Algebra Esempi

$12^{3 x + 4} \leq 2^{5 x + 3} \cdot 3^{2 x - 1}$

Passaggio 1

Trova il logaritmo di entrambi i lati della diseguaglianza.

$\ln (12^{3 x + 4}) \leq \ln (2^{5 x + 3} \cdot 3^{2 x - 1})$

Passaggio 2

Espandi $\ln (12^{3 x + 4})$ spostando $3 x + 4$ fuori dal logaritmo.

$(3 x + 4) \ln (12) \leq \ln (2^{5 x + 3} \cdot 3^{2 x - 1})$

Passaggio 3

Riscrivi $\ln (2^{5 x + 3} \cdot 3^{2 x - 1})$ come $\ln (2^{5 x + 3}) + \ln (3^{2 x - 1})$ .

$(3 x + 4) \ln (12) \leq \ln (2^{5 x + 3}) + \ln (3^{2 x - 1})$

Passaggio 4

Espandi $\ln (2^{5 x + 3})$ spostando $5 x + 3$ fuori dal logaritmo.

$(3 x + 4) \ln (12) \leq (5 x + 3) \ln (2) + \ln (3^{2 x - 1})$

Passaggio 5

Espandi $\ln (3^{2 x - 1})$ spostando $2 x - 1$ fuori dal logaritmo.

$(3 x + 4) \ln (12) \leq (5 x + 3) \ln (2) + (2 x - 1) \ln (3)$

Passaggio 6

Risolvi la diseguaglianza per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.1

Semplifica $(3 x + 4) \ln (12)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.1.1

Applica la proprietà distributiva.

$3 x \ln (12) + 4 \ln (12) \leq (5 x + 3) \ln (2) + (2 x - 1) \ln (3)$

Passaggio 6.1.1.2

Semplifica $3 \ln (12)$ spostando $3$ all'interno del logaritmo.

$x \ln (12^{3}) + 4 \ln (12) \leq (5 x + 3) \ln (2) + (2 x - 1) \ln (3)$

Passaggio 6.1.1.3

Semplifica $4 \ln (12)$ spostando $4$ all'interno del logaritmo.

$x \ln (12^{3}) + \ln (12^{4}) \leq (5 x + 3) \ln (2) + (2 x - 1) \ln (3)$

Passaggio 6.1.1.4

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.1.4.1

Eleva $12$ alla potenza di $3$ .

$x \ln (1728) + \ln (12^{4}) \leq (5 x + 3) \ln (2) + (2 x - 1) \ln (3)$

Passaggio 6.1.1.4.2

Eleva $12$ alla potenza di $4$ .

$x \ln (1728) + \ln (20736) \leq (5 x + 3) \ln (2) + (2 x - 1) \ln (3)$

Passaggio 6.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1

Semplifica $(5 x + 3) \ln (2) + (2 x - 1) \ln (3)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1.1.1

Applica la proprietà distributiva.

$x \ln (1728) + \ln (20736) \leq 5 x \ln (2) + 3 \ln (2) + (2 x - 1) \ln (3)$

Passaggio 6.2.1.1.2

Semplifica $5 \ln (2)$ spostando $5$ all'interno del logaritmo.

$x \ln (1728) + \ln (20736) \leq x \ln (2^{5}) + 3 \ln (2) + (2 x - 1) \ln (3)$

Passaggio 6.2.1.1.3

Semplifica $3 \ln (2)$ spostando $3$ all'interno del logaritmo.

$x \ln (1728) + \ln (20736) \leq x \ln (2^{5}) + \ln (2^{3}) + (2 x - 1) \ln (3)$

Passaggio 6.2.1.1.4

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1.1.4.1

Eleva $2$ alla potenza di $5$ .

$x \ln (1728) + \ln (20736) \leq x \ln (32) + \ln (2^{3}) + (2 x - 1) \ln (3)$

Passaggio 6.2.1.1.4.2

Eleva $2$ alla potenza di $3$ .

$x \ln (1728) + \ln (20736) \leq x \ln (32) + \ln (8) + (2 x - 1) \ln (3)$

Passaggio 6.2.1.1.5

Applica la proprietà distributiva.

$x \ln (1728) + \ln (20736) \leq x \ln (32) + \ln (8) + 2 x \ln (3) - 1 \ln (3)$

Passaggio 6.2.1.1.6

Semplifica $2 \ln (3)$ spostando $2$ all'interno del logaritmo.

$x \ln (1728) + \ln (20736) \leq x \ln (32) + \ln (8) + x \ln (3^{2}) - 1 \ln (3)$

Passaggio 6.2.1.1.7

Riscrivi $- 1 \ln (3)$ come $- \ln (3)$ .

$x \ln (1728) + \ln (20736) \leq x \ln (32) + \ln (8) + x \ln (3^{2}) - \ln (3)$

Passaggio 6.2.1.1.8

Eleva $3$ alla potenza di $2$ .

$x \ln (1728) + \ln (20736) \leq x \ln (32) + \ln (8) + x \ln (9) - \ln (3)$

Passaggio 6.2.1.2

Usa la proprietà del quoziente dei logaritmi, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$x \ln (1728) + \ln (20736) \leq x \ln (32) + x \ln (9) + \ln (\frac{8}{3})$

Passaggio 6.3

Sposta tutti i termini contenenti un logaritmo sul lato sinistro dell'equazione.

