Algebra Esempi

${(x + 1)}^{2} (x - 5) = 0$

Passaggio 1

Semplifica e riordina il polinomio in ordine ascendente per usare la regola di Cartesio.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Riscrivi ${(x + 1)}^{2}$ come $(x + 1) (x + 1)$ .

$(x + 1) (x + 1) (x - 5)$

Passaggio 1.2

Espandi $(x + 1) (x + 1)$ usando il metodo FOIL.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Applica la proprietà distributiva.

$(x (x + 1) + 1 (x + 1)) (x - 5)$

Passaggio 1.2.2

Applica la proprietà distributiva.

$(x \cdot x + x \cdot 1 + 1 (x + 1)) (x - 5)$

Passaggio 1.2.3

Applica la proprietà distributiva.

$(x \cdot x + x \cdot 1 + 1 x + 1 \cdot 1) (x - 5)$

Passaggio 1.3

Semplifica e combina i termini simili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1.1

Moltiplica $x$ per $x$ .

$(x^{2} + x \cdot 1 + 1 x + 1 \cdot 1) (x - 5)$

Passaggio 1.3.1.2

Moltiplica $x$ per $1$ .

$(x^{2} + x + 1 x + 1 \cdot 1) (x - 5)$

Passaggio 1.3.1.3

Moltiplica $x$ per $1$ .

$(x^{2} + x + x + 1 \cdot 1) (x - 5)$

Passaggio 1.3.1.4

Moltiplica $1$ per $1$ .

$(x^{2} + x + x + 1) (x - 5)$

Passaggio 1.3.2

Somma $x$ e $x$ .

$(x^{2} + 2 x + 1) (x - 5)$

Passaggio 1.4

Espandi $(x^{2} + 2 x + 1) (x - 5)$ moltiplicando ciascun termine della prima espressione per ciascun termine della seconda espressione.

$x^{2} x + x^{2} \cdot - 5 + 2 x \cdot x + 2 x \cdot - 5 + 1 x + 1 \cdot - 5$

Passaggio 1.5

Semplifica i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.1.1

Moltiplica $x^{2}$ per $x$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.1.1.1

Moltiplica $x^{2}$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.1.1.1.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$x^{2} x^{1} + x^{2} \cdot - 5 + 2 x \cdot x + 2 x \cdot - 5 + 1 x + 1 \cdot - 5$

Passaggio 1.5.1.1.1.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$x^{2 + 1} + x^{2} \cdot - 5 + 2 x \cdot x + 2 x \cdot - 5 + 1 x + 1 \cdot - 5$

Passaggio 1.5.1.1.2

Somma $2$ e $1$ .

$x^{3} + x^{2} \cdot - 5 + 2 x \cdot x + 2 x \cdot - 5 + 1 x + 1 \cdot - 5$

Passaggio 1.5.1.2

Sposta $- 5$ alla sinistra di $x^{2}$ .

$x^{3} - 5 \cdot x^{2} + 2 x \cdot x + 2 x \cdot - 5 + 1 x + 1 \cdot - 5$

Passaggio 1.5.1.3

Moltiplica $x$ per $x$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.1.3.1

Sposta $x$ .

$x^{3} - 5 x^{2} + 2 (x \cdot x) + 2 x \cdot - 5 + 1 x + 1 \cdot - 5$

Passaggio 1.5.1.3.2

Moltiplica $x$ per $x$ .

$x^{3} - 5 x^{2} + 2 x^{2} + 2 x \cdot - 5 + 1 x + 1 \cdot - 5$

Passaggio 1.5.1.4

Moltiplica $- 5$ per $2$ .

$x^{3} - 5 x^{2} + 2 x^{2} - 10 x + 1 x + 1 \cdot - 5$

Passaggio 1.5.1.5

Moltiplica $x$ per $1$ .

$x^{3} - 5 x^{2} + 2 x^{2} - 10 x + x + 1 \cdot - 5$

Passaggio 1.5.1.6

Moltiplica $- 5$ per $1$ .

$x^{3} - 5 x^{2} + 2 x^{2} - 10 x + x - 5$

Passaggio 1.5.2

Semplifica aggiungendo i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.2.1

Somma $- 5 x^{2}$ e $2 x^{2}$ .

$x^{3} - 3 x^{2} - 10 x + x - 5$

Passaggio 1.5.2.2

Somma $- 10 x$ e $x$ .

$x^{3} - 3 x^{2} - 9 x - 5$

Passaggio 2

Per trovare il possibile numero di radici positive, guarda i segni dei coefficienti e conta il numero di volte in cui i coefficienti cambiano da positivo a negativo o viceversa.

$f (x) = x^{3} - 3 x^{2} - 9 x - 5$

Passaggio 3

Poiché c'è $1$ cambiamento di segno dal termine di ordine più alto a quello di ordine più basso, c'è al massimo $1$ radice positiva (regola di Cartesio).

Radici positive: $1$

Passaggio 4

Per trovare il possibile numero di radici negative, sostituisci $x$ con $- x$ e ripeti il confronto dei segni.

$f (- x) = {(- x)}^{3} - 3 {(- x)}^{2} - 9 (- x) - 5$

Passaggio 5

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Applica la regola del prodotto a $- x$ .

$f (- x) = {(- 1)}^{3} x^{3} - 3 {(- x)}^{2} - 9 (- x) - 5$

Passaggio 5.2

Eleva $- 1$ alla potenza di $3$ .

$f (- x) = - x^{3} - 3 {(- x)}^{2} - 9 (- x) - 5$

Passaggio 5.3

Applica la regola del prodotto a $- x$ .

$f (- x) = - x^{3} - 3 ({(- 1)}^{2} x^{2}) - 9 (- x) - 5$

Passaggio 5.4

Eleva $- 1$ alla potenza di $2$ .

$f (- x) = - x^{3} - 3 (1 x^{2}) - 9 (- x) - 5$

Passaggio 5.5

Moltiplica $x^{2}$ per $1$ .

$f (- x) = - x^{3} - 3 x^{2} - 9 (- x) - 5$

Passaggio 5.6

Moltiplica $- 1$ per $- 9$ .

$f (- x) = - x^{3} - 3 x^{2} + 9 x - 5$

Passaggio 6

Poiché ci sono $2$ cambiamenti di segno dal termine di ordine più alto a quello di ordine più basso, ci sono al massimo $2$ radici negative (Regola di Cartesio). È possibile trovare gli altri numeri possibili di radici negative sottraendo le coppie di radici (ad es. $2 - 2$ ).

Radici negative: $2$ o $0$

Passaggio 7

Il numero di radici positive possibili è $1$ e il numero di radici negative possibili è $2$ o $0$ .

Radici positive: $1$

Radici negative: $2$ o $0$