Algebra Esempi

${(\frac{1}{3})}^{2 x + 1} > \sqrt{\frac{27}{3^{x - 1}}}$

Passaggio 1

Poiché il radicale si trova sul lato destro dell'equazione, inverti i lati così che si trovi sul lato sinistro.

$\sqrt{\frac{27}{3^{x - 1}}} < {(\frac{1}{3})}^{2 x + 1}$

Passaggio 2

Per rimuovere il radicale del lato sinistro della diseguaglianza, eleva al quadrato entrambi i lati della diseguaglianza.

${\sqrt{\frac{27}{3^{x - 1}}}}^{2} < {({(\frac{1}{3})}^{2 x + 1})}^{2}$

Passaggio 3

Semplifica ogni lato della diseguaglianza.

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Passaggio 3.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{\frac{27}{3^{x - 1}}}$ come ${(\frac{27}{3^{x - 1}})}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(\frac{27}{3^{x - 1}})}^{\frac{1}{2}})}^{2} < {({(\frac{1}{3})}^{2 x + 1})}^{2}$

Passaggio 3.2

Semplifica il lato sinistro.

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Passaggio 3.2.1

Semplifica ${({(\frac{27}{3^{x - 1}})}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1.1

Moltiplica gli esponenti in ${({(\frac{27}{3^{x - 1}})}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Passaggio 3.2.1.1.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(\frac{27}{3^{x - 1}})}^{\frac{1}{2} \cdot 2} < {({(\frac{1}{3})}^{2 x + 1})}^{2}$

Passaggio 3.2.1.1.2

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1.1.2.1

Elimina il fattore comune.

${(\frac{27}{3^{x - 1}})}^{\frac{1}{2} \cdot 2} < {({(\frac{1}{3})}^{2 x + 1})}^{2}$

Passaggio 3.2.1.1.2.2

Riscrivi l'espressione.

${(\frac{27}{3^{x - 1}})}^{1} < {({(\frac{1}{3})}^{2 x + 1})}^{2}$

Passaggio 3.2.1.2

Semplifica.

$\frac{27}{3^{x - 1}} < {({(\frac{1}{3})}^{2 x + 1})}^{2}$

Passaggio 3.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1

Semplifica ${({(\frac{1}{3})}^{2 x + 1})}^{2}$ .

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Passaggio 3.3.1.1

Applica la regola del prodotto a $\frac{1}{3}$ .

$\frac{27}{3^{x - 1}} < {(\frac{1^{2 x + 1}}{3^{2 x + 1}})}^{2}$

Passaggio 3.3.1.2

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$\frac{27}{3^{x - 1}} < {(\frac{1}{3^{2 x + 1}})}^{2}$

Passaggio 3.3.1.3

Applica la regola del prodotto a $\frac{1}{3^{2 x + 1}}$ .

$\frac{27}{3^{x - 1}} < \frac{1^{2}}{{(3^{2 x + 1})}^{2}}$

Passaggio 3.3.1.4

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$\frac{27}{3^{x - 1}} < \frac{1}{{(3^{2 x + 1})}^{2}}$

Passaggio 3.3.1.5

Moltiplica gli esponenti in ${(3^{2 x + 1})}^{2}$ .

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Passaggio 3.3.1.5.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{27}{3^{x - 1}} < \frac{1}{3^{(2 x + 1) \cdot 2}}$

Passaggio 3.3.1.5.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{27}{3^{x - 1}} < \frac{1}{3^{2 x \cdot 2 + 1 \cdot 2}}$

Passaggio 3.3.1.5.3

Moltiplica $2$ per $2$ .

$\frac{27}{3^{x - 1}} < \frac{1}{3^{4 x + 1 \cdot 2}}$

Passaggio 3.3.1.5.4

Moltiplica $2$ per $1$ .

$\frac{27}{3^{x - 1}} < \frac{1}{3^{4 x + 2}}$

Passaggio 4

Risolvi per $x$ .

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Passaggio 4.1

Trova il logaritmo di entrambi i lati della diseguaglianza.

$\ln (\frac{27}{3^{x - 1}}) < \ln (\frac{1}{3^{4 x + 2}})$

Passaggio 4.2

Riscrivi $\ln (\frac{27}{3^{x - 1}})$ come $\ln (27) - \ln (3^{x - 1})$ .

$\ln (27) - \ln (3^{x - 1}) < \ln (\frac{1}{3^{4 x + 2}})$

Passaggio 4.3

Espandi $\ln (3^{x - 1})$ spostando $x - 1$ fuori dal logaritmo.

