Algebra Esempi

$\sqrt{x + 3} > \sqrt{9 - x^{2}}$

Passaggio 1

Per rimuovere il radicale del lato sinistro della diseguaglianza, eleva al quadrato entrambi i lati della diseguaglianza.

${\sqrt{x + 3}}^{2} > {\sqrt{9 - x^{2}}}^{2}$

Passaggio 2

Semplifica ogni lato della diseguaglianza.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{x + 3}$ come ${(x + 3)}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(x + 3)}^{\frac{1}{2}})}^{2} > {\sqrt{9 - x^{2}}}^{2}$

Passaggio 2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Semplifica ${({(x + 3)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1.1

Moltiplica gli esponenti in ${({(x + 3)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1.1.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(x + 3)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} > {\sqrt{9 - x^{2}}}^{2}$

Passaggio 2.2.1.1.2

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1.1.2.1

Elimina il fattore comune.

${(x + 3)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} > {\sqrt{9 - x^{2}}}^{2}$

Passaggio 2.2.1.1.2.2

Riscrivi l'espressione.

${(x + 3)}^{1} > {\sqrt{9 - x^{2}}}^{2}$

Passaggio 2.2.1.2

Semplifica.

$x + 3 > {\sqrt{9 - x^{2}}}^{2}$

Passaggio 2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Semplifica ${\sqrt{9 - x^{2}}}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1.1

Riscrivi $9$ come $3^{2}$ .

$x + 3 > {\sqrt{3^{2} - x^{2}}}^{2}$

Passaggio 2.3.1.2

Poiché entrambi i termini sono dei quadrati perfetti, fattorizza usando la formula della differenza di quadrati, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ dove $a = 3$ e $b = x$ .

$x + 3 > {\sqrt{(3 + x) (3 - x)}}^{2}$

Passaggio 2.3.1.3

Riscrivi ${\sqrt{(3 + x) (3 - x)}}^{2}$ come $(3 + x) (3 - x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1.3.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{(3 + x) (3 - x)}$ come ${((3 + x) (3 - x))}^{\frac{1}{2}}$ .

$x + 3 > {({((3 + x) (3 - x))}^{\frac{1}{2}})}^{2}$

Passaggio 2.3.1.3.2

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x + 3 > {((3 + x) (3 - x))}^{\frac{1}{2} \cdot 2}$

Passaggio 2.3.1.3.3

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$x + 3 > {((3 + x) (3 - x))}^{\frac{2}{2}}$

Passaggio 2.3.1.3.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1.3.4.1

Elimina il fattore comune.

$x + 3 > {((3 + x) (3 - x))}^{\frac{2}{2}}$

Passaggio 2.3.1.3.4.2

Riscrivi l'espressione.

$x + 3 > {((3 + x) (3 - x))}^{1}$

Passaggio 2.3.1.3.5

Semplifica.

$x + 3 > (3 + x) (3 - x)$

Passaggio 2.3.1.4

Espandi $(3 + x) (3 - x)$ usando il metodo FOIL.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1.4.1

Applica la proprietà distributiva.

$x + 3 > 3 (3 - x) + x (3 - x)$

Passaggio 2.3.1.4.2

Applica la proprietà distributiva.

$x + 3 > 3 \cdot 3 + 3 (- x) + x (3 - x)$

Passaggio 2.3.1.4.3

Applica la proprietà distributiva.

$x + 3 > 3 \cdot 3 + 3 (- x) + x \cdot 3 + x (- x)$

Passaggio 2.3.1.5

Semplifica e combina i termini simili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1.5.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1.5.1.1

Moltiplica $3$ per $3$ .

$x + 3 > 9 + 3 (- x) + x \cdot 3 + x (- x)$

Passaggio 2.3.1.5.1.2

Moltiplica $- 1$ per $3$ .

$x + 3 > 9 - 3 x + x \cdot 3 + x (- x)$

Passaggio 2.3.1.5.1.3

Sposta $3$ alla sinistra di $x$ .

$x + 3 > 9 - 3 x + 3 \cdot x + x (- x)$

Passaggio 2.3.1.5.1.4

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$x + 3 > 9 - 3 x + 3 x - x \cdot x$

Passaggio 2.3.1.5.1.5

Moltiplica $x$ per $x$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1.5.1.5.1

Sposta $x$ .

$x + 3 > 9 - 3 x + 3 x - (x \cdot x)$

Passaggio 2.3.1.5.1.5.2

Moltiplica $x$ per $x$ .

$x + 3 > 9 - 3 x + 3 x - x^{2}$

Passaggio 2.3.1.5.2

Somma $- 3 x$ e $3 x$ .

$x + 3 > 9 + 0 - x^{2}$

Passaggio 2.3.1.5.3

Somma $9$ e $0$ .

$x + 3 > 9 - x^{2}$

Passaggio 3

Risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Aggiungi $x^{2}$ a entrambi i lati della diseguaglianza.

$x + 3 + x^{2} > 9$

Passaggio 3.2

Converti la diseguaglianza in un'equazione.

