Algebra Esempi

$\sin (θ) \cot (θ) - \cos^{2} (θ) = 0$

Passaggio 1

Riscrivi $\sin (θ) \cot (θ) - \cos^{2} (θ)$ come differenza di quadrati.

${\sqrt{\cos (θ)}}^{2} - \cos^{2} (θ)$

Passaggio 2

Poiché entrambi i termini sono dei quadrati perfetti, fattorizza usando la formula della differenza di quadrati, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ dove $a = \sqrt{\cos (θ)}$ e $b = \cos (θ)$ .

$(\sqrt{\cos (θ)} + \cos (θ)) (\sqrt{\cos (θ)} - \cos (θ))$

Passaggio 3

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$\sqrt{\cos (θ)} + \cos (θ) = 0$

$\sqrt{\cos (θ)} - \cos (θ) = 0$

Passaggio 4

Imposta $\sqrt{\cos (θ)} + \cos (θ)$ uguale a $0$ e risolvi per $θ$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Imposta $\sqrt{\cos (θ)} + \cos (θ)$ uguale a $0$ .

$\sqrt{\cos (θ)} + \cos (θ) = 0$

Passaggio 4.2

Risolvi $\sqrt{\cos (θ)} + \cos (θ) = 0$ per $θ$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1

Sottrai $\cos (θ)$ da entrambi i lati dell'equazione.

$\sqrt{\cos (θ)} = - \cos (θ)$

Passaggio 4.2.2

Per rimuovere il radicale sul lato sinistro dell'equazione, eleva al quadrato entrambi i lati dell'equazione.

${\sqrt{\cos (θ)}}^{2} = {(- \cos (θ))}^{2}$

Passaggio 4.2.3

Semplifica ogni lato dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.3.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{\cos (θ)}$ come ${\cos (θ)}^{\frac{1}{2}}$ .

${({\cos (θ)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- \cos (θ))}^{2}$

Passaggio 4.2.3.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.3.2.1

Semplifica ${({\cos (θ)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.3.2.1.1

Moltiplica gli esponenti in ${({\cos (θ)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.3.2.1.1.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${\cos (θ)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(- \cos (θ))}^{2}$

Passaggio 4.2.3.2.1.1.2

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.3.2.1.1.2.1

Elimina il fattore comune.

${\cos (θ)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(- \cos (θ))}^{2}$

Passaggio 4.2.3.2.1.1.2.2

Riscrivi l'espressione.

$\cos^{1} (θ) = {(- \cos (θ))}^{2}$

Passaggio 4.2.3.2.1.2

Semplifica.

$\cos (θ) = {(- \cos (θ))}^{2}$

Passaggio 4.2.3.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.3.3.1

Semplifica ${(- \cos (θ))}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.3.3.1.1

Applica la regola del prodotto a $- \cos (θ)$ .

$\cos (θ) = {(- 1)}^{2} \cos^{2} (θ)$

Passaggio 4.2.3.3.1.2

Eleva $- 1$ alla potenza di $2$ .

$\cos (θ) = 1 \cos^{2} (θ)$

Passaggio 4.2.3.3.1.3

Moltiplica $\cos^{2} (θ)$ per $1$ .

$\cos (θ) = \cos^{2} (θ)$

Passaggio 4.2.4

Risolvi per $\cos (θ)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.4.1

Sottrai $\cos^{2} (θ)$ da entrambi i lati dell'equazione.

$\cos (θ) - \cos^{2} (θ) = 0$

Passaggio 4.2.4.2

Scomponi il primo membro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.4.2.1

Sia $u = \cos (θ)$ . Sostituisci tutte le occorrenze di $\cos (θ)$ con $u$ .

$u - u^{2} = 0$

Passaggio 4.2.4.2.2

Scomponi $u$ da $u - u^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.4.2.2.1

Eleva $u$ alla potenza di $1$ .

$u - u^{2} = 0$

Passaggio 4.2.4.2.2.2

Scomponi $u$ da $u^{1}$ .

$u \cdot 1 - u^{2} = 0$

Passaggio 4.2.4.2.2.3

Scomponi $u$ da $- u^{2}$ .

$u \cdot 1 + u (- u) = 0$

Passaggio 4.2.4.2.2.4

Scomponi $u$ da $u \cdot 1 + u (- u)$ .

$u (1 - u) = 0$

Passaggio 4.2.4.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $\cos (θ)$ .

$\cos (θ) (1 - \cos (θ)) = 0$

Passaggio 4.2.4.3

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$\cos (θ) = 0$

$1 - \cos (θ) = 0$

Passaggio 4.2.4.4

Imposta $\cos (θ)$ uguale a $0$ .

$\cos (θ) = 0$

Passaggio 4.2.4.5

Imposta $1 - \cos (θ)$ uguale a $0$ e risolvi per $\cos (θ)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.4.5.1

Imposta $1 - \cos (θ)$ uguale a $0$ .

$1 - \cos (θ) = 0$

Passaggio 4.2.4.5.2

Risolvi $1 - \cos (θ) = 0$ per $\cos (θ)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.4.5.2.1

Sottrai $1$ da entrambi i lati dell'equazione.

$- \cos (θ) = - 1$

Passaggio 4.2.4.5.2.2

Dividi per $- 1$ ciascun termine in $- \cos (θ) = - 1$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.4.5.2.2.1

Dividi per $- 1$ ciascun termine in $- \cos (θ) = - 1$ .

