La funzione secante è positiva nel primo e nel quarto quadrante. Per trovare la seconda soluzione, sottrai l'angolo di riferimento da $2 π$ per trovare la soluzione nel quarto quadrante.

$θ = 2 π - \frac{π}{3}$

Passaggio 12.4

Semplifica $2 π - \frac{π}{3}$ .

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Passaggio 12.4.1

Per scrivere $2 π$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{3}{3}$ .

$θ = 2 π \cdot \frac{3}{3} - \frac{π}{3}$

Passaggio 12.4.2

Riduci le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.4.2.1

$2 π$ e $\frac{3}{3}$ .

$θ = \frac{2 π \cdot 3}{3} - \frac{π}{3}$

Passaggio 12.4.2.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$θ = \frac{2 π \cdot 3 - π}{3}$

Passaggio 12.4.3

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 12.4.3.1

Moltiplica $3$ per $2$ .

$θ = \frac{6 π - π}{3}$

Passaggio 12.4.3.2

Sottrai $π$ da $6 π$ .

$θ = \frac{5 π}{3}$

Passaggio 12.5

Trova il periodo di $\sec (θ)$ .

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Passaggio 12.5.1

Si può calcolare il periodo della funzione usando $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Passaggio 12.5.2

Sostituisci $b$ con $1$ nella formula per il periodo.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Passaggio 12.5.3

Il valore assoluto è la distanza tra un numero e zero. La distanza tra $0$ e $1$ è $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Passaggio 12.5.4

Dividi $2 π$ per $1$ .

$2 π$

Passaggio 12.6

Il periodo della funzione $\sec (θ)$ è $2 π$ , quindi i valori si ripetono ogni $2 π$ radianti in entrambe le direzioni.

$θ = \frac{π}{3} + 2 π n, \frac{5 π}{3} + 2 π n$ , per qualsiasi intero $n$

Passaggio 13

Risolvi per $θ$ in $\sec (θ) = - \frac{1}{2}$ .

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Passaggio 13.1

L'intervallo della secante è $y \leq - 1$ e $y \geq 1$ . Poiché $- \frac{1}{2}$ non rientra nell'intervallo, non esiste soluzione.

Nessuna soluzione

Passaggio 14

Elenca tutte le soluzioni.

$θ = \frac{π}{3} + 2 π n, \frac{5 π}{3} + 2 π n$ , per qualsiasi intero $n$