Algebra Esempi

$\frac{\sqrt{5} + \sqrt{3}}{\sqrt{5} - \sqrt{3}} + \frac{\sqrt{5} - \sqrt{3}}{\sqrt{5} + \sqrt{3}}$

Passaggio 1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Moltiplica $\frac{\sqrt{5} + \sqrt{3}}{\sqrt{5} - \sqrt{3}}$ per $\frac{\sqrt{5} + \sqrt{3}}{\sqrt{5} + \sqrt{3}}$ .

$\frac{\sqrt{5} + \sqrt{3}}{\sqrt{5} - \sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{5} + \sqrt{3}}{\sqrt{5} + \sqrt{3}} + \frac{\sqrt{5} - \sqrt{3}}{\sqrt{5} + \sqrt{3}}$

Passaggio 1.2

Moltiplica $\frac{\sqrt{5} + \sqrt{3}}{\sqrt{5} - \sqrt{3}}$ per $\frac{\sqrt{5} + \sqrt{3}}{\sqrt{5} + \sqrt{3}}$ .

$\frac{(\sqrt{5} + \sqrt{3}) (\sqrt{5} + \sqrt{3})}{(\sqrt{5} - \sqrt{3}) (\sqrt{5} + \sqrt{3})} + \frac{\sqrt{5} - \sqrt{3}}{\sqrt{5} + \sqrt{3}}$

Passaggio 1.3

Espandi il denominatore usando il metodo FOIL.

$\frac{(\sqrt{5} + \sqrt{3}) (\sqrt{5} + \sqrt{3})}{{\sqrt{5}}^{2} + \sqrt{15} - \sqrt{15} - {\sqrt{3}}^{2}} + \frac{\sqrt{5} - \sqrt{3}}{\sqrt{5} + \sqrt{3}}$

Passaggio 1.4

Semplifica.

$\frac{(\sqrt{5} + \sqrt{3}) (\sqrt{5} + \sqrt{3})}{2} + \frac{\sqrt{5} - \sqrt{3}}{\sqrt{5} + \sqrt{3}}$

Passaggio 1.5

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.1

Eleva $\sqrt{5} + \sqrt{3}$ alla potenza di $1$ .

$\frac{{(\sqrt{5} + \sqrt{3})}^{1} (\sqrt{5} + \sqrt{3})}{2} + \frac{\sqrt{5} - \sqrt{3}}{\sqrt{5} + \sqrt{3}}$

Passaggio 1.5.2

Eleva $\sqrt{5} + \sqrt{3}$ alla potenza di $1$ .

$\frac{{(\sqrt{5} + \sqrt{3})}^{1} {(\sqrt{5} + \sqrt{3})}^{1}}{2} + \frac{\sqrt{5} - \sqrt{3}}{\sqrt{5} + \sqrt{3}}$

Passaggio 1.5.3

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{{(\sqrt{5} + \sqrt{3})}^{1 + 1}}{2} + \frac{\sqrt{5} - \sqrt{3}}{\sqrt{5} + \sqrt{3}}$

Passaggio 1.5.4

Somma $1$ e $1$ .

$\frac{{(\sqrt{5} + \sqrt{3})}^{2}}{2} + \frac{\sqrt{5} - \sqrt{3}}{\sqrt{5} + \sqrt{3}}$

Passaggio 1.6

Riscrivi ${(\sqrt{5} + \sqrt{3})}^{2}$ come $(\sqrt{5} + \sqrt{3}) (\sqrt{5} + \sqrt{3})$ .

$\frac{(\sqrt{5} + \sqrt{3}) (\sqrt{5} + \sqrt{3})}{2} + \frac{\sqrt{5} - \sqrt{3}}{\sqrt{5} + \sqrt{3}}$

Passaggio 1.7

Espandi $(\sqrt{5} + \sqrt{3}) (\sqrt{5} + \sqrt{3})$ usando il metodo FOIL.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.7.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{\sqrt{5} (\sqrt{5} + \sqrt{3}) + \sqrt{3} (\sqrt{5} + \sqrt{3})}{2} + \frac{\sqrt{5} - \sqrt{3}}{\sqrt{5} + \sqrt{3}}$

Passaggio 1.7.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{\sqrt{5} \sqrt{5} + \sqrt{5} \sqrt{3} + \sqrt{3} (\sqrt{5} + \sqrt{3})}{2} + \frac{\sqrt{5} - \sqrt{3}}{\sqrt{5} + \sqrt{3}}$

Passaggio 1.7.3

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{\sqrt{5} \sqrt{5} + \sqrt{5} \sqrt{3} + \sqrt{3} \sqrt{5} + \sqrt{3} \sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{5} - \sqrt{3}}{\sqrt{5} + \sqrt{3}}$

Passaggio 1.8

Semplifica e combina i termini simili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.8.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.8.1.1

Combina usando la regola del prodotto per i radicali.