$\frac{- \cos (θ)}{- 1} = \frac{- 1}{- 1}$

Passaggio 4.2.4.5.2.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.4.5.2.2.2.1

Dividendo due valori negativi si ottiene un valore positivo.

$\frac{\cos (θ)}{1} = \frac{- 1}{- 1}$

Passaggio 4.2.4.5.2.2.2.2

Dividi $\cos (θ)$ per $1$ .

$\cos (θ) = \frac{- 1}{- 1}$

Passaggio 4.2.4.5.2.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.4.5.2.2.3.1

Dividi $- 1$ per $- 1$ .

$\cos (θ) = 1$

Passaggio 4.2.4.6

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $\cos (θ) (1 - \cos (θ)) = 0$ vera.

$\cos (θ) = 0, 1$

Passaggio 4.2.5

Imposta ognuna delle soluzioni per risolvere per $θ$ .

$\cos (θ) = 0$

$\cos (θ) = 1$

Passaggio 4.2.6

Risolvi per $θ$ in $\cos (θ) = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.6.1

Trova il valore dell'incognita $θ$ corrispondente all'inverso del coseno presente nell'equazione assegnata.

$θ = \arccos (0)$

Passaggio 4.2.6.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.6.2.1

Il valore esatto di $\arccos (0)$ è $\frac{π}{2}$ .

$θ = \frac{π}{2}$

Passaggio 4.2.6.3

La funzione del coseno è positiva nel primo e nel quarto quadrante. Per trovare la seconda soluzione, sottrai l'angolo di riferimento da $2 π$ per trovare la soluzione nel quarto quadrante.

$θ = 2 π - \frac{π}{2}$

Passaggio 4.2.6.4

Semplifica $2 π - \frac{π}{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.6.4.1

Per scrivere $2 π$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$θ = 2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Passaggio 4.2.6.4.2

Riduci le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.6.4.2.1

$2 π$ e $\frac{2}{2}$ .

$θ = \frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Passaggio 4.2.6.4.2.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$θ = \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

Passaggio 4.2.6.4.3

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.6.4.3.1

Moltiplica $2$ per $2$ .

$θ = \frac{4 π - π}{2}$

Passaggio 4.2.6.4.3.2

Sottrai $π$ da $4 π$ .

$θ = \frac{3 π}{2}$

Passaggio 4.2.6.5

Trova il periodo di $\cos (θ)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.6.5.1

Si può calcolare il periodo della funzione usando $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Passaggio 4.2.6.5.2

Sostituisci $b$ con $1$ nella formula per il periodo.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Passaggio 4.2.6.5.3

Il valore assoluto è la distanza tra un numero e zero. La distanza tra $0$ e $1$ è $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Passaggio 4.2.6.5.4

Dividi $2 π$ per $1$ .

$2 π$

Passaggio 4.2.6.6

Il periodo della funzione $\cos (θ)$ è $2 π$ , quindi i valori si ripetono ogni $2 π$ radianti in entrambe le direzioni.

$θ = \frac{π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n$ , per qualsiasi intero $n$

Passaggio 4.2.7

Risolvi per $θ$ in $\cos (θ) = 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.7.1

Trova il valore dell'incognita $θ$ corrispondente all'inverso del coseno presente nell'equazione assegnata.

$θ = \arccos (1)$

Passaggio 4.2.7.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.7.2.1

Il valore esatto di $\arccos (1)$ è $0$ .

$θ = 0$

Passaggio 4.2.7.3

La funzione del coseno è positiva nel primo e nel quarto quadrante. Per trovare la seconda soluzione, sottrai l'angolo di riferimento da $2 π$ per trovare la soluzione nel quarto quadrante.

$θ = 2 π - 0$

Passaggio 4.2.7.4

Sottrai $0$ da $2 π$ .

$θ = 2 π$

Passaggio 4.2.7.5

Trova il periodo di $\cos (θ)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.7.5.1

Si può calcolare il periodo della funzione usando $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Passaggio 4.2.7.5.2

Sostituisci $b$ con $1$ nella formula per il periodo.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Passaggio 4.2.7.5.3

Il valore assoluto è la distanza tra un numero e zero. La distanza tra $0$ e $1$ è $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Passaggio 4.2.7.5.4

Dividi $2 π$ per $1$ .

$2 π$

Passaggio 4.2.7.6

Il periodo della funzione $\cos (θ)$ è $2 π$ , quindi i valori si ripetono ogni $2 π$ radianti in entrambe le direzioni.

$θ = 2 π n, 2 π + 2 π n$ , per qualsiasi intero $n$

Passaggio 4.2.8

Elenca tutte le soluzioni.

$θ = \frac{π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n, 2 π n, 2 π + 2 π n$ , per qualsiasi intero $n$

Passaggio 4.2.9

Consolida le soluzioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.9.1

Combina $\frac{π}{2} + 2 π n$ e $\frac{3 π}{2} + 2 π n$ in $\frac{π}{2} + π n$ .

$θ = \frac{π}{2} + π n, 2 π n, 2 π + 2 π n$ , per qualsiasi intero $n$

Passaggio 4.2.9.2

Combina $2 π n$ e $2 π + 2 π n$ in $2 π n$ .

$θ = \frac{π}{2} + π n, 2 π n$ , per qualsiasi intero $n$

Passaggio 5

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $(\sqrt{\cos (θ)} + \cos (θ)) (\sqrt{\cos (θ)} - \cos (θ)) = 0$ vera.

$θ = \frac{π}{2} + π n, 2 π n$ , per qualsiasi intero $n$