$\ln (27) - ((x - 1) \ln (3)) < \ln (\frac{1}{3^{4 x + 2}})$

Passaggio 4.4

Rimuovi le parentesi.

$\ln (27) - (x - 1) \ln (3) < \ln (\frac{1}{3^{4 x + 2}})$

Passaggio 4.5

Riscrivi $\ln (\frac{1}{3^{4 x + 2}})$ come $\ln (1) - \ln (3^{4 x + 2})$ .

$\ln (27) - (x - 1) \ln (3) < \ln (1) - \ln (3^{4 x + 2})$

Passaggio 4.6

Espandi $\ln (3^{4 x + 2})$ spostando $4 x + 2$ fuori dal logaritmo.

$\ln (27) - (x - 1) \ln (3) < \ln (1) - ((4 x + 2) \ln (3))$

Passaggio 4.7

Il logaritmo naturale di $1$ è $0$ .

$\ln (27) - (x - 1) \ln (3) < 0 - ((4 x + 2) \ln (3))$

Passaggio 4.8

Sottrai $(4 x + 2) \ln (3)$ da $0$ .

$\ln (27) - (x - 1) \ln (3) < - ((4 x + 2) \ln (3))$

Passaggio 4.9

Rimuovi le parentesi.

$\ln (27) - (x - 1) \ln (3) < - (4 x + 2) \ln (3)$

Passaggio 4.10

Risolvi la diseguaglianza per $x$ .

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Passaggio 4.10.1

Semplifica il lato sinistro.

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Passaggio 4.10.1.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 4.10.1.1.1

Applica la proprietà distributiva.

$\ln (27) + (- x + 1) \ln (3) = - (4 x + 2) \ln (3)$

Passaggio 4.10.1.1.2

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$\ln (27) + (- x + 1) \ln (3) = - (4 x + 2) \ln (3)$

Passaggio 4.10.1.1.3

Applica la proprietà distributiva.

$\ln (27) - x \ln (3) + 1 \ln (3) = - (4 x + 2) \ln (3)$

Passaggio 4.10.1.1.4

Moltiplica $\ln (3)$ per $1$ .

$\ln (27) - x \ln (3) + \ln (3) = - (4 x + 2) \ln (3)$

Passaggio 4.10.1.2

Usa la proprietà del prodotto dei logaritmi, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$- x \ln (3) + \ln (27 \cdot 3) = - (4 x + 2) \ln (3)$

Passaggio 4.10.1.3

Moltiplica $27$ per $3$ .

$- x \ln (3) + \ln (81) = - (4 x + 2) \ln (3)$

Passaggio 4.10.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.10.2.1

Applica la proprietà distributiva.

$- x \ln (3) + \ln (81) = (- (4 x) - 1 \cdot 2) \ln (3)$

Passaggio 4.10.2.2

Moltiplica.

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Passaggio 4.10.2.2.1

Moltiplica $4$ per $- 1$ .

$- x \ln (3) + \ln (81) = (- 4 x - 1 \cdot 2) \ln (3)$

Passaggio 4.10.2.2.2

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$- x \ln (3) + \ln (81) = (- 4 x - 2) \ln (3)$

Passaggio 4.10.2.3

Applica la proprietà distributiva.

$- x \ln (3) + \ln (81) = - 4 x \ln (3) - 2 \ln (3)$

Passaggio 4.10.3

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 4.10.3.1

Semplifica $- 4 x \ln (3) - 2 \ln (3)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.10.3.1.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 4.10.3.1.1.1

Semplifica $- 4 \ln (3)$ spostando $4$ all'interno del logaritmo.

$- x \ln (3) + \ln (81) = x (- \ln (3^{4})) - 2 \ln (3)$

Passaggio 4.10.3.1.1.2

Eleva $3$ alla potenza di $4$ .

$- x \ln (3) + \ln (81) = x (- \ln (81)) - 2 \ln (3)$

Passaggio 4.10.3.1.1.3

Semplifica $- 2 \ln (3)$ spostando $2$ all'interno del logaritmo.

$- x \ln (3) + \ln (81) = x (- \ln (81)) - \ln (3^{2})$

Passaggio 4.10.3.1.1.4

Eleva $3$ alla potenza di $2$ .

$- x \ln (3) + \ln (81) = x (- \ln (81)) - \ln (9)$

Passaggio 4.10.3.1.2

Riordina i fattori in $x (- \ln (81)) - \ln (9)$ .

$- x \ln (3) + \ln (81) = - x \ln (81) - \ln (9)$

Passaggio 4.10.4

Sposta tutti i termini contenenti un logaritmo sul lato sinistro dell'equazione.

