Algebra Esempi

$(\frac{p q}{p^{2} - q^{2}} + \frac{q}{q - p}) \div (p - q + \frac{4 q^{2} - p^{2}}{p + q})$

Passaggio 1

Riscrivi la divisione come una frazione.

$\frac{\frac{p q}{p^{2} - q^{2}} + \frac{q}{q - p}}{p - q + \frac{4 q^{2} - p^{2}}{p + q}}$

Passaggio 2

Multiply the numerator and denominator of the fraction by $(p^{2} - q^{2}) (q - p) (p + q)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Moltiplica $\frac{\frac{p q}{p^{2} - q^{2}} + \frac{q}{q - p}}{p - q + \frac{4 q^{2} - p^{2}}{p + q}}$ per $\frac{(p^{2} - q^{2}) (q - p) (p + q)}{(p^{2} - q^{2}) (q - p) (p + q)}$ .

$\frac{(p^{2} - q^{2}) (q - p) (p + q)}{(p^{2} - q^{2}) (q - p) (p + q)} \cdot \frac{\frac{p q}{p^{2} - q^{2}} + \frac{q}{q - p}}{p - q + \frac{4 q^{2} - p^{2}}{p + q}}$

Passaggio 2.2

Combina.

$\frac{(p^{2} - q^{2}) (q - p) (p + q) (\frac{p q}{p^{2} - q^{2}} + \frac{q}{q - p})}{(p^{2} - q^{2}) (q - p) (p + q) (p - q + \frac{4 q^{2} - p^{2}}{p + q})}$

Passaggio 3

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{(p^{2} - q^{2}) (q - p) (p + q) \frac{p q}{p^{2} - q^{2}} + (p^{2} - q^{2}) (q - p) (p + q) \frac{q}{q - p}}{(p^{2} - q^{2}) (q - p) (p + q) p + (p^{2} - q^{2}) (q - p) (p + q) (- q) + (p^{2} - q^{2}) (q - p) (p + q) \frac{4 q^{2} - p^{2}}{p + q}}$

Passaggio 4

Semplifica cancellando.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Elimina il fattore comune di $p^{2} - q^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.1

Scomponi $p^{2} - q^{2}$ da $(p^{2} - q^{2}) (q - p) (p + q)$ .

$\frac{(p^{2} - q^{2}) ((q - p) (p + q)) \frac{p q}{p^{2} - q^{2}} + (p^{2} - q^{2}) (q - p) (p + q) \frac{q}{q - p}}{(p^{2} - q^{2}) (q - p) (p + q) p + (p^{2} - q^{2}) (q - p) (p + q) (- q) + (p^{2} - q^{2}) (q - p) (p + q) \frac{4 q^{2} - p^{2}}{p + q}}$

Passaggio 4.1.2

Elimina il fattore comune.

Passaggio 4.1.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{(q - p) (p + q) (p q) + (p^{2} - q^{2}) (q - p) (p + q) \frac{q}{q - p}}{(p^{2} - q^{2}) (q - p) (p + q) p + (p^{2} - q^{2}) (q - p) (p + q) (- q) + (p^{2} - q^{2}) (q - p) (p + q) \frac{4 q^{2} - p^{2}}{p + q}}$

Passaggio 4.2

Elimina il fattore comune di $q - p$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1

Scomponi $q - p$ da $(p^{2} - q^{2}) (q - p) (p + q)$ .

$\frac{(q - p) (p + q) (p q) + (q - p) ((p^{2} - q^{2}) (p + q)) \frac{q}{q - p}}{(p^{2} - q^{2}) (q - p) (p + q) p + (p^{2} - q^{2}) (q - p) (p + q) (- q) + (p^{2} - q^{2}) (q - p) (p + q) \frac{4 q^{2} - p^{2}}{p + q}}$

Passaggio 4.2.2

Elimina il fattore comune.

Passaggio 4.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{(q - p) (p + q) (p q) + (p^{2} - q^{2}) (p + q) q}{(p^{2} - q^{2}) (q - p) (p + q) p + (p^{2} - q^{2}) (q - p) (p + q) (- q) + (p^{2} - q^{2}) (q - p) (p + q) \frac{4 q^{2} - p^{2}}{p + q}}$

Passaggio 4.3

Elimina il fattore comune di $p + q$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.1

Scomponi $p + q$ da $(p^{2} - q^{2}) (q - p) (p + q)$ .