$x \ln (1728) + \ln (20736) - x \ln (32) - x \ln (9) - \ln (\frac{8}{3}) = 0$

Passaggio 6.4

Usa la proprietà del quoziente dei logaritmi, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$x \ln (1728) - x \ln (32) - x \ln (9) + \ln (\frac{20736}{\frac{8}{3}}) = 0$

Passaggio 6.5

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.5.1

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$x \ln (1728) - x \ln (32) - x \ln (9) + \ln (20736 (\frac{3}{8})) = 0$

Passaggio 6.5.2

Elimina il fattore comune di $8$ .

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Passaggio 6.5.2.1

Scomponi $8$ da $20736$ .

$x \ln (1728) - x \ln (32) - x \ln (9) + \ln (8 (2592) (\frac{3}{8})) = 0$

Passaggio 6.5.2.2

Elimina il fattore comune.

$x \ln (1728) - x \ln (32) - x \ln (9) + \ln (8 \cdot (2592 (\frac{3}{8}))) = 0$

Passaggio 6.5.2.3

Riscrivi l'espressione.

$x \ln (1728) - x \ln (32) - x \ln (9) + \ln (2592 \cdot 3) = 0$

Passaggio 6.5.3

Moltiplica $2592$ per $3$ .

$x \ln (1728) - x \ln (32) - x \ln (9) + \ln (7776) = 0$

Passaggio 6.6

Sottrai $\ln (7776)$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x \ln (1728) - x \ln (32) - x \ln (9) = - \ln (7776)$

Passaggio 6.7

Scomponi $x$ da $x \ln (1728) - x \ln (32) - x \ln (9)$ .

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Passaggio 6.7.1

Scomponi $x$ da $x \ln (1728)$ .

$x (\ln (1728)) - x \ln (32) - x \ln (9) = - \ln (7776)$

Passaggio 6.7.2

Scomponi $x$ da $- x \ln (32)$ .

$x (\ln (1728)) + x (- 1 \ln (32)) - x \ln (9) = - \ln (7776)$

Passaggio 6.7.3

Scomponi $x$ da $- x \ln (9)$ .

$x (\ln (1728)) + x (- 1 \ln (32)) + x (- 1 \ln (9)) = - \ln (7776)$

Passaggio 6.7.4

Scomponi $x$ da $x (\ln (1728)) + x (- 1 \ln (32))$ .

$x (\ln (1728) - 1 \ln (32)) + x (- 1 \ln (9)) = - \ln (7776)$

Passaggio 6.7.5

Scomponi $x$ da $x (\ln (1728) - 1 \ln (32)) + x (- 1 \ln (9))$ .

$x (\ln (1728) - 1 \ln (32) - 1 \ln (9)) = - \ln (7776)$

Passaggio 6.8

Riscrivi $- 1 \ln (32)$ come $- \ln (32)$ .

$x (\ln (1728) - \ln (32) - 1 \ln (9)) = - \ln (7776)$

Passaggio 6.9

Riscrivi $- 1 \ln (9)$ come $- \ln (9)$ .

$x (\ln (1728) - \ln (32) - \ln (9)) = - \ln (7776)$

Passaggio 6.10

Dividi per $\ln (1728) - \ln (32) - \ln (9)$ ciascun termine in $x (\ln (1728) - \ln (32) - \ln (9)) = - \ln (7776)$ e semplifica.

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Passaggio 6.10.1

Dividi per $\ln (1728) - \ln (32) - \ln (9)$ ciascun termine in $x (\ln (1728) - \ln (32) - \ln (9)) = - \ln (7776)$ .

$\frac{x (\ln (1728) - \ln (32) - \ln (9))}{\ln (1728) - \ln (32) - \ln (9)} = \frac{- \ln (7776)}{\ln (1728) - \ln (32) - \ln (9)}$

Passaggio 6.10.2

Semplifica il lato sinistro.

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Passaggio 6.10.2.1

Elimina il fattore comune di $\ln (1728) - \ln (32) - \ln (9)$ .

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Passaggio 6.10.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{x (\ln (1728) - \ln (32) - \ln (9))}{\ln (1728) - \ln (32) - \ln (9)} = \frac{- \ln (7776)}{\ln (1728) - \ln (32) - \ln (9)}$

Passaggio 6.10.2.1.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x = \frac{- \ln (7776)}{\ln (1728) - \ln (32) - \ln (9)}$

Passaggio 6.10.3

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 6.10.3.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$x = - \frac{\ln (7776)}{\ln (1728) - \ln (32) - \ln (9)}$

Passaggio 7

La soluzione è costituita da tutti gli intervalli veri.

$x \leq - \frac{\ln (7776)}{\ln (1728) - \ln (32) - \ln (9)}$

Passaggio 8

Il risultato può essere mostrato in più forme.

Forma della diseguaglianza:

$x \leq - \frac{\ln (7776)}{\ln (1728) - \ln (32) - \ln (9)}$

Notazione degli intervalli:

$(- \infty, - \frac{\ln (7776)}{\ln (1728) - \ln (32) - \ln (9)}]$

Passaggio 9