Algebra Esempi

$\frac{1}{2} + \frac{12}{x^{2}} > \frac{5}{x}$

Passaggio 1

Moltiplica ogni lato per $x$ .

$(\frac{1}{2} + \frac{12}{x^{2}}) x = \frac{5}{x} x$

Passaggio 2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1

Semplifica $(\frac{1}{2} + \frac{12}{x^{2}}) x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{1}{2} x + \frac{12}{x^{2}} x = \frac{5}{x} x$

Passaggio 2.1.1.2

$\frac{1}{2}$ e $x$ .

$\frac{x}{2} + \frac{12}{x^{2}} x = \frac{5}{x} x$

Passaggio 2.1.1.3

Elimina il fattore comune di $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1.3.1

Scomponi $x$ da $x^{2}$ .

$\frac{x}{2} + \frac{12}{x \cdot x} x = \frac{5}{x} x$

Passaggio 2.1.1.3.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{x}{2} + \frac{12}{x \cdot x} x = \frac{5}{x} x$

Passaggio 2.1.1.3.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{x}{2} + \frac{12}{x} = \frac{5}{x} x$

Passaggio 2.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Elimina il fattore comune di $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{x}{2} + \frac{12}{x} = \frac{5}{x} x$

Passaggio 2.2.1.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{x}{2} + \frac{12}{x} = 5$

Passaggio 3

Risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Trova il minimo comune denominatore dei termini nell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.1

Trovare il minimo comune denominatore di una lista di valori è uguale a trovare il minimo comune multiplo dei denominatori di quei valori.

$2, x, 1$

Passaggio 3.1.2

Poiché $2, x, 1$ contiene sia numeri che variabili, ci sono due passaggi per trovare il minimo comune multiplo. Trova il minimo comune multiplo per la parte numerica $2, 1, 1$ , quindi trova il minimo comune multiplo per la parte variabile $x^{1}$ .

Passaggio 3.1.3

Il minimo comune multiplo è il numero positivo più piccolo divisibile equamente per tutti i numeri.

1. Elenca i fattori primi di ciascun numero.

2. Moltiplica ciascun fattore, preso una sola volta, con l'esponente più grande.

Passaggio 3.1.4

Poiché $2$ non presenta fattori eccetto $1$ e $2$ .

$2$ è un numero primo

Passaggio 3.1.5

Il numero $1$ non è un numero primo perché ha un solo divisore positivo, cioè se stesso.

Non è primo

Passaggio 3.1.6

Il minimo comune multiplo di $2, 1, 1$ si ottiene moltiplicando tutti i fattori primi, comuni o non comuni, ciascuno preso una sola volta con l'esponente più grande.

$2$

Passaggio 3.1.7

Il fattore di $x^{1}$ è $x$ stesso.

$x^{1} = x$

$x$ si verifica $1$ volta.

Passaggio 3.1.8

Il minimo comune multiplo (mcm) di $x^{1}$ si ottiene moltiplicando tutti i fattori primi, comuni o non comuni, ciascuno preso una sola volta con l'esponente più grande.

$x$

Passaggio 3.1.9

Il minimo comune multiplo di $2, x, 1$ è la parte numerica $2$ moltiplicata per la parte variabile.

$2 x$

Passaggio 3.2

Moltiplica per $2 x$ ciascun termine in $\frac{x}{2} + \frac{12}{x} = 5$ per eliminare le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Moltiplica ogni termine in $\frac{x}{2} + \frac{12}{x} = 5$ per $2 x$ .

$\frac{x}{2} (2 x) + \frac{12}{x} (2 x) = 5 (2 x)$

Passaggio 3.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.2.1.1

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$2 \frac{x}{2} x + \frac{12}{x} (2 x) = 5 (2 x)$

Passaggio 3.2.2.1.2

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.2.1.2.1

Elimina il fattore comune.

$2 \frac{x}{2} x + \frac{12}{x} (2 x) = 5 (2 x)$

Passaggio 3.2.2.1.2.2

Riscrivi l'espressione.

$x \cdot x + \frac{12}{x} (2 x) = 5 (2 x)$

Passaggio 3.2.2.1.3

Moltiplica $x$ per $x$ .

$x^{2} + \frac{12}{x} (2 x) = 5 (2 x)$

Passaggio 3.2.2.1.4

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$x^{2} + 2 \frac{12}{x} x = 5 (2 x)$

Passaggio 3.2.2.1.5

Moltiplica $2 \frac{12}{x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.2.1.5.1

$2$ e $\frac{12}{x}$ .

$x^{2} + \frac{2 \cdot 12}{x} x = 5 (2 x)$

Passaggio 3.2.2.1.5.2

Moltiplica $2$ per $12$ .

$x^{2} + \frac{24}{x} x = 5 (2 x)$

Passaggio 3.2.2.1.6

Elimina il fattore comune di $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.2.1.6.1

Elimina il fattore comune.

$x^{2} + \frac{24}{x} x = 5 (2 x)$

Passaggio 3.2.2.1.6.2

Riscrivi l'espressione.

$x^{2} + 24 = 5 (2 x)$

Passaggio 3.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.3.1

Moltiplica $2$ per $5$ .

$x^{2} + 24 = 10 x$

Passaggio 3.3

Risolvi l'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1

Sottrai $10 x$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x^{2} + 24 - 10 x = 0$

Passaggio 3.3.2

Scomponi $x^{2} + 24 - 10 x$ usando il metodo AC.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Trova una coppia di interi il cui prodotto è $c$ e la cui formula è $b$ . In questo caso, il cui prodotto è $24$ e la cui somma è $- 10$ .