$x + 3 + x^{2} = 9$

Passaggio 3.3

Sottrai $9$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x + 3 + x^{2} - 9 = 0$

Passaggio 3.4

Sottrai $9$ da $3$ .

$x + x^{2} - 6 = 0$

Passaggio 3.5

Scomponi il primo membro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.1

Sia $u = x$ . Sostituisci tutte le occorrenze di $x$ con $u$ .

$u + u^{2} - 6 = 0$

Passaggio 3.5.2

Scomponi $u + u^{2} - 6$ usando il metodo AC.

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Passaggio 3.5.2.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Trova una coppia di interi il cui prodotto è $c$ e la cui formula è $b$ . In questo caso, il cui prodotto è $- 6$ e la cui somma è $1$ .

$- 2, 3$

Passaggio 3.5.2.2

Scrivi la forma fattorizzata usando questi interi.

$(u - 2) (u + 3) = 0$

Passaggio 3.5.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x$ .

$(x - 2) (x + 3) = 0$

Passaggio 3.6

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$x - 2 = 0$

$x + 3 = 0$

Passaggio 3.7

Imposta $x - 2$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.7.1

Imposta $x - 2$ uguale a $0$ .

$x - 2 = 0$

Passaggio 3.7.2

Somma $2$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x = 2$

Passaggio 3.8

Imposta $x + 3$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.8.1

Imposta $x + 3$ uguale a $0$ .

$x + 3 = 0$

Passaggio 3.8.2

Sottrai $3$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x = - 3$

Passaggio 3.9

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $(x - 2) (x + 3) = 0$ vera.

$x = 2, - 3$

Passaggio 4

Trova il dominio di $\sqrt{x + 3} - \sqrt{(3 + x) (3 - x)}$ .

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Passaggio 4.1

Imposta il radicando in $\sqrt{x + 3}$ in modo che sia maggiore o uguale a $0$ per individuare dove l'espressione è definita.

$x + 3 \geq 0$

Passaggio 4.2

Sottrai $3$ da entrambi i lati della diseguaglianza.

$x \geq - 3$

Passaggio 4.3

Imposta il radicando in $\sqrt{(3 + x) (3 - x)}$ in modo che sia maggiore o uguale a $0$ per individuare dove l'espressione è definita.

$(3 + x) (3 - x) \geq 0$

Passaggio 4.4

Risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.4.1

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$3 + x = 0$

$3 - x = 0$

Passaggio 4.4.2

Imposta $3 + x$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.4.2.1

Imposta $3 + x$ uguale a $0$ .

$3 + x = 0$

Passaggio 4.4.2.2

Sottrai $3$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x = - 3$

Passaggio 4.4.3

Imposta $3 - x$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.4.3.1

Imposta $3 - x$ uguale a $0$ .

$3 - x = 0$

Passaggio 4.4.3.2

Risolvi $3 - x = 0$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.4.3.2.1

Sottrai $3$ da entrambi i lati dell'equazione.

$- x = - 3$

Passaggio 4.4.3.2.2

Dividi per $- 1$ ciascun termine in $- x = - 3$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.4.3.2.2.1

Dividi per $- 1$ ciascun termine in $- x = - 3$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 3}{- 1}$

Passaggio 4.4.3.2.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.4.3.2.2.2.1

Dividendo due valori negativi si ottiene un valore positivo.

$\frac{x}{1} = \frac{- 3}{- 1}$

Passaggio 4.4.3.2.2.2.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x = \frac{- 3}{- 1}$

Passaggio 4.4.3.2.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.4.3.2.2.3.1

Dividi $- 3$ per $- 1$ .

$x = 3$

Passaggio 4.4.4

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $(3 + x) (3 - x) \geq 0$ vera.

$x = - 3, 3$

Passaggio 4.4.5

Usa ogni radice per creare gli intervalli di prova.

$x < - 3$

$- 3 < x < 3$

$x > 3$

Passaggio 4.4.6

Scegli un valore di test da ciascun intervallo e sostituiscilo nella diseguaglianza originale per determinare quali intervalli sono soddisfatti dalla diseguaglianza.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.4.6.1

Testa un valore sull'intervallo $x < - 3$ per verificare se rende vera la diseguaglianza.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.4.6.1.1

Scegli un valore sull'intervallo $x < - 3$ e verifica se soddisfa la diseguaglianza originale.

$x = - 6$

Passaggio 4.4.6.1.2

Sostituisci $x$ con $- 6$ nella diseguaglianza originale.

$(3 - 6) (3 - (- 6)) \geq 0$

Passaggio 4.4.6.1.3

Il lato sinistro di $- 27$ è minore del lato destro di $0$ ; ciò significa che l'affermazione data è falsa.

Falso

Passaggio 4.4.6.2

Testa un valore sull'intervallo $- 3 < x < 3$ per verificare se rende vera la diseguaglianza.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.4.6.2.1

Scegli un valore sull'intervallo $- 3 < x < 3$ e verifica se soddisfa la diseguaglianza originale.