$\frac{(q - p) (p + q) (p q) + (p^{2} - q^{2}) (p + q) q}{(p^{2} - q^{2}) (q - p) (p + q) p + (p^{2} - q^{2}) (q - p) (p + q) (- q) + (p + q) ((p^{2} - q^{2}) (q - p)) \frac{4 q^{2} - p^{2}}{p + q}}$

Passaggio 4.3.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{(q - p) (p + q) (p q) + (p^{2} - q^{2}) (p + q) q}{(p^{2} - q^{2}) (q - p) (p + q) p + (p^{2} - q^{2}) (q - p) (p + q) (- q) + (p + q) ((p^{2} - q^{2}) (q - p)) \frac{4 q^{2} - p^{2}}{p + q}}$

Passaggio 4.3.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{(q - p) (p + q) (p q) + (p^{2} - q^{2}) (p + q) q}{(p^{2} - q^{2}) (q - p) (p + q) p + (p^{2} - q^{2}) (q - p) (p + q) (- q) + (p^{2} - q^{2}) (q - p) (4 q^{2} - p^{2})}$

Passaggio 5

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Scomponi $(p + q) q$ da $(q - p) (p + q) (p q) + (p^{2} - q^{2}) (p + q) q$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.1

Scomponi $(p + q) q$ da $(q - p) (p + q) (p q)$ .

$\frac{(p + q) q ((q - p) (p)) + (p^{2} - q^{2}) (p + q) q}{(p^{2} - q^{2}) (q - p) (p + q) p + (p^{2} - q^{2}) (q - p) (p + q) (- q) + (p^{2} - q^{2}) (q - p) (4 q^{2} - p^{2})}$

Passaggio 5.1.2

Scomponi $(p + q) q$ da $(p^{2} - q^{2}) (p + q) q$ .

$\frac{(p + q) q ((q - p) (p)) + (p + q) q (p^{2} - q^{2})}{(p^{2} - q^{2}) (q - p) (p + q) p + (p^{2} - q^{2}) (q - p) (p + q) (- q) + (p^{2} - q^{2}) (q - p) (4 q^{2} - p^{2})}$

Passaggio 5.1.3

Scomponi $(p + q) q$ da $(p + q) q ((q - p) (p)) + (p + q) q (p^{2} - q^{2})$ .

$\frac{(p + q) q ((q - p) (p) + p^{2} - q^{2})}{(p^{2} - q^{2}) (q - p) (p + q) p + (p^{2} - q^{2}) (q - p) (p + q) (- q) + (p^{2} - q^{2}) (q - p) (4 q^{2} - p^{2})}$

Passaggio 5.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{(p + q) q (q p - p \cdot p + p^{2} - q^{2})}{(p^{2} - q^{2}) (q - p) (p + q) p + (p^{2} - q^{2}) (q - p) (p + q) (- q) + (p^{2} - q^{2}) (q - p) (4 q^{2} - p^{2})}$

Passaggio 5.3

Moltiplica $p$ per $p$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1

Sposta $p$ .

$\frac{(p + q) q (q p - (p \cdot p) + p^{2} - q^{2})}{(p^{2} - q^{2}) (q - p) (p + q) p + (p^{2} - q^{2}) (q - p) (p + q) (- q) + (p^{2} - q^{2}) (q - p) (4 q^{2} - p^{2})}$

Passaggio 5.3.2

Moltiplica $p$ per $p$ .

$\frac{(p + q) q (q p - p^{2} + p^{2} - q^{2})}{(p^{2} - q^{2}) (q - p) (p + q) p + (p^{2} - q^{2}) (q - p) (p + q) (- q) + (p^{2} - q^{2}) (q - p) (4 q^{2} - p^{2})}$

Passaggio 5.4

Somma $- p^{2}$ e $p^{2}$ .

$\frac{(p + q) q (q p + 0 - q^{2})}{(p^{2} - q^{2}) (q - p) (p + q) p + (p^{2} - q^{2}) (q - p) (p + q) (- q) + (p^{2} - q^{2}) (q - p) (4 q^{2} - p^{2})}$

Passaggio 5.5

Somma $q p$ e $0$ .

$\frac{(p + q) q (q p - q^{2})}{(p^{2} - q^{2}) (q - p) (p + q) p + (p^{2} - q^{2}) (q - p) (p + q) (- q) + (p^{2} - q^{2}) (q - p) (4 q^{2} - p^{2})}$

Passaggio 5.6

Scomponi $q$ da $q p - q^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.6.1

Scomponi $q$ da $q p$ .

$\frac{(p + q) q (q (p) - q^{2})}{(p^{2} - q^{2}) (q - p) (p + q) p + (p^{2} - q^{2}) (q - p) (p + q) (- q) + (p^{2} - q^{2}) (q - p) (4 q^{2} - p^{2})}$

Passaggio 5.6.2

Scomponi $q$ da $- q^{2}$ .