$- 6, - 4$

Passaggio 3.3.2.2

Scrivi la forma fattorizzata usando questi interi.

$(x - 6) (x - 4) = 0$

Passaggio 3.3.3

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$x - 6 = 0$

$x - 4 = 0$

Passaggio 3.3.4

Imposta $x - 6$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.4.1

Imposta $x - 6$ uguale a $0$ .

$x - 6 = 0$

Passaggio 3.3.4.2

Somma $6$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x = 6$

Passaggio 3.3.5

Imposta $x - 4$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.5.1

Imposta $x - 4$ uguale a $0$ .

$x - 4 = 0$

Passaggio 3.3.5.2

Somma $4$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x = 4$

Passaggio 3.3.6

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $(x - 6) (x - 4) = 0$ vera.

$x = 6, 4$

Passaggio 4

Trova il dominio di $\frac{1}{2} + \frac{12}{x^{2}} - \frac{5}{x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Imposta il denominatore in $\frac{12}{x^{2}}$ in modo che sia uguale a $0$ per individuare dove l'espressione è indefinita.

$x^{2} = 0$

Passaggio 4.2

Risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1

Trova la radice quadrata specificata di entrambi i lati dell'equazione per eliminare l'esponente sul lato sinistro.

$x = \pm \sqrt{0}$

Passaggio 4.2.2

Semplifica $\pm \sqrt{0}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.2.1

Riscrivi $0$ come $0^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Passaggio 4.2.2.2

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$x = \pm 0$

Passaggio 4.2.2.3

Più o meno $0$ è $0$ .

$x = 0$

Passaggio 4.3

Il dominio è formato da tutti i valori di $x$ che rendono definita l'espressione.

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Passaggio 5

Usa ogni radice per creare gli intervalli di prova.

$x < 0$

$0 < x < 4$

$4 < x < 6$

$x > 6$

Passaggio 6

Scegli un valore di test da ciascun intervallo e sostituiscilo nella diseguaglianza originale per determinare quali intervalli sono soddisfatti dalla diseguaglianza.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Testa un valore sull'intervallo $x < 0$ per verificare se rende vera la diseguaglianza.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.1

Scegli un valore sull'intervallo $x < 0$ e verifica se soddisfa la diseguaglianza originale.

$x = - 2$

Passaggio 6.1.2

Sostituisci $x$ con $- 2$ nella diseguaglianza originale.

$\frac{1}{2} + \frac{12}{{(- 2)}^{2}} > \frac{5}{- 2}$

Passaggio 6.1.3

Il lato sinistro di $3.5$ è maggiore del lato destro di $- 2.5$ ; ciò significa che l'affermazione data è sempre vera.

Vero

Passaggio 6.2

Testa un valore sull'intervallo $0 < x < 4$ per verificare se rende vera la diseguaglianza.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1

Scegli un valore sull'intervallo $0 < x < 4$ e verifica se soddisfa la diseguaglianza originale.

$x = 2$

Passaggio 6.2.2

Sostituisci $x$ con $2$ nella diseguaglianza originale.

$\frac{1}{2} + \frac{12}{{(2)}^{2}} > \frac{5}{2}$

Passaggio 6.2.3

Il lato sinistro di $3.5$ è maggiore del lato destro di $2.5$ ; ciò significa che l'affermazione data è sempre vera.

Vero

Passaggio 6.3

Testa un valore sull'intervallo $4 < x < 6$ per verificare se rende vera la diseguaglianza.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.1

Scegli un valore sull'intervallo $4 < x < 6$ e verifica se soddisfa la diseguaglianza originale.

$x = 5$

Passaggio 6.3.2

Sostituisci $x$ con $5$ nella diseguaglianza originale.

$\frac{1}{2} + \frac{12}{{(5)}^{2}} > \frac{5}{5}$

Passaggio 6.3.3

Il lato sinistro di $0.98$ non è maggiore del lato destro di $1$ ; ciò significa che l'affermazione data è falsa.

Falso

Passaggio 6.4

Testa un valore sull'intervallo $x > 6$ per verificare se rende vera la diseguaglianza.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.4.1

Scegli un valore sull'intervallo $x > 6$ e verifica se soddisfa la diseguaglianza originale.

$x = 8$

Passaggio 6.4.2

Sostituisci $x$ con $8$ nella diseguaglianza originale.

$\frac{1}{2} + \frac{12}{{(8)}^{2}} > \frac{5}{8}$

Passaggio 6.4.3

Il lato sinistro di $0.6875$ è maggiore del lato destro di $0.625$ ; ciò significa che l'affermazione data è sempre vera.

Vero

Passaggio 6.5

Confronta gli intervalli per determinare quali soddisfano la diseguaglianza originale.

$x < 0$ Vero

$0 < x < 4$ Vero

$4 < x < 6$ Falso

$x > 6$ Vero

$x < 0$ Vero

$0 < x < 4$ Vero

$4 < x < 6$ Falso

$x > 6$ Vero

Passaggio 7

La soluzione è costituita da tutti gli intervalli veri.

$x < 0$ o $0 < x < 4$ o $x > 6$

Passaggio 8

Converti la diseguaglianza in notazione a intervalli.

$(- \infty, 0) \cup (0, 4) \cup (6, \infty)$

Passaggio 9