Algebra Esempi

$\sqrt{x^{2} - x - 2} < \sqrt{x^{2} + 3 x + 2}$

Passaggio 1

Per rimuovere il radicale del lato sinistro della diseguaglianza, eleva al quadrato entrambi i lati della diseguaglianza.

${\sqrt{x^{2} - x - 2}}^{2} < {\sqrt{x^{2} + 3 x + 2}}^{2}$

Passaggio 2

Semplifica ogni lato della diseguaglianza.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{x^{2} - x - 2}$ come ${(x^{2} - x - 2)}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(x^{2} - x - 2)}^{\frac{1}{2}})}^{2} < {\sqrt{x^{2} + 3 x + 2}}^{2}$

Passaggio 2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Semplifica ${({(x^{2} - x - 2)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1.1

Moltiplica gli esponenti in ${({(x^{2} - x - 2)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1.1.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(x^{2} - x - 2)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} < {\sqrt{x^{2} + 3 x + 2}}^{2}$

Passaggio 2.2.1.1.2

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1.1.2.1

Elimina il fattore comune.

${(x^{2} - x - 2)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} < {\sqrt{x^{2} + 3 x + 2}}^{2}$

Passaggio 2.2.1.1.2.2

Riscrivi l'espressione.

${(x^{2} - x - 2)}^{1} < {\sqrt{x^{2} + 3 x + 2}}^{2}$

Passaggio 2.2.1.2

Semplifica.

$x^{2} - x - 2 < {\sqrt{x^{2} + 3 x + 2}}^{2}$

Passaggio 2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Semplifica ${\sqrt{x^{2} + 3 x + 2}}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1.1

Scomponi $x^{2} + 3 x + 2$ usando il metodo AC.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1.1.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Trova una coppia di interi il cui prodotto è $c$ e la cui formula è $b$ . In questo caso, il cui prodotto è $2$ e la cui somma è $3$ .

$1, 2$

Passaggio 2.3.1.1.2

Scrivi la forma fattorizzata usando questi interi.

$x^{2} - x - 2 < {\sqrt{(x + 1) (x + 2)}}^{2}$

Passaggio 2.3.1.2

Riscrivi ${\sqrt{(x + 1) (x + 2)}}^{2}$ come $(x + 1) (x + 2)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1.2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{(x + 1) (x + 2)}$ come ${((x + 1) (x + 2))}^{\frac{1}{2}}$ .

$x^{2} - x - 2 < {({((x + 1) (x + 2))}^{\frac{1}{2}})}^{2}$

Passaggio 2.3.1.2.2

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{2} - x - 2 < {((x + 1) (x + 2))}^{\frac{1}{2} \cdot 2}$

Passaggio 2.3.1.2.3

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$x^{2} - x - 2 < {((x + 1) (x + 2))}^{\frac{2}{2}}$

Passaggio 2.3.1.2.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1.2.4.1

Elimina il fattore comune.

$x^{2} - x - 2 < {((x + 1) (x + 2))}^{\frac{2}{2}}$

Passaggio 2.3.1.2.4.2

Riscrivi l'espressione.

$x^{2} - x - 2 < {((x + 1) (x + 2))}^{1}$

Passaggio 2.3.1.2.5

Semplifica.

$x^{2} - x - 2 < (x + 1) (x + 2)$

Passaggio 2.3.1.3

Espandi $(x + 1) (x + 2)$ usando il metodo FOIL.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1.3.1

Applica la proprietà distributiva.

$x^{2} - x - 2 < x (x + 2) + 1 (x + 2)$

Passaggio 2.3.1.3.2

Applica la proprietà distributiva.

$x^{2} - x - 2 < x \cdot x + x \cdot 2 + 1 (x + 2)$

Passaggio 2.3.1.3.3

Applica la proprietà distributiva.

$x^{2} - x - 2 < x \cdot x + x \cdot 2 + 1 x + 1 \cdot 2$

Passaggio 2.3.1.4

Semplifica e combina i termini simili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1.4.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1.4.1.1

Moltiplica $x$ per $x$ .

$x^{2} - x - 2 < x^{2} + x \cdot 2 + 1 x + 1 \cdot 2$

Passaggio 2.3.1.4.1.2

Sposta $2$ alla sinistra di $x$ .

$x^{2} - x - 2 < x^{2} + 2 \cdot x + 1 x + 1 \cdot 2$

Passaggio 2.3.1.4.1.3

Moltiplica $x$ per $1$ .

$x^{2} - x - 2 < x^{2} + 2 x + x + 1 \cdot 2$

Passaggio 2.3.1.4.1.4

Moltiplica $2$ per $1$ .

$x^{2} - x - 2 < x^{2} + 2 x + x + 2$

Passaggio 2.3.1.4.2

Somma $2 x$ e $x$ .