$\frac{(p + q) q (q (p) + q (- q))}{(p^{2} - q^{2}) (q - p) (p + q) p + (p^{2} - q^{2}) (q - p) (p + q) (- q) + (p^{2} - q^{2}) (q - p) (4 q^{2} - p^{2})}$

Passaggio 5.6.3

Scomponi $q$ da $q (p) + q (- q)$ .

$\frac{(p + q) q (q (p - q))}{(p^{2} - q^{2}) (q - p) (p + q) p + (p^{2} - q^{2}) (q - p) (p + q) (- q) + (p^{2} - q^{2}) (q - p) (4 q^{2} - p^{2})}$

$\frac{(p + q) q \cdot q (p - q)}{(p^{2} - q^{2}) (q - p) (p + q) p + (p^{2} - q^{2}) (q - p) (p + q) (- q) + (p^{2} - q^{2}) (q - p) (4 q^{2} - p^{2})}$

Passaggio 5.7

Raccogli gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.7.1

Eleva $q$ alla potenza di $1$ .

$\frac{(p + q) (q^{1} q) (p - q)}{(p^{2} - q^{2}) (q - p) (p + q) p + (p^{2} - q^{2}) (q - p) (p + q) (- q) + (p^{2} - q^{2}) (q - p) (4 q^{2} - p^{2})}$

Passaggio 5.7.2

Eleva $q$ alla potenza di $1$ .

$\frac{(p + q) (q^{1} q^{1}) (p - q)}{(p^{2} - q^{2}) (q - p) (p + q) p + (p^{2} - q^{2}) (q - p) (p + q) (- q) + (p^{2} - q^{2}) (q - p) (4 q^{2} - p^{2})}$

Passaggio 5.7.3

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{(p + q) q^{1 + 1} (p - q)}{(p^{2} - q^{2}) (q - p) (p + q) p + (p^{2} - q^{2}) (q - p) (p + q) (- q) + (p^{2} - q^{2}) (q - p) (4 q^{2} - p^{2})}$

Passaggio 5.7.4

Somma $1$ e $1$ .

$\frac{(p + q) q^{2} (p - q)}{(p^{2} - q^{2}) (q - p) (p + q) p + (p^{2} - q^{2}) (q - p) (p + q) (- q) + (p^{2} - q^{2}) (q - p) (4 q^{2} - p^{2})}$

Passaggio 6

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Scomponi $(p^{2} - q^{2}) (q - p)$ da $(p^{2} - q^{2}) (q - p) (p + q) p + (p^{2} - q^{2}) (q - p) (p + q) (- q) + (p^{2} - q^{2}) (q - p) (4 q^{2} - p^{2})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.1

Scomponi $(p^{2} - q^{2}) (q - p)$ da $(p^{2} - q^{2}) (q - p) (p + q) p$ .

$\frac{(p + q) q^{2} (p - q)}{(p^{2} - q^{2}) (q - p) ((p + q) p) + (p^{2} - q^{2}) (q - p) (p + q) (- q) + (p^{2} - q^{2}) (q - p) (4 q^{2} - p^{2})}$

Passaggio 6.1.2

Scomponi $(p^{2} - q^{2}) (q - p)$ da $(p^{2} - q^{2}) (q - p) (p + q) (- q)$ .

$\frac{(p + q) q^{2} (p - q)}{(p^{2} - q^{2}) (q - p) ((p + q) p) + (p^{2} - q^{2}) (q - p) ((p + q) (- q)) + (p^{2} - q^{2}) (q - p) (4 q^{2} - p^{2})}$

Passaggio 6.1.3

Scomponi $(p^{2} - q^{2}) (q - p)$ da $(p^{2} - q^{2}) (q - p) ((p + q) p) + (p^{2} - q^{2}) (q - p) ((p + q) (- q))$ .

$\frac{(p + q) q^{2} (p - q)}{(p^{2} - q^{2}) (q - p) ((p + q) p + (p + q) (- q)) + (p^{2} - q^{2}) (q - p) (4 q^{2} - p^{2})}$

Passaggio 6.1.4

Scomponi $(p^{2} - q^{2}) (q - p)$ da $(p^{2} - q^{2}) (q - p) ((p + q) p + (p + q) (- q)) + (p^{2} - q^{2}) (q - p) (4 q^{2} - p^{2})$ .