$\frac{\sqrt{5 \cdot 5} + \sqrt{5} \sqrt{3} + \sqrt{3} \sqrt{5} + \sqrt{3} \sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{5} - \sqrt{3}}{\sqrt{5} + \sqrt{3}}$

Passaggio 1.8.1.2

Moltiplica $5$ per $5$ .

$\frac{\sqrt{25} + \sqrt{5} \sqrt{3} + \sqrt{3} \sqrt{5} + \sqrt{3} \sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{5} - \sqrt{3}}{\sqrt{5} + \sqrt{3}}$

Passaggio 1.8.1.3

Riscrivi $25$ come $5^{2}$ .

$\frac{\sqrt{5^{2}} + \sqrt{5} \sqrt{3} + \sqrt{3} \sqrt{5} + \sqrt{3} \sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{5} - \sqrt{3}}{\sqrt{5} + \sqrt{3}}$

Passaggio 1.8.1.4

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$\frac{5 + \sqrt{5} \sqrt{3} + \sqrt{3} \sqrt{5} + \sqrt{3} \sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{5} - \sqrt{3}}{\sqrt{5} + \sqrt{3}}$

Passaggio 1.8.1.5

Combina usando la regola del prodotto per i radicali.

$\frac{5 + \sqrt{5 \cdot 3} + \sqrt{3} \sqrt{5} + \sqrt{3} \sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{5} - \sqrt{3}}{\sqrt{5} + \sqrt{3}}$

Passaggio 1.8.1.6

Moltiplica $5$ per $3$ .

$\frac{5 + \sqrt{15} + \sqrt{3} \sqrt{5} + \sqrt{3} \sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{5} - \sqrt{3}}{\sqrt{5} + \sqrt{3}}$

Passaggio 1.8.1.7

Combina usando la regola del prodotto per i radicali.

$\frac{5 + \sqrt{15} + \sqrt{3 \cdot 5} + \sqrt{3} \sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{5} - \sqrt{3}}{\sqrt{5} + \sqrt{3}}$

Passaggio 1.8.1.8

Moltiplica $3$ per $5$ .

$\frac{5 + \sqrt{15} + \sqrt{15} + \sqrt{3} \sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{5} - \sqrt{3}}{\sqrt{5} + \sqrt{3}}$

Passaggio 1.8.1.9

Combina usando la regola del prodotto per i radicali.

$\frac{5 + \sqrt{15} + \sqrt{15} + \sqrt{3 \cdot 3}}{2} + \frac{\sqrt{5} - \sqrt{3}}{\sqrt{5} + \sqrt{3}}$

Passaggio 1.8.1.10

Moltiplica $3$ per $3$ .

$\frac{5 + \sqrt{15} + \sqrt{15} + \sqrt{9}}{2} + \frac{\sqrt{5} - \sqrt{3}}{\sqrt{5} + \sqrt{3}}$

Passaggio 1.8.1.11

Riscrivi $9$ come $3^{2}$ .

$\frac{5 + \sqrt{15} + \sqrt{15} + \sqrt{3^{2}}}{2} + \frac{\sqrt{5} - \sqrt{3}}{\sqrt{5} + \sqrt{3}}$

Passaggio 1.8.1.12

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$\frac{5 + \sqrt{15} + \sqrt{15} + 3}{2} + \frac{\sqrt{5} - \sqrt{3}}{\sqrt{5} + \sqrt{3}}$

Passaggio 1.8.2

Somma $5$ e $3$ .

$\frac{8 + \sqrt{15} + \sqrt{15}}{2} + \frac{\sqrt{5} - \sqrt{3}}{\sqrt{5} + \sqrt{3}}$

Passaggio 1.8.3

Somma $\sqrt{15}$ e $\sqrt{15}$ .