$x^{2} - x - 2 < x^{2} + 3 x + 2$

Passaggio 3

Risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Sposta tutti i termini contenenti $x$ sul lato sinistro della diseguaglianza.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.1

Sottrai $x^{2}$ da entrambi i lati della diseguaglianza.

$x^{2} - x - 2 - x^{2} < 3 x + 2$

Passaggio 3.1.2

Sottrai $3 x$ da entrambi i lati della diseguaglianza.

$x^{2} - x - 2 - x^{2} - 3 x < 2$

Passaggio 3.1.3

Combina i termini opposti in $x^{2} - x - 2 - x^{2} - 3 x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.3.1

Sottrai $x^{2}$ da $x^{2}$ .

$- x - 2 + 0 - 3 x < 2$

Passaggio 3.1.3.2

Somma $- x - 2$ e $0$ .

$- x - 2 - 3 x < 2$

Passaggio 3.1.4

Sottrai $3 x$ da $- x$ .

$- 4 x - 2 < 2$

Passaggio 3.2

Sposta tutti i termini non contenenti $x$ sul lato destro della diseguaglianza.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Aggiungi $2$ a entrambi i lati della diseguaglianza.

$- 4 x < 2 + 2$

Passaggio 3.2.2

Somma $2$ e $2$ .

$- 4 x < 4$

Passaggio 3.3

Dividi per $- 4$ ciascun termine in $- 4 x < 4$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1

Dividi per $- 4$ ciascun termine in $- 4 x < 4$ . Quando moltiplichi o dividi entrambi i lati di una diseguaglianza per un valore negativo, inverti il verso della diseguaglianza.

$\frac{- 4 x}{- 4} > \frac{4}{- 4}$

Passaggio 3.3.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.1

Elimina il fattore comune di $- 4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{- 4 x}{- 4} > \frac{4}{- 4}$

Passaggio 3.3.2.1.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x > \frac{4}{- 4}$

Passaggio 3.3.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.3.1

Dividi $4$ per $- 4$ .

$x > - 1$

Passaggio 4

Trova il dominio di $\sqrt{(x - 2) (x + 1)} - \sqrt{(x + 1) (x + 2)}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Imposta il radicando in $\sqrt{(x - 2) (x + 1)}$ in modo che sia maggiore o uguale a $0$ per individuare dove l'espressione è definita.

$(x - 2) (x + 1) \geq 0$

Passaggio 4.2

Risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$x - 2 = 0$

$x + 1 = 0$

Passaggio 4.2.2

Imposta $x - 2$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.2.1

Imposta $x - 2$ uguale a $0$ .

$x - 2 = 0$

Passaggio 4.2.2.2

Somma $2$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x = 2$

Passaggio 4.2.3

Imposta $x + 1$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.3.1

Imposta $x + 1$ uguale a $0$ .

$x + 1 = 0$

Passaggio 4.2.3.2

Sottrai $1$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x = - 1$

Passaggio 4.2.4

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $(x - 2) (x + 1) \geq 0$ vera.

$x = 2, - 1$

Passaggio 4.2.5

Usa ogni radice per creare gli intervalli di prova.

$x < - 1$

$- 1 < x < 2$

$x > 2$

Passaggio 4.2.6

Scegli un valore di test da ciascun intervallo e sostituiscilo nella diseguaglianza originale per determinare quali intervalli sono soddisfatti dalla diseguaglianza.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.6.1

Testa un valore sull'intervallo $x < - 1$ per verificare se rende vera la diseguaglianza.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.6.1.1

Scegli un valore sull'intervallo $x < - 1$ e verifica se soddisfa la diseguaglianza originale.

$x = - 4$

Passaggio 4.2.6.1.2

Sostituisci $x$ con $- 4$ nella diseguaglianza originale.

$((- 4) - 2) ((- 4) + 1) \geq 0$

Passaggio 4.2.6.1.3

Il lato sinistro di $18$ è maggiore del lato destro di $0$ ; ciò significa che l'affermazione data è sempre vera.

Vero

Passaggio 4.2.6.2

Testa un valore sull'intervallo $- 1 < x < 2$ per verificare se rende vera la diseguaglianza.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.6.2.1

Scegli un valore sull'intervallo $- 1 < x < 2$ e verifica se soddisfa la diseguaglianza originale.

$x = 0$

Passaggio 4.2.6.2.2

Sostituisci $x$ con $0$ nella diseguaglianza originale.

$((0) - 2) ((0) + 1) \geq 0$

Passaggio 4.2.6.2.3

Il lato sinistro di $- 2$ è minore del lato destro di $0$ ; ciò significa che l'affermazione data è falsa.

Falso

Passaggio 4.2.6.3

Testa un valore sull'intervallo $x > 2$ per verificare se rende vera la diseguaglianza.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.6.3.1

Scegli un valore sull'intervallo $x > 2$ e verifica se soddisfa la diseguaglianza originale.

$x = 4$

Passaggio 4.2.6.3.2

Sostituisci $x$ con $4$ nella diseguaglianza originale.