$\frac{(p + q) q^{2} (p - q)}{(p^{2} - q^{2}) (q - p) ((p + q) p + (p + q) (- q) + 4 q^{2} - p^{2})}$

Passaggio 6.2

Poiché entrambi i termini sono dei quadrati perfetti, fattorizza utilizzando la formula della differenza di quadrati, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ dove $a = p$ e $b = q$ .

$\frac{(p + q) q^{2} (p - q)}{(p + q) (p - q) (q - p) ((p + q) p + (p + q) (- q) + 4 q^{2} - p^{2})}$

Passaggio 6.3

Raccogli gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.1

Scomponi $- 1$ da $p$ .

$\frac{(p + q) q^{2} (p - q)}{(p + q) (- 1 (- p) - q) (q - p) ((p + q) p + (p + q) (- q) + 4 q^{2} - p^{2})}$

Passaggio 6.3.2

Scomponi $- 1$ da $- q$ .

$\frac{(p + q) q^{2} (p - q)}{(p + q) (- 1 (- p) - (q)) (q - p) ((p + q) p + (p + q) (- q) + 4 q^{2} - p^{2})}$

Passaggio 6.3.3

Scomponi $- 1$ da $- 1 (- p) - (q)$ .

$\frac{(p + q) q^{2} (p - q)}{(p + q) (- 1 (- p + q)) (q - p) ((p + q) p + (p + q) (- q) + 4 q^{2} - p^{2})}$

Passaggio 6.3.4

Riordina i termini.

$\frac{(p + q) q^{2} (p - q)}{(p + q) \cdot - 1 (- p + q) (- p + q) ((p + q) p + (p + q) (- q) + 4 q^{2} - p^{2})}$

Passaggio 6.3.5

Eleva $- p + q$ alla potenza di $1$ .

$\frac{(p + q) q^{2} (p - q)}{(p + q) \cdot - 1 ({(- p + q)}^{1} (- p + q)) ((p + q) p + (p + q) (- q) + 4 q^{2} - p^{2})}$

Passaggio 6.3.6

Eleva $- p + q$ alla potenza di $1$ .

$\frac{(p + q) q^{2} (p - q)}{(p + q) \cdot - 1 ({(- p + q)}^{1} {(- p + q)}^{1}) ((p + q) p + (p + q) (- q) + 4 q^{2} - p^{2})}$

Passaggio 6.3.7

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{(p + q) q^{2} (p - q)}{(p + q) \cdot - 1 {(- p + q)}^{1 + 1} ((p + q) p + (p + q) (- q) + 4 q^{2} - p^{2})}$

Passaggio 6.3.8

Somma $1$ e $1$ .

$\frac{(p + q) q^{2} (p - q)}{(p + q) \cdot - 1 {(- p + q)}^{2} ((p + q) p + (p + q) (- q) + 4 q^{2} - p^{2})}$

Passaggio 6.4

Metti in evidenza il valore negativo.

$\frac{(p + q) q^{2} (p - q)}{- (p + q) {(- p + q)}^{2} ((p + q) p + (p + q) (- q) + 4 q^{2} - p^{2})}$

Passaggio 6.5

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.5.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{(p + q) q^{2} (p - q)}{- (p + q) {(- p + q)}^{2} (p \cdot p + q p + (p + q) (- q) + 4 q^{2} - p^{2})}$

Passaggio 6.5.2

Moltiplica $p$ per $p$ .

$\frac{(p + q) q^{2} (p - q)}{- (p + q) {(- p + q)}^{2} (p^{2} + q p + (p + q) (- q) + 4 q^{2} - p^{2})}$

Passaggio 6.5.3

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{(p + q) q^{2} (p - q)}{- (p + q) {(- p + q)}^{2} (p^{2} + q p + p (- q) + q (- q) + 4 q^{2} - p^{2})}$

Passaggio 6.5.4

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$\frac{(p + q) q^{2} (p - q)}{- (p + q) {(- p + q)}^{2} (p^{2} + q p - p q + q (- q) + 4 q^{2} - p^{2})}$

Passaggio 6.5.5

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$\frac{(p + q) q^{2} (p - q)}{- (p + q) {(- p + q)}^{2} (p^{2} + q p - p q - q \cdot q + 4 q^{2} - p^{2})}$

Passaggio 6.5.6

Moltiplica $q$ per $q$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.5.6.1

Sposta $q$ .

$\frac{(p + q) q^{2} (p - q)}{- (p + q) {(- p + q)}^{2} (p^{2} + q p - p q - (q \cdot q) + 4 q^{2} - p^{2})}$

Passaggio 6.5.6.2

Moltiplica $q$ per $q$ .

