Algebra Esempi

$\sqrt{1 - x} < \sqrt{2 x + 6}$

Passaggio 1

Per rimuovere il radicale del lato sinistro della diseguaglianza, eleva al quadrato entrambi i lati della diseguaglianza.

${\sqrt{1 - x}}^{2} < {\sqrt{2 x + 6}}^{2}$

Passaggio 2

Semplifica ogni lato della diseguaglianza.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{1 - x}$ come ${(1 - x)}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(1 - x)}^{\frac{1}{2}})}^{2} < {\sqrt{2 x + 6}}^{2}$

Passaggio 2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Semplifica ${({(1 - x)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1.1

Moltiplica gli esponenti in ${({(1 - x)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1.1.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(1 - x)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} < {\sqrt{2 x + 6}}^{2}$

Passaggio 2.2.1.1.2

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1.1.2.1

Elimina il fattore comune.

${(1 - x)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} < {\sqrt{2 x + 6}}^{2}$

Passaggio 2.2.1.1.2.2

Riscrivi l'espressione.

${(1 - x)}^{1} < {\sqrt{2 x + 6}}^{2}$

Passaggio 2.2.1.2

Semplifica.

$1 - x < {\sqrt{2 x + 6}}^{2}$

Passaggio 2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Semplifica ${\sqrt{2 x + 6}}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1.1

Scomponi $2$ da $2 x + 6$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1.1.1

Scomponi $2$ da $2 x$ .

$1 - x < {\sqrt{2 (x) + 6}}^{2}$

Passaggio 2.3.1.1.2

Scomponi $2$ da $6$ .

$1 - x < {\sqrt{2 x + 2 \cdot 3}}^{2}$

Passaggio 2.3.1.1.3

Scomponi $2$ da $2 x + 2 \cdot 3$ .

$1 - x < {\sqrt{2 (x + 3)}}^{2}$

Passaggio 2.3.1.2

Riscrivi ${\sqrt{2 (x + 3)}}^{2}$ come $2 (x + 3)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1.2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{2 (x + 3)}$ come ${(2 (x + 3))}^{\frac{1}{2}}$ .

$1 - x < {({(2 (x + 3))}^{\frac{1}{2}})}^{2}$

Passaggio 2.3.1.2.2

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$1 - x < {(2 (x + 3))}^{\frac{1}{2} \cdot 2}$

Passaggio 2.3.1.2.3

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$1 - x < {(2 (x + 3))}^{\frac{2}{2}}$

Passaggio 2.3.1.2.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1.2.4.1

Elimina il fattore comune.

$1 - x < {(2 (x + 3))}^{\frac{2}{2}}$

Passaggio 2.3.1.2.4.2

Riscrivi l'espressione.

$1 - x < {(2 (x + 3))}^{1}$

Passaggio 2.3.1.2.5

Semplifica.

$1 - x < 2 (x + 3)$

Passaggio 2.3.1.3

Applica la proprietà distributiva.

$1 - x < 2 x + 2 \cdot 3$

Passaggio 2.3.1.4

Moltiplica $2$ per $3$ .

$1 - x < 2 x + 6$

Passaggio 3

Risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Sposta tutti i termini contenenti $x$ sul lato sinistro della diseguaglianza.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.1

Sottrai $2 x$ da entrambi i lati della diseguaglianza.

$1 - x - 2 x < 6$

Passaggio 3.1.2

Sottrai $2 x$ da $- x$ .

$1 - 3 x < 6$

Passaggio 3.2

Sposta tutti i termini non contenenti $x$ sul lato destro della diseguaglianza.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Sottrai $1$ da entrambi i lati della diseguaglianza.

$- 3 x < 6 - 1$

Passaggio 3.2.2

Sottrai $1$ da $6$ .

$- 3 x < 5$

Passaggio 3.3

Dividi per $- 3$ ciascun termine in $- 3 x < 5$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1

Dividi per $- 3$ ciascun termine in $- 3 x < 5$ . Quando moltiplichi o dividi entrambi i lati di una diseguaglianza per un valore negativo, inverti il verso della diseguaglianza.

$\frac{- 3 x}{- 3} > \frac{5}{- 3}$

Passaggio 3.3.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.1

Elimina il fattore comune di $- 3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{- 3 x}{- 3} > \frac{5}{- 3}$

Passaggio 3.3.2.1.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x > \frac{5}{- 3}$

Passaggio 3.3.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.3.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$x > - \frac{5}{3}$

Passaggio 4

Trova il dominio di $\sqrt{1 - x} - \sqrt{2 (x + 3)}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Imposta il radicando in $\sqrt{1 - x}$ in modo che sia maggiore o uguale a $0$ per individuare dove l'espressione è definita.

$1 - x \geq 0$

Passaggio 4.2

Risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1

Sottrai $1$ da entrambi i lati della diseguaglianza.

$- x \geq - 1$

Passaggio 4.2.2

Dividi per $- 1$ ciascun termine in $- x \geq - 1$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.2.1

Dividi per $- 1$ ciascun termine in $- x \geq - 1$ . Quando moltiplichi o dividi entrambi i lati di una diseguaglianza per un valore negativo, inverti il verso della diseguaglianza.