$\frac{8 + 2 \sqrt{15}}{2} + \frac{\sqrt{5} - \sqrt{3}}{\sqrt{5} + \sqrt{3}}$

Passaggio 1.9

Elimina il fattore comune di $8 + 2 \sqrt{15}$ e $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.9.1

Scomponi $2$ da $8$ .

$\frac{2 \cdot 4 + 2 \sqrt{15}}{2} + \frac{\sqrt{5} - \sqrt{3}}{\sqrt{5} + \sqrt{3}}$

Passaggio 1.9.2

Scomponi $2$ da $2 \sqrt{15}$ .

$\frac{2 \cdot 4 + 2 (\sqrt{15})}{2} + \frac{\sqrt{5} - \sqrt{3}}{\sqrt{5} + \sqrt{3}}$

Passaggio 1.9.3

Scomponi $2$ da $2 (4) + 2 (\sqrt{15})$ .

$\frac{2 (4 + \sqrt{15})}{2} + \frac{\sqrt{5} - \sqrt{3}}{\sqrt{5} + \sqrt{3}}$

Passaggio 1.9.4

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.9.4.1

Scomponi $2$ da $2$ .

$\frac{2 (4 + \sqrt{15})}{2 (1)} + \frac{\sqrt{5} - \sqrt{3}}{\sqrt{5} + \sqrt{3}}$

Passaggio 1.9.4.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 (4 + \sqrt{15})}{2 \cdot 1} + \frac{\sqrt{5} - \sqrt{3}}{\sqrt{5} + \sqrt{3}}$

Passaggio 1.9.4.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{4 + \sqrt{15}}{1} + \frac{\sqrt{5} - \sqrt{3}}{\sqrt{5} + \sqrt{3}}$

Passaggio 1.9.4.4

Dividi $4 + \sqrt{15}$ per $1$ .

$4 + \sqrt{15} + \frac{\sqrt{5} - \sqrt{3}}{\sqrt{5} + \sqrt{3}}$

Passaggio 1.10

Moltiplica $\frac{\sqrt{5} - \sqrt{3}}{\sqrt{5} + \sqrt{3}}$ per $\frac{\sqrt{5} - \sqrt{3}}{\sqrt{5} - \sqrt{3}}$ .

$4 + \sqrt{15} + \frac{\sqrt{5} - \sqrt{3}}{\sqrt{5} + \sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{5} - \sqrt{3}}{\sqrt{5} - \sqrt{3}}$

Passaggio 1.11

Moltiplica $\frac{\sqrt{5} - \sqrt{3}}{\sqrt{5} + \sqrt{3}}$ per $\frac{\sqrt{5} - \sqrt{3}}{\sqrt{5} - \sqrt{3}}$ .

$4 + \sqrt{15} + \frac{(\sqrt{5} - \sqrt{3}) (\sqrt{5} - \sqrt{3})}{(\sqrt{5} + \sqrt{3}) (\sqrt{5} - \sqrt{3})}$

Passaggio 1.12

Espandi il denominatore usando il metodo FOIL.

$4 + \sqrt{15} + \frac{(\sqrt{5} - \sqrt{3}) (\sqrt{5} - \sqrt{3})}{{\sqrt{5}}^{2} - \sqrt{15} + \sqrt{15} - {\sqrt{3}}^{2}}$

Passaggio 1.13

Semplifica.

$4 + \sqrt{15} + \frac{(\sqrt{5} - \sqrt{3}) (\sqrt{5} - \sqrt{3})}{2}$

Passaggio 1.14

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.14.1

Eleva $\sqrt{5} - \sqrt{3}$ alla potenza di $1$ .

$4 + \sqrt{15} + \frac{{(\sqrt{5} - \sqrt{3})}^{1} (\sqrt{5} - \sqrt{3})}{2}$

Passaggio 1.14.2

Eleva $\sqrt{5} - \sqrt{3}$ alla potenza di $1$ .

$4 + \sqrt{15} + \frac{{(\sqrt{5} - \sqrt{3})}^{1} {(\sqrt{5} - \sqrt{3})}^{1}}{2}$

Passaggio 1.14.3

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$4 + \sqrt{15} + \frac{{(\sqrt{5} - \sqrt{3})}^{1 + 1}}{2}$

Passaggio 1.14.4

Somma $1$ e $1$ .