$- x \ln (3) + \ln (81) + x \ln (81) + \ln (9) = 0$

Passaggio 4.10.5

Usa la proprietà del prodotto dei logaritmi, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$- x \ln (3) + x \ln (81) + \ln (81 \cdot 9) = 0$

Passaggio 4.10.6

Moltiplica $81$ per $9$ .

$- x \ln (3) + x \ln (81) + \ln (729) = 0$

Passaggio 4.10.7

Sottrai $\ln (729)$ da entrambi i lati dell'equazione.

$- x \ln (3) + x \ln (81) = - \ln (729)$

Passaggio 4.10.8

Scomponi $x$ da $- x \ln (3) + x \ln (81)$ .

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Passaggio 4.10.8.1

Scomponi $x$ da $- x \ln (3)$ .

$x (- 1 \ln (3)) + x \ln (81) = - \ln (729)$

Passaggio 4.10.8.2

Scomponi $x$ da $x \ln (81)$ .

$x (- 1 \ln (3)) + x (\ln (81)) = - \ln (729)$

Passaggio 4.10.8.3

Scomponi $x$ da $x (- 1 \ln (3)) + x (\ln (81))$ .

$x (- 1 \ln (3) + \ln (81)) = - \ln (729)$

Passaggio 4.10.9

Riscrivi $- 1 \ln (3)$ come $- \ln (3)$ .

$x (- \ln (3) + \ln (81)) = - \ln (729)$

Passaggio 4.10.10

Dividi per $- \ln (3) + \ln (81)$ ciascun termine in $x (- \ln (3) + \ln (81)) = - \ln (729)$ e semplifica.

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Passaggio 4.10.10.1

Dividi per $- \ln (3) + \ln (81)$ ciascun termine in $x (- \ln (3) + \ln (81)) = - \ln (729)$ .

$\frac{x (- \ln (3) + \ln (81))}{- \ln (3) + \ln (81)} = \frac{- \ln (729)}{- \ln (3) + \ln (81)}$

Passaggio 4.10.10.2

Semplifica il lato sinistro.

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Passaggio 4.10.10.2.1

Elimina il fattore comune di $- \ln (3) + \ln (81)$ .

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Passaggio 4.10.10.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{x (- \ln (3) + \ln (81))}{- \ln (3) + \ln (81)} = \frac{- \ln (729)}{- \ln (3) + \ln (81)}$

Passaggio 4.10.10.2.1.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x = \frac{- \ln (729)}{- \ln (3) + \ln (81)}$

Passaggio 4.10.10.3

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 4.10.10.3.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$x = - \frac{\ln (729)}{- \ln (3) + \ln (81)}$

Passaggio 4.10.10.3.2

Scomponi $- 1$ da $- \ln (3)$ .

$x = - \frac{\ln (729)}{- \ln (3) + \ln (81)}$

Passaggio 4.10.10.3.3

Scomponi $- 1$ da $\ln (81)$ .

$x = - \frac{\ln (729)}{- \ln (3) - 1 (- \ln (81))}$

Passaggio 4.10.10.3.4

Scomponi $- 1$ da $- \ln (3) - 1 (- \ln (81))$ .

$x = - \frac{\ln (729)}{- (\ln (3) - \ln (81))}$

Passaggio 4.10.10.3.5

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 4.10.10.3.5.1

Riscrivi $- (\ln (3) - \ln (81))$ come $- 1 (\ln (3) - \ln (81))$ .

$x = - \frac{\ln (729)}{- 1 (\ln (3) - \ln (81))}$

Passaggio 4.10.10.3.5.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$x = - - \frac{\ln (729)}{\ln (3) - \ln (81)}$

Passaggio 4.10.10.3.5.3

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$x = 1 \frac{\ln (729)}{\ln (3) - \ln (81)}$

Passaggio 4.10.10.3.5.4

Moltiplica $\frac{\ln (729)}{\ln (3) - \ln (81)}$ per $1$ .

$x = \frac{\ln (729)}{\ln (3) - \ln (81)}$

Passaggio 5

La soluzione è costituita da tutti gli intervalli veri.

$x < \frac{\ln (729)}{\ln (3) - \ln (81)}$

Passaggio 6

Il risultato può essere mostrato in più forme.

Forma della diseguaglianza:

$x < \frac{\ln (729)}{\ln (3) - \ln (81)}$

Notazione degli intervalli:

$(- \infty, \frac{\ln (729)}{\ln (3) - \ln (81)})$

Passaggio 7