$((4) - 2) ((4) + 1) \geq 0$

Passaggio 4.2.6.3.3

Il lato sinistro di $10$ è maggiore del lato destro di $0$ ; ciò significa che l'affermazione data è sempre vera.

Vero

Passaggio 4.2.6.4

Confronta gli intervalli per determinare quali soddisfano la diseguaglianza originale.

$x < - 1$ Vero

$- 1 < x < 2$ Falso

$x > 2$ Vero

$x < - 1$ Vero

$- 1 < x < 2$ Falso

$x > 2$ Vero

Passaggio 4.2.7

La soluzione è costituita da tutti gli intervalli veri.

$x \leq - 1$ o $x \geq 2$

Passaggio 4.3

Imposta il radicando in $\sqrt{(x + 1) (x + 2)}$ in modo che sia maggiore o uguale a $0$ per individuare dove l'espressione è definita.

$(x + 1) (x + 2) \geq 0$

Passaggio 4.4

Risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.4.1

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$x + 1 = 0$

$x + 2 = 0$

Passaggio 4.4.2

Imposta $x + 1$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.4.2.1

Imposta $x + 1$ uguale a $0$ .

$x + 1 = 0$

Passaggio 4.4.2.2

Sottrai $1$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x = - 1$

Passaggio 4.4.3

Imposta $x + 2$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.4.3.1

Imposta $x + 2$ uguale a $0$ .

$x + 2 = 0$

Passaggio 4.4.3.2

Sottrai $2$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x = - 2$

Passaggio 4.4.4

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $(x + 1) (x + 2) \geq 0$ vera.

$x = - 1, - 2$

Passaggio 4.4.5

Usa ogni radice per creare gli intervalli di prova.

$x < - 2$

$- 2 < x < - 1$

$x > - 1$

Passaggio 4.4.6

Scegli un valore di test da ciascun intervallo e sostituiscilo nella diseguaglianza originale per determinare quali intervalli sono soddisfatti dalla diseguaglianza.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.4.6.1

Testa un valore sull'intervallo $x < - 2$ per verificare se rende vera la diseguaglianza.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.4.6.1.1

Scegli un valore sull'intervallo $x < - 2$ e verifica se soddisfa la diseguaglianza originale.

$x = - 4$

Passaggio 4.4.6.1.2

Sostituisci $x$ con $- 4$ nella diseguaglianza originale.

$((- 4) + 1) ((- 4) + 2) \geq 0$

Passaggio 4.4.6.1.3

Il lato sinistro di $6$ è maggiore del lato destro di $0$ ; ciò significa che l'affermazione data è sempre vera.

Vero

Passaggio 4.4.6.2

Testa un valore sull'intervallo $- 2 < x < - 1$ per verificare se rende vera la diseguaglianza.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.4.6.2.1

Scegli un valore sull'intervallo $- 2 < x < - 1$ e verifica se soddisfa la diseguaglianza originale.

$x = - 1.5$

Passaggio 4.4.6.2.2

Sostituisci $x$ con $- 1.5$ nella diseguaglianza originale.

$((- 1.5) + 1) ((- 1.5) + 2) \geq 0$

Passaggio 4.4.6.2.3

Il lato sinistro di $- 0.25$ è minore del lato destro di $0$ ; ciò significa che l'affermazione data è falsa.

Falso

Passaggio 4.4.6.3

Testa un valore sull'intervallo $x > - 1$ per verificare se rende vera la diseguaglianza.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.4.6.3.1

Scegli un valore sull'intervallo $x > - 1$ e verifica se soddisfa la diseguaglianza originale.

$x = 0$

Passaggio 4.4.6.3.2

Sostituisci $x$ con $0$ nella diseguaglianza originale.

$((0) + 1) ((0) + 2) \geq 0$

Passaggio 4.4.6.3.3

Il lato sinistro di $2$ è maggiore del lato destro di $0$ ; ciò significa che l'affermazione data è sempre vera.

Vero

Passaggio 4.4.6.4

Confronta gli intervalli per determinare quali soddisfano la diseguaglianza originale.

$x < - 2$ Vero

$- 2 < x < - 1$ Falso

$x > - 1$ Vero

$x < - 2$ Vero

$- 2 < x < - 1$ Falso

$x > - 1$ Vero

Passaggio 4.4.7

La soluzione è costituita da tutti gli intervalli veri.

$x \leq - 2$ o $x \geq - 1$

Passaggio 4.5

Il dominio è formato da tutti i valori di $x$ che rendono definita l'espressione.

$(- \infty, - 2] \cup [- 1, - 1] \cup [2, \infty)$

Passaggio 5

La soluzione è costituita da tutti gli intervalli veri.

$x > 2$

Passaggio 6

Il risultato può essere mostrato in più forme.

Forma della diseguaglianza:

$x > 2$

Notazione degli intervalli:

$(2, \infty)$

Passaggio 7