$4 + \sqrt{15} + \frac{{(\sqrt{5} - \sqrt{3})}^{2}}{2}$

Passaggio 1.15

Riscrivi ${(\sqrt{5} - \sqrt{3})}^{2}$ come $(\sqrt{5} - \sqrt{3}) (\sqrt{5} - \sqrt{3})$ .

$4 + \sqrt{15} + \frac{(\sqrt{5} - \sqrt{3}) (\sqrt{5} - \sqrt{3})}{2}$

Passaggio 1.16

Espandi $(\sqrt{5} - \sqrt{3}) (\sqrt{5} - \sqrt{3})$ usando il metodo FOIL.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.16.1

Applica la proprietà distributiva.

$4 + \sqrt{15} + \frac{\sqrt{5} (\sqrt{5} - \sqrt{3}) - \sqrt{3} (\sqrt{5} - \sqrt{3})}{2}$

Passaggio 1.16.2

Applica la proprietà distributiva.

$4 + \sqrt{15} + \frac{\sqrt{5} \sqrt{5} + \sqrt{5} (- \sqrt{3}) - \sqrt{3} (\sqrt{5} - \sqrt{3})}{2}$

Passaggio 1.16.3

Applica la proprietà distributiva.

$4 + \sqrt{15} + \frac{\sqrt{5} \sqrt{5} + \sqrt{5} (- \sqrt{3}) - \sqrt{3} \sqrt{5} - \sqrt{3} (- \sqrt{3})}{2}$

Passaggio 1.17

Semplifica e combina i termini simili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.17.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.17.1.1

Combina usando la regola del prodotto per i radicali.

$4 + \sqrt{15} + \frac{\sqrt{5 \cdot 5} + \sqrt{5} (- \sqrt{3}) - \sqrt{3} \sqrt{5} - \sqrt{3} (- \sqrt{3})}{2}$

Passaggio 1.17.1.2

Moltiplica $5$ per $5$ .

$4 + \sqrt{15} + \frac{\sqrt{25} + \sqrt{5} (- \sqrt{3}) - \sqrt{3} \sqrt{5} - \sqrt{3} (- \sqrt{3})}{2}$

Passaggio 1.17.1.3

Riscrivi $25$ come $5^{2}$ .

$4 + \sqrt{15} + \frac{\sqrt{5^{2}} + \sqrt{5} (- \sqrt{3}) - \sqrt{3} \sqrt{5} - \sqrt{3} (- \sqrt{3})}{2}$

Passaggio 1.17.1.4

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$4 + \sqrt{15} + \frac{5 + \sqrt{5} (- \sqrt{3}) - \sqrt{3} \sqrt{5} - \sqrt{3} (- \sqrt{3})}{2}$

Passaggio 1.17.1.5

Moltiplica $\sqrt{5} (- \sqrt{3})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.17.1.5.1

Combina usando la regola del prodotto per i radicali.

$4 + \sqrt{15} + \frac{5 - \sqrt{5 \cdot 3} - \sqrt{3} \sqrt{5} - \sqrt{3} (- \sqrt{3})}{2}$

Passaggio 1.17.1.5.2

Moltiplica $5$ per $3$ .

$4 + \sqrt{15} + \frac{5 - \sqrt{15} - \sqrt{3} \sqrt{5} - \sqrt{3} (- \sqrt{3})}{2}$

Passaggio 1.17.1.6

Moltiplica $- \sqrt{3} \sqrt{5}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.17.1.6.1

Combina usando la regola del prodotto per i radicali.

$4 + \sqrt{15} + \frac{5 - \sqrt{15} - \sqrt{5 \cdot 3} - \sqrt{3} (- \sqrt{3})}{2}$

Passaggio 1.17.1.6.2

Moltiplica $5$ per $3$ .

$4 + \sqrt{15} + \frac{5 - \sqrt{15} - \sqrt{15} - \sqrt{3} (- \sqrt{3})}{2}$

Passaggio 1.17.1.7

Moltiplica $- \sqrt{3} (- \sqrt{3})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.17.1.7.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$4 + \sqrt{15} + \frac{5 - \sqrt{15} - \sqrt{15} + 1 \sqrt{3} \sqrt{3}}{2}$

Passaggio 1.17.1.7.2

Moltiplica $\sqrt{3}$ per $1$ .