$\frac{- x}{- 1} \leq \frac{- 1}{- 1}$

Passaggio 4.2.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.2.2.1

Dividendo due valori negativi si ottiene un valore positivo.

$\frac{x}{1} \leq \frac{- 1}{- 1}$

Passaggio 4.2.2.2.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x \leq \frac{- 1}{- 1}$

Passaggio 4.2.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.2.3.1

Dividi $- 1$ per $- 1$ .

$x \leq 1$

Passaggio 4.3

Imposta il radicando in $\sqrt{2 (x + 3)}$ in modo che sia maggiore o uguale a $0$ per individuare dove l'espressione è definita.

$2 (x + 3) \geq 0$

Passaggio 4.4

Risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.4.1

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 (x + 3) \geq 0$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.4.1.1

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 (x + 3) \geq 0$ .

$\frac{2 (x + 3)}{2} \geq \frac{0}{2}$

Passaggio 4.4.1.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.4.1.2.1

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.4.1.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 (x + 3)}{2} \geq \frac{0}{2}$

Passaggio 4.4.1.2.1.2

Dividi $x + 3$ per $1$ .

$x + 3 \geq \frac{0}{2}$

Passaggio 4.4.1.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.4.1.3.1

Dividi $0$ per $2$ .

$x + 3 \geq 0$

Passaggio 4.4.2

Sottrai $3$ da entrambi i lati della diseguaglianza.

$x \geq - 3$

Passaggio 4.5

Il dominio è formato da tutti i valori di $x$ che rendono definita l'espressione.

$[- 3, 1]$

Passaggio 5

Usa ogni radice per creare gli intervalli di prova.

$x < - 3$

$- 3 < x < - \frac{5}{3}$

$- \frac{5}{3} < x < 1$

$x > 1$

Passaggio 6

Scegli un valore di test da ciascun intervallo e sostituiscilo nella diseguaglianza originale per determinare quali intervalli sono soddisfatti dalla diseguaglianza.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Testa un valore sull'intervallo $x < - 3$ per verificare se rende vera la diseguaglianza.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.1

Scegli un valore sull'intervallo $x < - 3$ e verifica se soddisfa la diseguaglianza originale.

$x = - 6$

Passaggio 6.1.2

Sostituisci $x$ con $- 6$ nella diseguaglianza originale.

$\sqrt{1 - (- 6)} < \sqrt{2 (- 6) + 6}$

Passaggio 6.1.3

Il lato sinistro non è uguale al lato destro, il che significa che l'affermazione è falsa.

Falso

Passaggio 6.2

Testa un valore sull'intervallo $- 3 < x < - \frac{5}{3}$ per verificare se rende vera la diseguaglianza.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1

Scegli un valore sull'intervallo $- 3 < x < - \frac{5}{3}$ e verifica se soddisfa la diseguaglianza originale.

$x = - 2$

Passaggio 6.2.2

Sostituisci $x$ con $- 2$ nella diseguaglianza originale.

$\sqrt{1 - (- 2)} < \sqrt{2 (- 2) + 6}$

Passaggio 6.2.3

Il lato sinistro di $1.7320508$ non è minore del lato destro di $1.41421356$ ; ciò significa che l'affermazione data è falsa.

Falso

Passaggio 6.3

Testa un valore sull'intervallo $- \frac{5}{3} < x < 1$ per verificare se rende vera la diseguaglianza.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.1

Scegli un valore sull'intervallo $- \frac{5}{3} < x < 1$ e verifica se soddisfa la diseguaglianza originale.

$x = 0$

Passaggio 6.3.2

Sostituisci $x$ con $0$ nella diseguaglianza originale.

$\sqrt{1 - (0)} < \sqrt{2 (0) + 6}$

Passaggio 6.3.3

Il lato sinistro di $1$ è minore del lato destro di $2.44948974$ ; ciò significa che l'affermazione data è sempre vera.

Vero

Passaggio 6.4

Testa un valore sull'intervallo $x > 1$ per verificare se rende vera la diseguaglianza.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.4.1

Scegli un valore sull'intervallo $x > 1$ e verifica se soddisfa la diseguaglianza originale.

$x = 4$

Passaggio 6.4.2

Sostituisci $x$ con $4$ nella diseguaglianza originale.

$\sqrt{1 - (4)} < \sqrt{2 (4) + 6}$

Passaggio 6.4.3

Il lato sinistro non è uguale al lato destro, il che significa che l'affermazione è falsa.

Falso

Passaggio 6.5

Confronta gli intervalli per determinare quali soddisfano la diseguaglianza originale.

$x < - 3$ Falso

$- 3 < x < - \frac{5}{3}$ Falso

$- \frac{5}{3} < x < 1$ Vero

$x > 1$ Falso

$x < - 3$ Falso

$- 3 < x < - \frac{5}{3}$ Falso

$- \frac{5}{3} < x < 1$ Vero

$x > 1$ Falso

Passaggio 7

La soluzione è costituita da tutti gli intervalli veri.

$- \frac{5}{3} < x < 1$

Passaggio 8

Il risultato può essere mostrato in più forme.

Forma della diseguaglianza:

$- \frac{5}{3} < x < 1$

Notazione degli intervalli:

$(- \frac{5}{3}, 1)$

Passaggio 9