$x = 0$

Passaggio 4.4.6.2.2

Sostituisci $x$ con $0$ nella diseguaglianza originale.

$(3 + 0) (3 - (0)) \geq 0$

Passaggio 4.4.6.2.3

Il lato sinistro di $9$ è maggiore del lato destro di $0$ ; ciò significa che l'affermazione data è sempre vera.

Vero

Passaggio 4.4.6.3

Testa un valore sull'intervallo $x > 3$ per verificare se rende vera la diseguaglianza.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.4.6.3.1

Scegli un valore sull'intervallo $x > 3$ e verifica se soddisfa la diseguaglianza originale.

$x = 6$

Passaggio 4.4.6.3.2

Sostituisci $x$ con $6$ nella diseguaglianza originale.

$(3 + 6) (3 - (6)) \geq 0$

Passaggio 4.4.6.3.3

Il lato sinistro di $- 27$ è minore del lato destro di $0$ ; ciò significa che l'affermazione data è falsa.

Falso

Passaggio 4.4.6.4

Confronta gli intervalli per determinare quali soddisfano la diseguaglianza originale.

$x < - 3$ Falso

$- 3 < x < 3$ Vero

$x > 3$ Falso

$x < - 3$ Falso

$- 3 < x < 3$ Vero

$x > 3$ Falso

Passaggio 4.4.7

La soluzione è costituita da tutti gli intervalli veri.

$- 3 \leq x \leq 3$

Passaggio 4.5

Il dominio è formato da tutti i valori di $x$ che rendono definita l'espressione.

$[- 3, 3]$

Passaggio 5

Usa ogni radice per creare gli intervalli di prova.

$x < - 3$

$- 3 < x < 2$

$2 < x < 3$

$x > 3$

Passaggio 6

Scegli un valore di test da ciascun intervallo e sostituiscilo nella diseguaglianza originale per determinare quali intervalli sono soddisfatti dalla diseguaglianza.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Testa un valore sull'intervallo $x < - 3$ per verificare se rende vera la diseguaglianza.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.1

Scegli un valore sull'intervallo $x < - 3$ e verifica se soddisfa la diseguaglianza originale.

$x = - 6$

Passaggio 6.1.2

Sostituisci $x$ con $- 6$ nella diseguaglianza originale.

$\sqrt{(- 6) + 3} > \sqrt{9 - {(- 6)}^{2}}$

Passaggio 6.1.3

Il lato sinistro non è uguale al lato destro, il che significa che l'affermazione è falsa.

Falso

Passaggio 6.2

Testa un valore sull'intervallo $- 3 < x < 2$ per verificare se rende vera la diseguaglianza.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1

Scegli un valore sull'intervallo $- 3 < x < 2$ e verifica se soddisfa la diseguaglianza originale.

$x = 0$

Passaggio 6.2.2

Sostituisci $x$ con $0$ nella diseguaglianza originale.

$\sqrt{(0) + 3} > \sqrt{9 - {(0)}^{2}}$

Passaggio 6.2.3

Il lato sinistro di $1.7320508$ non è maggiore del lato destro di $3$ ; ciò significa che l'affermazione data è falsa.

Falso

Passaggio 6.3

Testa un valore sull'intervallo $2 < x < 3$ per verificare se rende vera la diseguaglianza.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.1

Scegli un valore sull'intervallo $2 < x < 3$ e verifica se soddisfa la diseguaglianza originale.

$x = 2.5$

Passaggio 6.3.2

Sostituisci $x$ con $2.5$ nella diseguaglianza originale.

$\sqrt{(2.5) + 3} > \sqrt{9 - {(2.5)}^{2}}$

Passaggio 6.3.3

Il lato sinistro di $2.34520787$ è maggiore del lato destro di $1.65831239$ ; ciò significa che l'affermazione data è sempre vera.

Vero

Passaggio 6.4

Testa un valore sull'intervallo $x > 3$ per verificare se rende vera la diseguaglianza.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.4.1

Scegli un valore sull'intervallo $x > 3$ e verifica se soddisfa la diseguaglianza originale.

$x = 6$

Passaggio 6.4.2

Sostituisci $x$ con $6$ nella diseguaglianza originale.

$\sqrt{(6) + 3} > \sqrt{9 - {(6)}^{2}}$

Passaggio 6.4.3

Il lato sinistro non è uguale al lato destro, il che significa che l'affermazione è falsa.

Falso

Passaggio 6.5

Confronta gli intervalli per determinare quali soddisfano la diseguaglianza originale.

$x < - 3$ Falso

$- 3 < x < 2$ Falso

$2 < x < 3$ Vero

$x > 3$ Falso

$x < - 3$ Falso

$- 3 < x < 2$ Falso

$2 < x < 3$ Vero

$x > 3$ Falso

Passaggio 7

La soluzione è costituita da tutti gli intervalli veri.

$2 < x < 3$

Passaggio 8

Il risultato può essere mostrato in più forme.

Forma della diseguaglianza:

$2 < x < 3$

Notazione degli intervalli:

$(2, 3)$

Passaggio 9