$4 + \sqrt{15} + \frac{5 - \sqrt{15} - \sqrt{15} + \sqrt{3} \sqrt{3}}{2}$

Passaggio 1.17.1.7.3

Eleva $\sqrt{3}$ alla potenza di $1$ .

$4 + \sqrt{15} + \frac{5 - \sqrt{15} - \sqrt{15} + {\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}}{2}$

Passaggio 1.17.1.7.4

Eleva $\sqrt{3}$ alla potenza di $1$ .

$4 + \sqrt{15} + \frac{5 - \sqrt{15} - \sqrt{15} + {\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}}{2}$

Passaggio 1.17.1.7.5

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$4 + \sqrt{15} + \frac{5 - \sqrt{15} - \sqrt{15} + {\sqrt{3}}^{1 + 1}}{2}$

Passaggio 1.17.1.7.6

Somma $1$ e $1$ .

$4 + \sqrt{15} + \frac{5 - \sqrt{15} - \sqrt{15} + {\sqrt{3}}^{2}}{2}$

Passaggio 1.17.1.8

Riscrivi ${\sqrt{3}}^{2}$ come $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.17.1.8.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{3}$ come $3^{\frac{1}{2}}$ .

$4 + \sqrt{15} + \frac{5 - \sqrt{15} - \sqrt{15} + {(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2}$

Passaggio 1.17.1.8.2

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$4 + \sqrt{15} + \frac{5 - \sqrt{15} - \sqrt{15} + 3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2}$

Passaggio 1.17.1.8.3

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$4 + \sqrt{15} + \frac{5 - \sqrt{15} - \sqrt{15} + 3^{\frac{2}{2}}}{2}$

Passaggio 1.17.1.8.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.17.1.8.4.1

Elimina il fattore comune.

$4 + \sqrt{15} + \frac{5 - \sqrt{15} - \sqrt{15} + 3^{\frac{2}{2}}}{2}$

Passaggio 1.17.1.8.4.2

Riscrivi l'espressione.

$4 + \sqrt{15} + \frac{5 - \sqrt{15} - \sqrt{15} + 3^{1}}{2}$

Passaggio 1.17.1.8.5

Calcola l'esponente.

$4 + \sqrt{15} + \frac{5 - \sqrt{15} - \sqrt{15} + 3}{2}$

Passaggio 1.17.2

Somma $5$ e $3$ .

$4 + \sqrt{15} + \frac{8 - \sqrt{15} - \sqrt{15}}{2}$

Passaggio 1.17.3

Sottrai $\sqrt{15}$ da $- \sqrt{15}$ .

$4 + \sqrt{15} + \frac{8 - 2 \sqrt{15}}{2}$

Passaggio 1.18

Elimina il fattore comune di $8 - 2 \sqrt{15}$ e $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.18.1

Scomponi $2$ da $8$ .

$4 + \sqrt{15} + \frac{2 \cdot 4 - 2 \sqrt{15}}{2}$

Passaggio 1.18.2

Scomponi $2$ da $- 2 \sqrt{15}$ .

$4 + \sqrt{15} + \frac{2 \cdot 4 + 2 (- \sqrt{15})}{2}$

Passaggio 1.18.3

Scomponi $2$ da $2 (4) + 2 (- \sqrt{15})$ .

$4 + \sqrt{15} + \frac{2 (4 - \sqrt{15})}{2}$

Passaggio 1.18.4

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.18.4.1

Scomponi $2$ da $2$ .

$4 + \sqrt{15} + \frac{2 (4 - \sqrt{15})}{2 (1)}$

Passaggio 1.18.4.2

Elimina il fattore comune.

$4 + \sqrt{15} + \frac{2 (4 - \sqrt{15})}{2 \cdot 1}$

Passaggio 1.18.4.3

Riscrivi l'espressione.

$4 + \sqrt{15} + \frac{4 - \sqrt{15}}{1}$

Passaggio 1.18.4.4

Dividi $4 - \sqrt{15}$ per $1$ .

$4 + \sqrt{15} + 4 - \sqrt{15}$

Passaggio 2

Semplifica aggiungendo i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Somma $4$ e $4$ .

$8 + \sqrt{15} - \sqrt{15}$

Passaggio 2.2

Sottrai $\sqrt{15}$ da $\sqrt{15}$ .

$8 + 0$

Passaggio 2.3

Somma $8$ e $0$ .

$8$