$\frac{(p + q) q^{2} (p - q)}{- (p + q) {(- p + q)}^{2} (p^{2} + q p - p q - q^{2} + 4 q^{2} - p^{2})}$

Passaggio 6.6

Combina i termini opposti in $p^{2} + q p - p q - q^{2} + 4 q^{2} - p^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.6.1

Riordina i fattori nei termini di $q p$ e $- p q$ .

$\frac{(p + q) q^{2} (p - q)}{- (p + q) {(- p + q)}^{2} (p^{2} + p q - p q - q^{2} + 4 q^{2} - p^{2})}$

Passaggio 6.6.2

Sottrai $p q$ da $p q$ .

$\frac{(p + q) q^{2} (p - q)}{- (p + q) {(- p + q)}^{2} (p^{2} + 0 - q^{2} + 4 q^{2} - p^{2})}$

Passaggio 6.6.3

Somma $p^{2}$ e $0$ .

$\frac{(p + q) q^{2} (p - q)}{- (p + q) {(- p + q)}^{2} (p^{2} - q^{2} + 4 q^{2} - p^{2})}$

Passaggio 6.6.4

Sottrai $p^{2}$ da $p^{2}$ .

$\frac{(p + q) q^{2} (p - q)}{- (p + q) {(- p + q)}^{2} (- q^{2} + 4 q^{2} + 0)}$

Passaggio 6.6.5

Somma $- q^{2} + 4 q^{2}$ e $0$ .

$\frac{(p + q) q^{2} (p - q)}{- (p + q) {(- p + q)}^{2} (- q^{2} + 4 q^{2})}$

Passaggio 6.7

Somma $- q^{2}$ e $4 q^{2}$ .

$\frac{(p + q) q^{2} (p - q)}{- (p + q) {(- p + q)}^{2} \cdot 3 q^{2}}$

Passaggio 6.8

Moltiplica $3$ per $- 1$ .

$\frac{(p + q) q^{2} (p - q)}{- 3 (p + q) {(- p + q)}^{2} q^{2}}$

Passaggio 7

Semplifica i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Elimina il fattore comune di $p + q$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{(p + q) q^{2} (p - q)}{- 3 (p + q) {(- p + q)}^{2} q^{2}}$

Passaggio 7.1.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{q^{2} (p - q)}{- 3 {(- p + q)}^{2} q^{2}}$

Passaggio 7.2

Elimina il fattore comune di $q^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{q^{2} (p - q)}{- 3 {(- p + q)}^{2} q^{2}}$

Passaggio 7.2.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{p - q}{- 3 {(- p + q)}^{2}}$

Passaggio 7.3

Elimina il fattore comune di $p - q$ e ${(- p + q)}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.3.1

Scomponi $- 1$ da $p$ .

$\frac{- 1 (- p) - q}{- 3 {(- p + q)}^{2}}$

Passaggio 7.3.2

Scomponi $- 1$ da $- q$ .

$\frac{- 1 (- p) - (q)}{- 3 {(- p + q)}^{2}}$

Passaggio 7.3.3

Scomponi $- 1$ da $- 1 (- p) - (q)$ .

$\frac{- 1 (- p + q)}{- 3 {(- p + q)}^{2}}$

Passaggio 7.3.4

Scomponi $- p + q$ da $- 1 (- p + q)$ .

$\frac{(- p + q) \cdot - 1}{- 3 {(- p + q)}^{2}}$

Passaggio 7.3.5

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.3.5.1

Scomponi $- p + q$ da $- 3 {(- p + q)}^{2}$ .

$\frac{(- p + q) \cdot - 1}{(- p + q) (- 3 (- p + q))}$

Passaggio 7.3.5.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{(- p + q) \cdot - 1}{(- p + q) (- 3 (- p + q))}$

Passaggio 7.3.5.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{- 1}{- 3 (- p + q)}$

Passaggio 7.4

Dividendo due valori negativi si ottiene un valore positivo.

$\frac{1}{(3) (- p + q)}$

Passaggio 7.5

Scomponi $- 1$ da $- p$ .

$\frac{1}{3 (- (p) + q)}$

Passaggio 7.6

Scomponi $- 1$ da $q$ .

$\frac{1}{3 (- (p) - 1 (- q))}$

Passaggio 7.7

Scomponi $- 1$ da $- (p) - 1 (- q)$ .

$\frac{1}{3 (- (p - q))}$

Passaggio 7.8

Riscrivi i negativi.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.8.1

Riscrivi $- (p - q)$ come $- 1 (p - q)$ .

$\frac{1}{3 (- 1 (p - q))}$

Passaggio 7.8.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{1}{3 (p - q)}$